中南民族大学电信复变函数试卷和答案

中南民族大学试卷标准答案及评分标准试卷名称复变函数与积分变换（A卷共6页）一．判断题（每小题2分，共10分，正确打√，错误打．）1．在点处不连续．2．若在曲线C上每点可导，则在C上解析．3．．4．设级数当时收敛，则该级数在时也收敛．5．为函数的孤立奇点．答：1．√2．×3．√4．√5.×二．填空题（每小题2分，共10分）方程在复数范围内的全部解为．为整数．2．．3．幂级数的收敛半径为．4．．5．的付里叶逆变换为．三．求解下列各题（每小题６分，共18分）：解方程：．解：，------------------------------3分故方程的解为：．．------------------------------6分函数在复平面内何处可导，何处解析，在可导的点，求出其导数．解：设，则．--------------------------2分在复平面上都连续，由C—R方程有：．故仅在椭圆上可导，在复平面上处处不解析．-----------------------------4分且在可导的点有．-----------------------------6分已知，求解析函数．解：∵,由于解析∴有----------2分又，而，所以．----------4分则，从而，C为任意实常数，．----------------------------6分四．计算下列积分（每小题7分，共28分）：1．，其中C为圆周：的右半部分从到的一段半圆弧．解：设，易知满足C－R方程，故为解析函数，从而积分与路径无关，------------------------3分取积分路径为从到的直线段：有＝．--------------------7分2．．解：在内有两个奇点由复合闭路定理有：＝＋．（３分）＝．--------------------7分3．．解：令，则在上半平面有一个奇点，且．-------------------3分于是．．--------------------7分4．．解：设，则有３个奇点，其中在曲线C：的内部，在曲线C外部．------------2分由留数定理，＝．------------4分而为的一级极点，．，于是．-------7分五．（每小题7分，共14分）：将函数在点展开成泰勒级数，并求收敛半径．解：由于，而------------2分＝＝，-----------------------4分所以．-----------------------5分且收敛半径为．-----------------------7分2．将函数在区域内展开成洛朗级数．解：，当时，-----------------------2分＝＝-----------------------5分因此．-----------------------7分六．求下列函数在付里叶变换下的象函数（每小题7分，共14分）：1．解：（３分）．----------7分2．．解：．由付里叶变换的线性性质有---------3分＝．--------------------7分七．证明题（６分）：设在区域D内解析，证明函数在区域D内为调和函数．证：由于在区域D内解析，故在区域D内调和且满足C-R方程，即在D内有：且