2026-2027学年高二数学上学期第一次月考数学试卷01

2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷0（人教A版）（考试时间：120分 试卷满分：150分回答第Ⅱ测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第I卷（选择题8540分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要1．（5分）（25-26高二上·陕西西安·期末）l经过点𝐴(1,0)，𝐵(21)l（

2．（5分）（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知𝑎=(0,2,1),𝑏=(2,0,2),𝑐=(1,1,0)，则𝑎+𝑏⋅𝑐=（ 3．（5分）（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在四面体𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸，𝐹分别为棱𝐶𝐷，𝐵𝐶 𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐵𝐷=（ 4．（5分）（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线𝑙经过两条直线3𝑥4𝑦50和3𝑥4𝑦13的交点，且与直线𝑥+2𝑦1=0垂直，则𝑙的方程是（A．2𝑥+𝑦—5=0B．2𝑥—𝑦—7= C．2𝑥+𝑦+7= D．2𝑥—𝑦+5=（含端点）总有公共点，则直线𝑙的斜率的取值范围为（—1 B．—2,

∪[2,+ D．—∞,—2]∪1,+—的中点，若𝑀𝑁=𝑥𝑂𝐴+𝑦𝑂𝐵+𝑧𝑂𝐶，则𝑥+𝑦𝑧=（ 的最小值为（

D．—是矩形，二面角𝑂𝐴𝐵𝐶为直二面角.若𝐴𝐵=2𝐵𝐶OABOCD的夹角的余弦值为（

3618分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）（25-26高二上·福建三明·期末）已知向量𝑎(11,0)，𝑏1,0,1)，𝑐(33,1)（

—

​

—向量𝑎，𝑏的夹角为 10．（6分）（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知直线𝑙1:𝑥+𝑚𝑦+6=0，𝑙2:(𝑚—2)𝑥+3𝑦+2𝑚=0，则下列说法正确的是（） B．若𝑚=2，则𝑙1⊥C．若𝑙1//𝑙2，则𝑚=— D．若𝑙1与𝑙2的纵截距相等，则𝑚=—11．（6分）（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，𝐴𝐸𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，𝐴𝐸=𝐵𝐶=2，𝐴𝐵=𝐴𝐷=1，𝐶𝐹

8，则（𝐵𝐷⊥BDEBDF的夹角的余弦值为CEBDE所成角的正弦值为第II卷（非选择题填空题：本题共3小题，每小题5分，共1512．（5分）（25-26高二上·上海·期末）已知空间向量𝑎=(𝑥,𝑦1)，𝑏=(1,2,1)，若𝑎//𝑏，则|𝑎| 相交于一点，则𝑎= 14．（5分）（25-26高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥𝑃𝐴𝐵𝐶G为𝐴𝐵𝐶在𝑃𝐺上，且𝑃𝑀=3𝑀𝐺M任意作一个平面分别交线段𝑃𝐴，𝑃𝐵，𝑃𝐶D，E，F，若𝑃𝐷=𝑃𝐸=𝑛𝑃𝐵，𝑃𝐹=𝑡𝑃𝐶，则1+1+1的值 解答题：本题共5小题，共7715．（13分）（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量𝑎(2,4,1),𝑏4,𝑚,𝑛),𝑐(21,𝑘),𝑎//𝑏,𝑏求向量𝑏,𝑐(2)求𝑎+𝑐与𝑏+3𝑎夹角的正弦值16．（15分）（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）—求经过点(2,3)17．（15分）（25-26高二上·新疆昌吉·期末）如图，长方体𝐴𝐵𝐶𝐷—𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵=𝐴𝐷==4P为𝐷𝐷1求证：𝐴𝐶平面D到平面𝑃𝐴𝐶18．（17分）（25-26高二上·甘肃张掖·期中）已知直线𝑙1:𝑥2𝑦3=0,𝑙2:2𝑥3𝑦8=求经过点𝑀(1,4)且与直线𝑙2求经过直线𝑙1与𝑙2的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程若直线𝑙:𝑘𝑥𝑦24𝑘=0(𝑘R)xAyB，O△𝐴𝑂𝐵SSl的方程MAD是等边三角形，𝐴𝐵=𝑀𝐵=2𝐵𝐶=2,𝐴𝐷⊥𝐵𝐷，NMC上一点．证明：平面𝑀𝐴𝐷MCBMDA，NMD，MBE，F两点，且𝐵𝐷//AENFNAENF

夹角为6

𝐶𝑁2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷0（人教A版）第I卷（选择题8540分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要1．（5分）（25-26高二上·陕西西安·期末）l经过点𝐴(1,0)，𝐵(21)l（

【答案】【解题思路】根据斜率计算公式以及斜率和倾斜角关系即可求解—1— 【解答过程】由斜率公式得𝑘𝐴𝐵=

=—1，所以直线的倾斜角为 2．（5分）（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知𝑎=(0,2,1),𝑏=(2,0,2),𝑐=(1,1,0)，则𝑎+𝑏⋅𝑐=（ 【答案】【解题思路】利用向量的坐标运算进行求解 【解答过程】因为𝑎=(0,2,1),𝑏=(2,0,2)，所以𝑎+𝑏=

⋅𝑐=2+2+0=3．（5分）（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在四面体𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸，𝐹分别为棱𝐶𝐷，𝐵𝐶 𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐵𝐷=（ 【答案】因为是CD因为是CD的中点，所 ，也 𝐵𝐶+𝐵𝐷= 𝐵𝐶

𝐵𝐷

=因此𝐴𝐵

𝐵𝐶

21𝐵𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐸=24．（5分）（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线𝑙经过两条直线3𝑥4𝑦50和3𝑥4𝑦13的交点，且与直线𝑥+2𝑦1=0垂直，则𝑙的方程是（A．2𝑥+𝑦—5=0B．2𝑥—𝑦—7= C．2𝑥+𝑦+7= D．2𝑥—𝑦+5=【答案】【解答过程】直线𝑙经过两条直线3𝑥4𝑦50和3𝑥4𝑦130由3𝑥4𝑦5=0直线𝑙与直线𝑥2𝑦1=0垂直，所以直线𝑙的方程为：𝑦12(𝑥3)，即2𝑥—𝑦—7=0．（含端点）总有公共点，则直线𝑙的斜率的取值范围为（A．—1

∪[2,+ D．—∞,—2]∪1,+【答案】【解题思路】求出直线𝑙过点𝐴和过点𝐵时的斜率，数形结合求解

—3—

要使直线𝑙与线段𝐴𝐵（含端点）总有公共点，则直线𝑙的斜率𝑘需满足𝑘≤

1或𝑘≥

∪[2,+—的中点，若𝑀𝑁=𝑥𝑂𝐴+𝑦𝑂𝐵+𝑧𝑂𝐶，则𝑥+𝑦𝑧=（ 【答案】【解题思路】利用空间向量的基本定理可求出𝑥、𝑦、𝑧的值，即可得出𝑥+𝑦+𝑧的值因为𝑁为𝐵𝐶的中点，所以𝑂𝑁=

𝑂𝐵

1𝑂𝐶，由题意可知𝑂𝑀=

所以𝑀𝑁=𝑂𝑁𝑂𝑀=

𝑂𝐴

𝑂𝐵

在三棱锥𝑂𝐴𝐵𝐶中，𝑂𝐴、𝑂𝐵、𝑂𝐶不共面，且𝑀𝑁=𝑥𝑂𝐴+𝑦𝑂𝐵所以𝑥=

1，𝑦=𝑧

1，故𝑥+𝑦+𝑧=

++= 的最小值为（ 【答案】

D．表示平面直角坐标系中，点(𝑥,𝑦)到点(1,1)的距离，而点(𝑥,𝑦)方程4𝑥2𝑦3=0，因此问题转化为：求点(1,1)到直线4𝑥2𝑦3=0的距离【解答过程 而点(𝑥,𝑦)满足直线方程4𝑥2𝑦3=|4×1— 2而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点(1,1)到直线的距离𝑑2

=5，

的最小值为—是矩形，二面角𝑂𝐴𝐵𝐶为直二面角.若𝐴𝐵=2𝐵𝐶OABOCD的夹角的余弦值为（【答案】

因为底面𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，所以𝐴𝐵𝐴𝐷，因为二面角𝑂—𝐴𝐵—𝐶为直二面角，设𝐵𝐶=𝑎，则𝐴𝐵=其中𝐴(0,0,0)，𝐵(0,2𝑎,0)，𝐶(𝑎,2𝑎,0)，𝐷(𝑎,0,0)，𝑂0,2𝑎 𝐷𝑂 —𝑎,2𝑎

，𝐷𝐶=(0,设平面𝑂𝐶𝐷的法向量为𝑛2=⋅𝐷𝑂=—𝑎𝑥+2𝑎𝑦+6𝑎𝑧=

2 𝑛2⋅𝐷𝐶=2𝑎𝑦=令𝑧=1，则𝑥=6,𝑦=0，𝑛2=6,0,1 显然，平面𝑂𝐴𝐵的法向量𝑛1=(1,0,0)，则cos𝜃=

|𝑛1||𝑛2|

||1|×|10|=53618分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）（25-26高二上·福建三明·期末）已知向量𝑎(11,0)，𝑏1,0,1)，𝑐(33,1)（

—

​

—向量𝑎，𝑏的夹角为 【答案】D，由投影向量计算公式可判断选项正误.

—

，则存在实数𝜆，使𝑎=

— 1=—4𝜆 对于B，𝑎+𝑏=(0,—1,1)，𝑎—𝑏=(2,—1,—1)，因+ — =1—1=0，且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确；

—，又 ，又

2π，故错误；

𝑎⋅𝑐D正确=𝑎⋅𝑐D正确10．（6分）（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知直线𝑙1:𝑥+𝑚𝑦+6=0，𝑙2:(𝑚—2)𝑥+3𝑦+2𝑚=0，则下列说法正确的是（） B．若𝑚=2，则𝑙1⊥C．若𝑙1//𝑙2，则𝑚=— D．若𝑙1与𝑙2的纵截距相等，则𝑚=—【答案】A𝑥+6=0B，通过𝑘𝑙⋅

𝑦= 13=𝑚(𝑚2)D，由截距概念列出等式求解即可判断𝑦=A，由直线𝑙1:𝑥+𝑚𝑦6=0，得𝑙1:𝑥+6+𝑚𝑦=0，𝑥+6=0解得𝑥=—6，𝑦=0，即𝑙1𝑦= B，当𝑚=2时，直线𝑙1:𝑥2+6=0，𝑙22𝑥3𝑦1=则𝑘𝑙1=—2,𝑘𝑙2=2，故𝑘𝑙1⋅𝑘𝑙2=—1，则𝑙1⊥𝑙2C，若𝑙1//𝑙2，可得1×3=𝑚(𝑚—2)，解得𝑚=—1或𝑚=3，又当𝑚=3时，直线𝑙1:𝑥+3𝑦6=0，𝑙2:𝑥+3𝑦6=0重合，舍去，当𝑚=—1时，直线𝑙1:𝑥𝑦6=0，𝑙23𝑥3𝑦2=0，平行，综上𝑚=—1，正确；D，若𝑙1与𝑙2的纵截距相等，则𝑚≠对于直线𝑙1:𝑥+𝑚𝑦+6=0，令𝑥=0得𝑦=—对于直线𝑙2:(𝑚2)𝑥3𝑦2𝑚=0，令𝑥=0得𝑦=

由—6

，解得𝑚=±311．（6分）（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，𝐴𝐸𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，𝐴𝐸=𝐵𝐶=2，𝐴𝐵=𝐴𝐷=1，𝐶𝐹

8，则（𝐵𝐷⊥BDEBDF的夹角的余弦值为CEBDE所成角的正弦值为【答案】【解题思路】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究位置关系与线面夹角，面面夹角即可A，根据题意可知𝐴𝐷𝐴𝐵，𝐴𝐸ABCD，A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，可得𝐵(1,0,0),𝐶(1,2,0),𝐷(0,1,0),𝐸(0,0,2),𝐹 则𝐵𝐷=(—1,1,0)，𝐸𝐶=(1,2,—2),𝐵𝐸=(—1,0,2),𝐵𝐹= 所以𝐵𝐷𝐸𝐶=—111202)=1≠0，所以𝐵𝐷，𝐸𝐶A错误；B，依题意，𝐴𝐵=(1,0,0)是平面𝐴𝐷𝐸的一个法向量，又𝐵𝐹= ，可得𝐵𝐹⋅𝐴𝐵=0，则𝐵𝐹⊥又因为直线𝐵𝐹⊄平面𝐴𝐷𝐸，所以𝐵𝐹//平面𝐴𝐷𝐸B正确；C，设𝑚=(𝑎,𝑏,𝑐)为平面𝐵𝐷𝐸的一个法向量，则𝑚𝐵𝐷=—𝑎𝑏=0，令𝑏=2⇒𝑎=2,𝑐=1，可得𝑚=𝑚⋅𝐵𝐸=—𝑎+2𝑐=设𝑛=(𝑥,𝑦,𝑧)为平面𝐵𝐷𝐹𝑚⋅𝐵𝐷=—𝑥+𝑦=𝑚𝐵𝐹=2𝑦8𝑧=0，令𝑧=—7⇒𝑥=4,𝑦=4，可得𝑛=(4,4C C9×所以平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为|cos⟨𝑚,𝑛⟩|=|𝑚|⋅|𝑛| =9×D，设直线𝐶𝐸与平面𝐵𝐷𝐸所成角为𝜃，而𝐸𝐶(1,29×|D错误则sin𝜃=|cos⟨𝐸𝐶,𝑚⟩|=|𝐸𝐶⋅𝑚| =9×|D错误𝐸𝐶第II卷（非选择题填空题：本题共3小题，每小题5分，共1512．（5分）（25-26高二上·上海·期末）已知空间向量𝑎=(𝑥,𝑦1)，𝑏=(1,2,1)，若𝑎//𝑏，则|𝑎| 【解答过程】因为空间向量𝑎=(𝑥,𝑦1)，𝑏=(1,2,1)，且 则=

— —1+4+ =1+4+相交于一点，则𝑎= 【解题思路】先联立两条已知系数的直线方程，求得交点，再代入剩下那条直线方程，即可求解【解答过程】先由4𝑥3𝑦100与2𝑥𝑦=04𝑥3𝑦10=02𝑥—𝑦=代入消元可得：4𝑥6𝑥10=0⇒𝑥=1，则𝑦=所以交点坐标为(1,2)，又由题意可知直线𝑎𝑥𝑦40也经过点(1,2)，所以代入可得𝑎—2+4=0⇒𝑎=—2.14．（5分）（25-26高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥𝑃𝐴𝐵𝐶G为𝐴𝐵𝐶在𝑃𝐺上，且𝑃𝑀=3𝑀𝐺M任意作一个平面分别交线段𝑃𝐴，𝑃𝐵，𝑃𝐶D，E，F，若𝑃𝐷=𝑃𝐸=𝑛𝑃𝐵，𝑃𝐹=𝑡𝑃𝐶，则1+1+1的值 【答案】 基本定理求得1+1+1的值 由于𝐺是△𝐴𝐵𝐶的重心，点M在𝑃𝐺上，且𝑃𝑀=3𝑀𝐺，4 4所以𝑃𝑀=𝑃𝐺

=𝑃𝐴+×

=𝑃𝐴+

=𝑃𝐴

=𝑃𝐴+𝑃𝐵+ 24连接𝐷𝑀，因为𝐷,𝐸,𝐹,𝑀四点共面，所以存在实数𝑥,𝑦，使得24即𝑃𝑀𝑃𝐷

—

—

,𝑥𝑛

,𝑦𝑡

,4𝑥

,4𝑦

以111=4(1𝑥𝑦)+4𝑥4𝑦= 解答题：本题共5小题，共7715．（13分）（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量𝑎(2,4,1),𝑏4,𝑚,𝑛),𝑐(21,𝑘),𝑎//𝑏,𝑏求向量𝑏,𝑐(2)求𝑎+𝑐与𝑏+3𝑎夹角的正弦值k值，即可得𝑐坐标.（2）由（1）得𝑎+𝑐与𝑏+3𝑎坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案【解答过程】（1）因为𝑎//𝑏，且𝑎=(2,4,1),𝑏=— 2=41，解得𝑚8,𝑛2，所以𝑏48因为𝑏𝑐，所以𝑏𝑐4)28)1)2)𝑘=0，解得𝑘=0，所以𝑐=(2,—1,0).（2）由（1）得𝑏+3𝑎=(2,4,1),𝑎𝑐=22+42+22+42+

=21,|𝑎+𝑐|

=42+42+32+

+3𝑎=4×2+3×4+1×1=𝑎+𝑐⋅所以cos<𝑎+𝑐,𝑏+3𝑎>=

26×26×

所以sin<𝑎𝑐,𝑏+3𝑎>=

=1—1—16．（15分）（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）—求经过点(2,3)2𝑥—𝑦+5=3𝑥2𝑦=0或𝑥𝑦5=【解题思路】（1）将条件代入点斜式方程，即可得答案lOAOAOAl的斜率，代入点00两种情况，代入点坐标，求出方程，综合即可得答案化为一般式方程为3𝑥—𝑦—5=0；lOAOA的中点为OA2—0=—1l—4— l的方程为𝑦1=2(𝑥2)，化简可得：2𝑥𝑦5=a①当𝑎=0时，直线过原点，设直线方程为𝑦=𝑘𝑥，代入点可得𝑘=

3，则方程为𝑦=

3𝑥，即3𝑥2𝑦= ②当𝑎≠0时直线方程为+

=1，把(2,3)代入求得𝑎= 则直线方程为𝑥𝑦5=由①②知所求直线方程是3𝑥2𝑦=0或𝑥𝑦5=17．（15分）（25-26高二上·新疆昌吉·期末）如图，长方体𝐴𝐵𝐶𝐷—𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵=𝐴𝐷==4P为𝐷𝐷1求证：𝐴𝐶平面D到平面𝑃𝐴𝐶【答案】(1)【解题思路】（1）先得到𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝐷𝐷1⊥𝐴𝐶【解答过程】（1）证明：长方体𝐴𝐵𝐶𝐷—𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝐷𝐷1⊥平面因为𝐴𝐶⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷,所以𝐷𝐷1⊥因为𝐵𝐷∩𝐷𝐷1=𝐷，𝐵𝐷，𝐷𝐷1⊂平面𝐵𝐷𝐷1，所以𝐴𝐶⊥平面𝐵𝐷𝐷1.（2）由题意可知𝐷𝐴,𝐷𝐶,𝐷𝐷1两两垂直，所以以𝐷为原点𝐷𝐴,𝐷𝐶,𝐷𝐷1x轴，y轴，z轴，建立由题意可得𝐷0，0，0则𝐴𝐶=1,1,0),𝑃𝐶=(0,12)，设平面𝑃𝐴𝐶的法向量为𝑛(𝑥,𝑦,𝑧)，𝑛𝐴𝐶=—𝑥𝑦=0，令𝑧=1，得到𝑛=𝑛⋅𝑃𝐶=𝑦—2𝑧=因为𝐷𝐴=(1,0,0),D到平面𝑃𝐴𝐶的距离𝑑=|𝐷𝐴⋅𝑛|= 18．（17分）（25-26高二上·甘肃张掖·期中）已知直线𝑙1:𝑥2𝑦3=0,𝑙2:2𝑥3𝑦8=求经过点𝑀(1,4)且与直线𝑙2求经过直线𝑙1与𝑙2的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程若直线𝑙:𝑘𝑥𝑦24𝑘=0(𝑘R)xAyB，O△𝐴𝑂𝐵SSl的方程【答案】(1)3𝑥2𝑦5=(2)𝑦=2𝑥或𝑥𝑦1=(3)S16l的方程为𝑦=

1𝑥+【解题思路】（1）根据直线𝑙2的斜率可设所求直线方程为𝑦=2𝑥+𝑏，代入点𝐴(1,4)联立直线𝑙1与𝑙200先求出𝐴、𝐵两点的坐标，进而得到𝐴𝑂𝐵的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值， 【解答过程】（1）由直线𝑙2:2𝑥3𝑦8=0⇒𝑦=—3𝑥3可得直线𝑙2的斜率为依题意，所求直线斜率为，则其方程可设为𝑦

该直线经过点(1,4)，则4=2×1+𝑏，解得𝑏=故所求直线方程为𝑦=

3𝑥+，即3𝑥—2𝑦+5= （）联立𝑥2𝑦3=2𝑥+3𝑦—8=

𝑥=1，即直线𝑙1与𝑙2的交点为𝑦=当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为𝑦𝑘𝑥，代入(1,2)解得𝑘=2𝑦= 当直线的截距都不为0时，设直线方程为+

=1(𝑎,𝑏≠

2=1，解得𝑎=—1,𝑏=1，此时直线方程为𝑥𝑦1=综上，所求直线方程为𝑦=2𝑥或𝑥𝑦1=（3）由题可知𝑘>在𝑘𝑥𝑦24𝑘=0中，令𝑦=0，解得𝑥=—4𝑘+2A4𝑘+2,0 再令𝑥=0，可得𝑦=4𝑘2，即得𝐵(0,4𝑘故𝑆=1|𝑂𝐴|⋅|𝑂𝐵|=1×4𝑘+2×(4𝑘+2)=2(2𝑘+1)2=24𝑘+1+4

4𝑘⋅则𝑆=24𝑘1+4≥24𝑘⋅

+4=2×(4+4)=当且仅当4𝑘=

1，即𝑘

1S16l的方程为𝑦=

1𝑥+MAD是等边三角形，𝐴𝐵=𝑀𝐵=2𝐵𝐶=2,𝐴𝐷⊥𝐵𝐷，NMC上一点．证明：平面𝑀𝐴𝐷MCBMDA，NMD，MBE，F两点，且𝐵𝐷//AENFNAENF

夹角为6

𝐶𝑁【答案】(1)

= 【解题思路】（1）通过计算边长利用勾股定理逆定理证明𝑀𝐷𝐵𝐷

//面夹角为6列出方程解得【解答过程】（1）BD，因𝐴𝐷𝐵𝐷,𝐵𝐷2=𝐴𝐵2𝐴𝐷2=2212=3，所以𝐵𝐷