2026-2027学年高二数学上学期第一次月考数学试卷02

2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷0（人教A版）（考试时间：120分 试卷满分：150分回答第Ⅱ测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第I卷（选择题8540分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要1．（5分）（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知向量𝑎(1,23)，𝑏=(2,𝑥,2)，且𝑎𝑏x的值是（） 2．（5分）（25-26高二上·江苏无锡·期末）直线𝑙1:(𝑚+2)𝑥+𝑦+3=0，𝑙2:3𝑥+𝑚𝑦2𝑚+1=0，则“𝑙1//𝑙2”是“𝑚=—3”的（）条件充分不必 B．必要不充 C．充 3．（5分）（25-26高二上·安徽·期末）已知空间向量𝑎(3,15),𝑏1,0,2),𝑐(0,1,𝑚)，若𝑎,𝑏,𝑐共面，则实数𝑚的值为（） B．- D．±4．（5分）（25-26高二上·江西赣州·期末）经过点𝑀(6,3)且在两坐标轴上截距相等的直线是（A．𝑥+𝑦—9= C．𝑥+𝑦—9=0或𝑥—2𝑦= 5．（5分）（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知点𝐴(1,2)，直线𝑙：(𝜆+2)𝑥+(1—𝜆)𝑦+2𝜆+7=0(𝜆∈R)，直线𝑙随着𝜆取值变化而发生变化过程中，𝐴到𝑙的距离的最大值为（

6．（5分）（25-26高二上·河南洛阳·期中）4的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点𝑀在该正方体表面上运动，球𝑂为该正方体的内切球，𝑃𝑄为球𝑂的一条直径，则𝑀𝑃⋅𝑀𝑄的取值范围是（）A．[— 7．（5分）（25-26高二上·广东韶关·期末）若曲线𝑦=4𝑥2与直线𝑦=𝑘(𝑥2)4有两个交点，则实数𝑘的取值范围为（）D．3A．—3, B．3,+ C．3D．34 8．（5分）（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，已知四棱台𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的底面𝐴𝐵𝐶𝐷是直角梯形，∠𝐵𝐴𝐷=90∘，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐵=2𝐵𝐶=2𝐷𝐷1=2𝐴1𝐷1，𝐷𝐷1⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐸是侧棱𝐵𝐵1所在直线上的动点，则𝐴𝐸与平面𝐴𝐶𝐴1所成角的正弦值的最大值为（）A．

C．

D．23618分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）（25-26高二上·陕西汉中·期末）设𝑎, 是空间的一组基底，则下列结论正确的是（基底𝑎, 中的向量可以为任意向空间中任一向量𝑚，存在唯一有序实数组(𝑥𝑦𝑧)，使𝑚=𝑥𝑎𝑦𝑏D．+2𝑏,𝑏+2𝑐,𝑐+2𝑎10．（6分）（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知圆𝐶:𝑥2+𝑦2+6𝑥+4𝑦+9=0𝑙:3𝑥4𝑦3=0，点𝑃在圆𝐶上，点𝑄在直线𝑙上，则（𝐶的坐标为C．|𝑃𝑄|min=11．（6分）（25-26高二上·广东湛江·期末）如图，八面体𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹的每一个面都是正三角形，若四边形𝐴𝐵𝐶𝐷4的正方形，则（）A．异面直线𝐴𝐸与𝐷𝐹所成的角大小为C．此八面体的外接球的体积是64．此八面体的内切球的表面积为第II卷（非选择题填空题：本题共3小题，每小题5分，共1512．（5分）（25-26高二上·贵州毕节·期末）平行直线𝑥+3𝑦

=0与3𝑥3𝑦6=013．（5分）（25-26高二上·河南洛阳·期末）若圆𝐶:𝑥2𝑦24𝑥2𝑦40𝑙:3𝑥—4𝑦+𝑡=0的距离为2，则𝑡的取值范围 14．（5分）（25-26高二上·上海闵行·期末）在棱长为2的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷—𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐸、𝐹分别为线 解答题：本题共5小题，共7715．（13分）（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知𝑎=(2,2,2)，𝑎𝑏=(6(1)求向量𝑏(2)设向量𝑐=

—

，求(3)若𝑘𝑎

+2𝑏，求𝑘的值16．（15分）（25-26高二上·四川南充·期末）已知𝐴𝐵𝐶的三个顶点𝐴5,0),𝐵(317．（15分）（25-26高二上·山西运城·期末）如图，已知斜三棱柱𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1，底面𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2,𝐴𝐴1=2，𝐴𝐶的中点为𝐷，𝐴1𝐷⊥底面𝐴𝐵𝐶.(1)求证：𝐴𝐶1⊥平面(2)求直线𝐷𝐵1与平面𝐴1𝐵𝐶所成角的正弦值18．（17分）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆𝐶经过点 5,2，𝐵0,线𝑦=𝑥+2上，直线𝑙:𝑦=𝑥+𝑏(𝑏∈若直线𝑙与圆𝐶相切，求𝑏的值

+2，且圆心𝐶在19．（17分）（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐷平面𝐴𝐷⊥𝐷𝐶，𝐴𝐵//𝐷𝐶，𝐴𝐵

1𝐶𝐷=𝐴𝐷=1，𝑃𝐷=1，𝑀为棱𝑃𝐶棱𝑃𝐴上是否存在点𝑄，使得点𝑄到平面𝐵𝐷𝑀的距离是56?若存在，求出𝑃𝑄2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷0（人教A版）第I卷（选择题8540分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要1．（5分）（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知向量𝑎(1,23)，𝑏=(2,𝑥,2)，且𝑎𝑏x的值是（） 【答案】【解题思路】由空间垂直向量的坐标表示求解即可【解答过程】因为向量𝑎=(1,23)，𝑏=(2,𝑥,2)，且𝑎𝑏，所以𝑎⋅𝑏=1×2+2𝑥—3×2=0，解得：𝑥=2.2．（5分）（25-26高二上·江苏无锡·期末）直线𝑙1:(𝑚+2)𝑥+𝑦+3=0，𝑙2:3𝑥+𝑚𝑦2𝑚+1=0，则“𝑙1//𝑙2”是“𝑚=—3”的（）条件充分不必 B．必要不充 C．充 【答案】【解题思路】假设𝑙1//𝑙2，结合平行的性质计算可得𝑚=—3，再利用充分条件与必要条件定义即可得解【解答过程】若𝑙1//𝑙2，则(𝑚2)𝑚=3，即𝑚22𝑚3=(𝑚1)(𝑚3)=0，解得𝑚=1或𝑚=—3，当𝑚=1时，𝑙1:3𝑥+𝑦+3=0，𝑙2:3𝑥+𝑦+3=0，此时两直线重合，不符合；当𝑚=—3时，𝑙1𝑥𝑦3=0，𝑙2:3𝑥3𝑦5=0，符合要求；综上，可得𝑙1//𝑙2⇔𝑚3，故“𝑙1//𝑙2”是“𝑚=—3”的充要条件3．（5分）（25-26高二上·安徽·期末）已知空间向量𝑎(3,15),𝑏1,0,2),𝑐(0,1,𝑚)，若𝑎,𝑏,𝑐共面，则实数𝑚的值为（） B．- D．±【答案】【解题思路】根据空间向量共面的性质进行求解即可∵𝑎,𝑏,𝑐∴𝑐=𝑥𝑎+𝑦𝑏,∴(0,1,𝑚)=𝑥(3,1,—5)+𝑦(—3𝑥—𝑦= 𝑥=—5𝑥+2𝑦=

𝑥=1⇒𝑚=1𝑦=𝑦=4．（5分）（25-26高二上·江西赣州·期末）经过点𝑀(6,3)且在两坐标轴上截距相等的直线是（A．𝑥+𝑦—9= C．𝑥+𝑦—9=0或𝑥—2𝑦= 【答案】00两种情况求解即得【解答过程】当直线经过原点时，此时直线方程可设为𝑦= 代入点𝑀(6,3)，解得𝑘=2，所以直线方程为𝑦=2𝑥即𝑥2𝑦= 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为+

= 代入点𝑀(6,3)，解得𝑎=9，所以直线方程为𝑥𝑦9=综上，经过点𝑀(6,3)且在两坐标轴上截距相等的直线是𝑥𝑦9=0或𝑥2𝑦=5．（5分）（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知点𝐴(1,2)，直线𝑙：(𝜆+2)𝑥+(1—𝜆)𝑦+2𝜆+7=0(𝜆∈R)，直线𝑙随着𝜆取值变化而发生变化过程中，𝐴到𝑙的距离的最大值为（ 【答案】

​

【解题思路】整理直线方程得到直线经过定点𝐵，当𝐴𝐵𝑙时，此时点𝐴到动直线的距离最大，由两点的距【解答过程】直线方程可以整理为𝑙：(𝑥𝑦2)𝜆(2𝑥𝑦7)=令𝑥𝑦2=02𝑥𝑦+7=

当𝑙𝐴𝐵时，点𝐴到直线(1+(1+3)2+(2+

=6．（5分）（25-26高二上·河南洛阳·期中）4的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点𝑀在该正方体表面上运动，球𝑂为该正方体的内切球，𝑃𝑄为球𝑂的一条直径，则𝑀𝑃⋅𝑀𝑄的取值范围是（）A．[— 【答案】【解题思路】由题意可得|𝑂𝑃|=|𝑂𝑄|=2，𝑂𝑃=—𝑂𝑄，由空间向量的线性运算和数量积运算计算𝑀𝑃所以|𝑂𝑃|=|𝑂𝑄|=2，𝑂𝑃=—𝑂𝑄，𝑂𝑃𝑂𝑄=22cos180∘=—因为𝑀𝑃𝑀𝑄=

— = — = —又因为点𝑀所以当为正方体顶点时，|𝑀𝑂|所以当为正方体顶点时，|𝑀𝑂|

42+42+42=2即2|𝑀𝑂|23，4|𝑀𝑂|212，所以|𝑀𝑂|2—4[0,8]，7．（5分）（25-26高二上·广东韶关·期末）若曲线𝑦=4𝑥2与直线𝑦=𝑘(𝑥2)4有两个交点，则实数𝑘的取值范围为（）D．3A．—3, B．3,+ C．3D．34 【答案】【解答过程】由题意得，直线𝑦𝑘(𝑥2)4可化为𝑦4𝑘(𝑥2)，可得直线过定点𝐷(2,4)，将曲线𝑦=4—𝑥2化为𝑥2+𝑦2=4(𝑦≥0)，2，且位于𝑥轴上方的半圆，直线𝑙与曲线有两个不同的交点，此时𝑘𝐷𝐶=—2—2=当直线𝑙过点𝐷且与半圆相切于𝐴

=2，解得𝑘=4，即𝑘𝐷𝐴=若曲线𝑦=4𝑥2与直线𝑦=𝑘(𝑥2)4有两个交点，结合图形可得𝑘3,1则实数𝑘的取值范围是3,18．（5分）（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，已知四棱台𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的底面𝐴𝐵𝐶𝐷是直角梯形，∠𝐵𝐴𝐷=90∘，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐵=2𝐵𝐶=2𝐷𝐷1=2𝐴1𝐷1，𝐷𝐷1⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐸是侧棱𝐵𝐵1所在直线上的动点，则𝐴𝐸与平面𝐴𝐶𝐴1所成角的正弦值的最大值为（）A． 【答案】

C．

D．2【解题思路】首先以点𝐴为原点建立空间直角坐标系，代入线面角的向量公式求最值【解答过程】因为𝐷𝐷1⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，且𝐴𝐵⊂平面所以𝐷𝐷1⊥𝐴𝐵，且𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，𝐷𝐷1∩𝐴𝐷=𝐷，𝐷𝐷1,𝐴𝐷⊂平面𝐴𝐷𝐷1𝐴1，所以𝐴𝐵⊥平面𝐴𝐷𝐷1𝐴1，以𝐴为原点，𝐴𝐵x轴，ADyA作垂直于平面𝐴𝐵𝐶𝐷z轴，建立如图所示的空间直角设𝐴𝐷=𝐴𝐵=2𝐵𝐶=2𝐷𝐷1=2𝐴1𝐷1=则所以𝐴𝐶=(2,1,0)，𝐶𝐴1=2,0,1)，设𝑛=(𝑥,𝑦,𝑧)为平面𝐴𝐶𝐴1则𝑛·𝐴𝐶=0即2𝑥+𝑦=

取𝑥=1，可得𝑦=—2，𝑧=𝑛·𝐶𝐴1=

—2𝑥+𝑧=所以𝑛=(12,2)为平面𝐴𝐶𝐴1的一个法向量设𝐵𝐸=𝜆𝐵𝐵1，𝜆[0,1]，则𝐴𝐸=𝐴𝐵𝐵𝐸=𝐴𝐵+𝜆𝐵𝐵1=(2,0,0+𝜆1,1,1)=(2 设𝐴𝐸与平面𝐴𝐶𝐴所成的角为𝜃，则sin𝜃=|cos⟨𝐴𝐸,𝑛⟩|=|𝐴𝐸⋅𝑛||2-𝜆- |2- (2-𝜆)2+𝜆2+𝜆2×333𝜆2-令(𝜆- =𝑘，则有

𝜆2

𝜆+36𝑘—4=9(3𝜆2-

当27𝑘—1=0，即𝑘 时，𝜆=1，此时sin𝜃

= 解得0≤𝑘≤，当𝑘=时，𝜆=0∈[0,1]，此时sin𝜃 = ，即𝑘的最大值为 所所 与平 1所成角的正弦值的最大值为 3618分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）（25-26高二上·陕西汉中·期末）𝑎,

是空间的一组基底，则下列结论正确的是（𝑎,

空间中任一向量𝑚，存在唯一有序实数组(𝑥𝑦𝑧)，使𝑚=𝑥𝑎𝑦𝑏D．+2𝑏,𝑏+2𝑐,𝑐+2𝑎【答案】D，根据条件可得𝑎+2𝑏,𝑏+2𝑐,𝑐+2𝑎不共面，即可求解【解答过程】对于A，因为𝑎, 是空间的一组基底，所以向量𝑎,𝑏,𝑐不共面，故A错误存在唯一有序实数组(𝑥,𝑦,𝑧)，使𝑚=𝑥𝑎+𝑦𝑏+𝑧𝑐B正确，对于C，因为𝑎, 是空间的一组基底，所以向量𝑎,𝑏,𝑐不共面，故C错误D，假设向量𝑎+2𝑏,𝑏+2𝑐,𝑐+2𝑎共面，则存在唯一实数𝜆,𝜇，使𝑎+2𝑏=

+2𝑐

+2𝑎=

1—2𝜇=2—𝜆=2𝜆+𝜇=

，无解，所以𝑎+2𝑏,𝑏+2𝑐,𝑐+2𝑎10．（6分）（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知圆𝐶:𝑥2+𝑦2+6𝑥+4𝑦+9=0𝑙:3𝑥4𝑦3=0，点𝑃在圆𝐶上，点𝑄在直线𝑙上，则（𝐶的坐标为C．|𝑃𝑄|min=【答案】CD.【解答过程】圆𝐶的标准方程为(𝑥3)2(𝑦2)2=4，圆心为𝐶(—3,—2)，半径𝑟=2，A错误； 𝑑=|𝐶𝐷| =4，而𝑟=所以圆上只有点𝐸满足到直线𝑙2，B𝑑2—42—对于C,|𝑃𝑄|min=𝑑𝑑2—42—

=23，D错误11．（6分）（25-26高二上·广东湛江·期末）如图，八面体𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹的每一个面都是正三角形，若四边形𝐴𝐵𝐶𝐷4的正方形，则（）A．异面直线𝐴𝐸与𝐷𝐹所成的角大小为C．此八面体的外接球的体积是64．此八面体的内切球的表面积为【答案】COD，利用体积法计算内切球半径，再结合球【解答过程】连接𝐴𝐶,𝐵𝐷O，连接𝑂𝐸,𝑂𝐹，由正方形𝐴𝐵𝐶𝐷得𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，八面体各面是正三角形，根据对称性可知𝐸,𝑂,𝐹三点共线且𝐸𝐹平面𝐴𝐵𝐶𝐷，则𝐴(022,0),𝐸(0,022),𝐷22,0,0),𝐹(0,0,2𝐵(22,0,0),𝐶(0,22,0),𝐷(—22,0,0),𝐹(0,0,2A，𝐴𝐸=(0,22,22),𝐷𝐹=(22,0,2设异面直线𝐴𝐸与𝐷𝐹所成角为𝜃，则cos𝜃|cos⟨𝐴𝐸,𝐷𝐹⟩||𝐴𝐸⋅𝐷𝐹| 因为𝜃∈(0,2]，所以𝜃=3AB，𝐵𝐸22,022),𝐵𝐴=22,22,0),𝐵𝐶=22,2设面𝐴𝐵𝐸的一个法向量为𝑛=(𝑥,𝑦,𝑧)

𝑛=0，也即—22𝑥22𝑧=0⋅𝑛=

—22𝑥—22𝑦=BEC的一个法向量为𝑚=(𝑎,𝑏,𝑐)

⋅𝑚=0⋅𝑚=

—22𝑎—22𝑐=0—22𝑎+22𝑏=取𝑎1，则𝑏=1,𝑐=—1,𝑚=(1,1 所以|cos⟨𝑛,𝑚⟩|=|𝑛||𝑚|=3，又面𝐴𝐵𝐸与面𝐵𝐸𝐶故二面角𝐴—𝐸𝐵—𝐶的平面角的余弦值为

1，故错误；C，由𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝑂𝐷=𝑂𝐸=𝑂𝐹则外接球半径为𝑂𝐴=

2，外接球体积为𝑉=

642πCD，设内切球的半径为𝑟，则八面体的体积为𝑉=2𝑉𝐸—𝐴𝐵𝐶𝐷

=2×

⋅𝐸𝑂=2××4×4×

=64𝑉=

𝐸—𝐴𝐵𝑂=8×3𝑆𝐸𝐴𝐵⋅𝑟=8×3×2×4sin3⋅𝑟

𝑟 3264解得𝑟26，所以内切球表面积为𝑆4π𝑟24π2432πD3264 第II卷（非选择题填空题：本题共3小题，每小题5分，共1512．（5分）（25-26高二上·贵州毕节·期末）平行直线𝑥+3𝑦

=0与3𝑥3𝑦6=0【答案】33/32【解题思路】首先将两方程的𝑥、𝑦前面的系数化成一致，再由距离公式计算可得【解答过程】因为直线𝑥+3𝑦 =0，即3𝑥+3𝑦+3=所以平行直线3𝑥3𝑦3=0与3𝑥3𝑦6=0之间的距离𝑑故答案为：3

(3)=(3)13．（5分）（25-26高二上·河南洛阳·期末）若圆𝐶:𝑥2𝑦24𝑥2𝑦40𝑙:3𝑥—4𝑦+𝑡=0的距离为2，则𝑡的取值范围 <化为标准形式为：(𝑥—2)2+(𝑦—1)2=9，因为圆上有四个不同的点到直线𝑙2，所以与直线𝑙2的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点，设圆心到直线𝑙的距离为𝑑3，则必须满足𝑑2<3，即𝑑<1，所以圆心到直线l的距离𝑑= <1，解得—7𝑡14．（5分）（25-26高二上·上海闵行·期末）在棱长为2的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷—𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐸、𝐹分别为线 【答案】6/13设平面𝐴𝐸𝐹的一个法向量为𝑚=𝑚𝐴𝐸=—2𝑥𝑧=0，令𝑥=1，可得𝑚=𝑚⋅𝐴𝐹=—𝑥+𝑦=又因为𝐷𝐴=(2,0,0)，所以点𝐷到平面𝐴𝐸𝐹的距离为𝑑=|𝐷𝐴⋅𝑚|=

=故答案为：解答题：本题共5小题，共7715．（13分）（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知𝑎=(2,2,2)，𝑎𝑏=(6(1)求向量𝑏(2)设向量𝑐=

—

，求(3)若𝑘𝑎

+2𝑏，求𝑘的值(2)(2)(3)—【解题思路】（1）利用向量的坐标运算求出利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出【解答过程】（1）由𝑎=(2,2,2),𝑎𝑏=(63,2)，得𝑏=(𝑎𝑏)𝑎=(4（2）由（1）得𝑏𝑎(272)，而𝑐(2,𝑚,𝑛),𝑐//(𝑏22+(—7)2+(—22+(—7)2+(—（3）由（1）知，|𝑎|2=12,|𝑏|2=41,𝑎𝑏=—由𝑘𝑎

+2𝑏，得𝑘𝑎

+2𝑏=𝑘𝑎+2𝑘𝑎⋅𝑏+𝑎⋅𝑏=12𝑘—4𝑘—2+82=8𝑘+80=16．（15分）（25-26高二上·四川南充·期末）已知𝐴𝐵𝐶的三个顶点𝐴5,0),𝐵(3【答案】(1)3𝑥5𝑦15=（2）利用中点坐标公式求出𝑀—1

M且平行于边的直线方程．= M且平行于边的直线方程．

即3𝑥—5𝑦+15=0；,—所以𝑀—5+3

，即𝑀—1, ==又因为直线𝑙经过点𝑀且平行于直线𝐴𝐶，所以𝑘𝑙= 17．（15分）（25-26高二上·山西运城·期末）如图，已知斜三棱柱𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1，底面𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2,𝐴𝐴1=2，𝐴𝐶的中点为𝐷，𝐴1𝐷⊥底面𝐴𝐵𝐶.(1)求证：𝐴𝐶1⊥平面(2)求直线𝐷𝐵1与平面𝐴1𝐵𝐶所成角的正弦值【答案】(1)(2)3【解题思路】（1）由线面垂直的性质定理得到𝐴1𝐷⊥𝐵𝐶，即可得到𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶，从而得到𝐵𝐶⊥𝐴𝐶1，再说明𝐴1𝐶⊥𝐴𝐶1，即可得证；（2）取𝐴1𝐶1的中点𝐷1，连接𝐶𝐷1，即可得到𝐶𝐷1⊥面𝐴𝐵𝐶，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可【解答过程】（1）证明：因为𝐴1𝐷平面𝐴𝐵𝐶，又𝐵𝐶平面𝐴𝐵𝐶，所以𝐴1𝐷𝐵𝐶，因为底面𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，所以𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，又𝐴𝐶∩𝐴1𝐷=𝐷，𝐴𝐶,𝐴1𝐷⊂平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶，所以𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶，又𝐴𝐶1⊂平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶，所以𝐵𝐶⊥因为𝐴𝐴1=2，所以侧面𝐴𝐴1𝐶1𝐶为菱形，所以𝐴1𝐶⊥又𝐴1𝐶∩𝐵𝐶=𝐶，𝐴1𝐶,𝐵𝐶⊂平面𝐴1𝐵𝐶，所以𝐴𝐶1⊥平面（2）取𝐴1𝐶1的中点𝐷1，连接𝐶𝐷1，则𝐶𝐷1//𝐴1𝐷，所以𝐶𝐷1⊥面以𝐶为坐标原点，𝐶𝐴,𝐶𝐵,𝐶𝐷1因为𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，𝐴𝐴1=2，所以𝐴(2,0,0),𝐴1(1,0,3),𝐵(0,2,0)，则𝐵1𝐵=𝐴1𝐴=(1,0,—3)，所以𝐵11,2,3)，𝐷𝐵1=2,2,3)，由（1）可知𝐴𝐶1⊥平面𝐴1𝐵𝐶，所以平面𝐴1𝐵𝐶的一个法向量𝐴𝐶1=3,0,4+4+3× 4+4+3×

=3 所以直线𝐷𝐵与平面𝐴𝐵𝐶所成角正弦值为3 18．（17分）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆𝐶经过点 5,2，𝐵0,线𝑦=𝑥+2上，直线𝑙:𝑦=𝑥+𝑏(𝑏∈若直线𝑙与圆𝐶相切，求𝑏的值

+2，且圆心𝐶在【答案】(1)𝑏=2+10或𝑏=2—四边形𝑃𝐴𝐶𝐵面积的最小值为56，𝑃5 【解题思路】（1）设出圆心坐标(𝑎,𝑎2)，利用半径相等得到方程，求出𝑎0，进而确定圆心和半径，得（2）由对称性可知，四边形𝑃𝐴𝐶𝐵的面积𝑆=2𝑆△𝑃𝐴𝐶=5|𝑃𝐴|，且当|𝑃𝐶|最小时，切线长|𝑃𝐴|最短，由点线𝑃𝐶方程为𝑦—2=—𝑥，联立𝑦=𝑥—3求出点𝑃的坐标.【解答过程】（1）C在直线𝑦=𝑥2C的坐标为(𝑎,𝑎+则𝑎

2+(𝑎+2—2)2=𝑎2+𝑎+2

2，解得𝑎=00— +(0+2—

=C的方程为𝑥2(𝑦2)2=由已知得圆心𝐶(0,2)到直线𝑙:𝑥𝑦𝑏=0的距离等于半径|—

=5，解得𝑏=2+10或𝑏=2—（2）当𝑏3l的方程为𝑦𝑥如图，圆的半径为5，即|𝐶𝐴|=|𝐶𝐵|=