2026年北师大版高中数学第8章函数性质测试卷及答案

2026年北师大版高中数学第8章函数性质测试卷及答案第1页共1页2026年北师大版高中数学第8章函数性质测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-2,2)上的最大值是A.3B.2C.1D.0参考答案：A2.函数g(x)=|x-1|+|x+1|在区间[-3,3]上的最小值是A.1B.2C.3D.4参考答案：B3.函数h(x)=2sin(x)+cos(2x)在区间[0,π]上的最大值是A.1B.2C.√3D.√2参考答案：B4.函数k(x)=x-ln(x)在区间(0,+∞)上的单调递增区间是A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)参考答案：B5.函数m(x)=e^(-x)+x^2在区间(-1,1)上的零点个数是A.0B.1C.2D.3参考答案：C6.函数n(x)=x^3-3x^2+2x在区间(-1,3)上的极值点个数是A.0B.1C.2D.3参考答案：D7.函数p(x)=x^4-4x^2+3在区间(-2,2)上的拐点个数是A.0B.1C.2D.3参考答案：C8.函数q(x)=x^3-3x^2+2在区间(-1,3)上的凹区间是A.(-1,1)B.(1,3)C.(-1,1)∪(1,3)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)参考答案：A9.函数r(x)=x^3-3x^2+2x在区间(-1,3)上的凸区间是A.(-1,1)B.(1,3)C.(-1,1)∪(1,3)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)参考答案：B10.函数s(x)=x^3-3x^2+2x在区间(-1,3)上的拐点坐标是A.(0,2)B.(1,0)C.(2,-1)D.(1,0)和(2,-1)参考答案：D二、填空题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-2,2)上的最大值是______。参考答案：32.若函数g(x)=1/x在点(1,1)处的切线方程为y=-x+2，则该函数的导函数g'(x)在x=-1处的值是______。参考答案：-13.函数h(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是______。参考答案：24.已知函数m(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为(2,-3)，则该函数的对称轴方程为______。参考答案：x=25.函数n(x)=e^x-x在区间(0,+∞)上的单调性是______。参考答案：单调递增6.若函数p(x)=sin(x)+cos(x)的最大值为√2，则x的取值范围是______。参考答案：2kπ+π/4≤x≤2kπ+5π/4,k∈Z7.函数q(x)=log_a(x)在x1时单调递减，则实数a的取值范围是______。参考答案：0a18.函数r(x)=x/(x^2-1)的定义域是______。参考答案：(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)9.函数s(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的导数值是______。参考答案：-110.函数t(x)=2^x-x^2在x=0附近的局部性质是______。参考答案：在x=0附近单调递增三、判断题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3在定义域内单调递增。参考答案：√2.若函数f(x)是奇函数，则其图像一定关于原点对称。参考答案：√3.函数f(x)=1/x在定义域内是减函数。参考答案：×4.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是2π。参考答案：√5.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则其导数f'(x)在该区间内恒大于0。参考答案：×6.函数f(x)=x^2-4x+3的图像是一个开口向上的抛物线。参考答案：√7.函数f(x)=e^x在定义域内是增函数且无界。参考答案：√8.若函数f(x)在x=c处取得极值，则其导数f'(c)必等于0。参考答案：×9.函数f(x)=log_a(x)(a1)在定义域内是增函数。参考答案：√10.函数f(x)=x^3-3x+1在(-∞,+∞)内存在两个极值点。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述函数单调性的定义。参考答案：函数在其定义域的某个区间内，如果对于任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，总有f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)），则称函数在该区间上是单调递增（或单调递减）的。2.说明函数奇偶性的判断方法。参考答案：若对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数；若都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数。3.列举三个常见的初等函数，并简述其性质。参考答案：①一次函数f(x)=ax+b（a≠0），是单调函数，图像是直线，具有奇偶性当且仅当a=0；②二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），图像是抛物线，当a0时开口向上，当a0时开口向下，具有奇偶性当且仅当b=0；③指数函数f(x)=a^x（a0且a≠1），当a1时单调递增，当0a1时单调递减，不具有奇偶性。4.分析函数f(x)=x^3-3x的极值点。参考答案：极值点为x=0和x=±1。5.判断函数f(x)=1/x在区间(0,1)上的单调性。参考答案：单调递减。6.简述函数周期性的定义及其几何意义。参考答案：函数f(x)的周期T是使得f(x+T)=f(x)对所有x成立的最小正数。几何意义是函数图像沿x轴平移周期T后能与自身完全重合。7.列举两个具有周期性的函数，并说明其周期。参考答案：①正弦函数f(x)=sin(x)，周期为2π；②余弦函数f(x)=cos(x)，周期为2π。8.分析函数f(x)=sin(x)+cos(x)的图像特征。参考答案：函数f(x)=sin(x)+cos(x)的图像是振幅为√2、周期为2π的余弦型曲线，图像关于点(π/4,√2/2)中心对称，在区间[π/4+2kπ,5π/4+2kπ]（k∈Z）上单调递减。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求函数的极值点。参考答案：极值点为x=1，x=02.函数g(x)=e^x-x在区间(0,1)上的最大值是多少？参考答案：最大值为e-13.求函数h(x)=sin(x)+cos(2x)在[0,π]上的最大值和最小值。参考答案：最大值为√2，最小值为-14.判断函数f(x)=x^3-3x+1是否为奇函数。参考答案：是5.求函数y=x^2-4x+3的单调递增区间。参考答案：[2,+∞)6.已知函数f(x)在x=1处取得极小值，且f'(1)=0，f''(1)0，求f(x)在x=1附近的局部形状。参考答案：在x=1附近函数呈U型7.求函数y=|x-1|+|x+1|的最小值。参考答案：最小值为28.判断函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1在(-∞,2)上是否单调递减。参考答案：是标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：A解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-5，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3。最大值为3。2.参考答案：B解析：g(x)=|x-1|+|x+1|={2x,x1;2,-1≤x≤1;-2x,x-1}。最小值为2。3.参考答案：B解析：h(x)=2sin(x)+1-2sin^2(x)=-2(sin(x)-1/2)^2+5/2。最大值为2。4.参考答案：B解析：k'(x)=1-1/x=(x-1)/x。k'(x)0得x1。5.参考答案：C解析：m'(x)=-e^(-x)+2x。令m'(x)=0得x=1/e。m(0)=1，m(1/e)=1-1/e0，m(1)=e^-1+10。m(-1)=e+10。有两个零点。6.参考答案：D解析：n'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令n'(x)=0得x=1±√10/3。n''(x)=6x-6。n''(1-√10/3)=-2√100，n''(1+√10/3)=2√100。有一个极大值点x=1-√10/3，一个极小值点x=1+√10/3。7.参考答案：C解析：m'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)。m''(x)=12x^2-8。令m''(x)=0得x=±√2/3。m''(-√2/3)=40，m''(√2/3)=0。有两个拐点。8.参考答案：A解析：q'(x)=3x^2-6x。q''(x)=6x-6。q''(x)0得x1。凹区间为(-1,1)。9.参考答案：B解析：r'(x)=3x^2-6x+2。r''(x)=6x-6。r''(x)0得x1。凸区间为(1,3)。10.参考答案：D解析：s'(x)=3x^2-6x+2。s''(x)=6x-6。令s''(x)=0得x=1。s(1)=0。s''(2)=60。拐点为(1,0)和(2,-1)。二、填空题1.参考答案：3解析：函数f(x)=x^3-3x+1的导数为f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，得x=±1。计算f(-2)=-1，f(-1)=2，f(1)=-1，f(2)=3。故最大值为3。2.参考答案：-1解析：函数g(x)=1/x的导数为g'(x)=-1/x^2。在点(1,1)处，g'(1)=-1。切线方程为y-1=-1(x-1)，即y=-x+2。在x=-1处，g'(-1)=-1。3.参考答案：2解析：函数h(x)=|x-1|+|x+1|可分段表示为h(x)={x+2,x≤-1,2,-1x1,-x,x≥1}。显然在x=0时取最小值2。4.参考答案：x=2解析：函数m(x)=ax^2+bx+c的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。已知顶点为(2,-3)，则-b/2a=2，c-b^2/4a=-3。对称轴为x=-b/2a，即x=2。5.参考答案：单调递增解析：函数n(x)=e^x-x的导数为n'(x)=e^x-1。在区间(0,+∞)上，e^x1，故n'(x)0。因此n(x)单调递增。6.参考答案：2kπ+π/4≤x≤2kπ+5π/4,k∈Z解析：函数p(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。最大值为√2时，x+π/4=2kπ+π/2，解得x=2kπ+π/4。周期为2π，故x的取值范围是2kπ+π/4≤x≤2kπ+5π/4。7.参考答案：0a1解析：函数q(x)=log_a(x)单调递减当且仅当0a1。因为对数函数的底数a必须满足0a1才能保证函数单调递减。8.参考答案：(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)解析：函数r(x)=x/(x^2-1)的定义域要求分母不为0，即x^2-1≠0。解得x≠±1。故定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)。9.参考答案：-1解析：函数s(x)=x^3-3x^2+2x的导数为s'(x)=3x^2-6x+2。在x=1处，s'(1)=3(1)^2-6(1)+2=-1。10.参考答案：在x=0附近单调递增解析：函数t(x)=2^x-x^2的导数为t'(x)=2^xln(2)-2x。在x=0处，t'(0)=ln(2)0。且t''(x)=2^x(ln(2))^2-20，说明t'(x)在x=0附近单调递增。因此t(x)在x=0附近单调递增。三、判断题1.参考答案：√解析：对于函数f(x)=x^3，其导数f'(x)=3x^2。由于3x^2≥0对所有实数x都成立，且只有当x=0时取等号，因此f'(x)在定义域内恒大于等于0，所以f(x)=x^3在定义域R内单调递增。这是多项式函数单调性的典型结论，考查了导数与函数单调性之间的关系。2.参考答案：√解析：根据奇函数的定义，若f(x)是奇函数，则满足f(-x)=-f(x)。几何上，这意味着函数图像关于原点对称。因为如果点(x,f(x))在图像上，则点(-x,-f(x))也必须在图像上，这正是原点对称的性质。此题考查了奇函数的代数定义与几何性质的等价关系。3.参考答案：×解析：函数f(x)=1/x在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内分别是减函数，但整个定义域上并不是单调减函数。具体来说，在区间(-∞,0)上，随着x减小，1/x增大；在区间(0,+∞)上，随着x增大，1/x减小。因此f(x)=1/x在定义域内不是减函数，而是分段单调。此题考查了反比例函数的单调性，需要注意其定义域的划分。4.参考答案：√解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)可以化简为√2sin(x+π/4)。正弦函数sin(x)的最小正周期是2π，因此√2sin(x+π/4)的最小正周期也是2π。这表明f(x)的图像每隔2π长度重复一次，符合正弦型函数的周期性质。此题考查了三角函数的周期性，需要掌握周期变换公式。5.参考答案：×解析：根据导数与单调性的关系，若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则其导数f'(x)在该区间内大于等于0，但不一定恒大于0。例如，函数f(x)=x^3在区间(-1,1)上单调递增，但f'(x)=3x^2在x=0处等于0。因此单调递增函数的导数可以等于0。此题考查了导数与单调性关系的精确表述，需要注意"恒大于0"的条件。6.参考答案：√解析：函数f(x)=x^2-4x+3可以写成f(x)=(x-2)^2-1。这是一个标准形式的抛物线方程，其中二次项系数为正（10），因此抛物线开口向上。顶点坐标为(2,-1)，对称轴为x=2。此题考查了二次函数的图像特征，需要掌握顶点式与开口方向的关系。7.参考答案：√解析：指数函数f(x)=e^x的导数f'(x)=e^x。由于e^x始终大于0对所有实数x都成立，因此f(x)=e^x在定义域R内是严格增函数。同时，当x→+∞时，e^x→+∞；当x→-∞时，e^x→0。这表明函数无上界但有下界（下界为0）。此题考查了指数函数的基本性质，需要掌握其单调性与有界性的特点。8.参考答案：×解析：根据极值存在的必要条件（费马定理），若函数f(x)在x=c处取得极值，则其导数f'(c)必须等于0。但需要注意，导数等于0只是取得极值的必要条件而非充分条件。例如f(x)=x^3在x=0处导数为0，但这里不是极值点。因此正确表述应该是"若函数f(x)在x=c处取得极值，则其导数f'(c)必等于0"，但题目表述"必等于0"过于绝对，实际上还需要验证二阶导数或利用导数符号变化才能确定是否为极值。此题考查了极值判别条件的精确理解。9.参考答案：√解析：对于对数函数f(x)=log_a(x)(a1)，其导数f'(x)=1/(xln(a))。由于a1，ln(a)0，且x0，因此f'(x)始终大于0。这表明对数函数在定义域(0,+∞)内是严格增函数。此题考查了对数函数的单调性，需要掌握对数函数的导数公式及其符号。10.参考答案：√解析：函数f(x)=x^3-3x+1的导数f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。令f'(x)=0得到x=-1和x=1。计算二阶导数f''(x)=6x，在x=-1处f''(-1)=-60，在x=1处f''(1)=60。这表明x=-1是极大值点，x=1是极小值点。因此函数在(-∞,+∞)内存在两个极值点。此题考查了极值点的判断方法，需要掌握一阶导数与二阶导数检验法。四、简答题1.参考答案：函数在其定义域的某个区间内，如果对于任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，总有f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)），则称函数在该区间上是单调递增（或单调递减）的。解析：函数单调性是函数的重要性质之一，定义要求在某个区间内自变量大小与函数值大小关系保持一致。考查对单调性定义的理解，需要掌握如何用不等式语言描述单调性。该定义是判断函数单调性的理论基础，也是证明函数单调性的依据。在应用时要注意区间性，单调性只在特定区间内成立。2.参考答案：若对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数；若都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数。解析：奇偶性是函数的对称性特征，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。判断方法需要先验证函数定义域是否关于原点对称（奇函数要求，偶函数不要求），然后代入f(-x)进行化简。易错点包括忽略定义域限制、化简过程出错、混淆奇偶性定义。奇偶性常用于简化函数图像绘制和性质分析。3.参考答案：①一次函数f(x)=ax+b（a≠0），是单调函数，图像是直线，具有奇偶性当且仅当a=0；②二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），图像是抛物线，当a0时开口向上，当a0时开口向下，具有奇偶性当且仅当b=0；③指数函数f(x)=a^x（a0且a≠1），当a1时单调递增，当0a1时单调递减，不具有奇偶性。解析：初等函数是构成复杂函数的基础，掌握其性质对分析更复杂函数至关重要。一次函数是最简单的线性函数，二次函数是二次函数的核心，指数函数是指数函数的代表。需要区分不同函数类型的主要特征，如单调性、奇偶性、对称性等。这些函数是高中数学的基础，也是后续学习更复杂函数的基石。4.参考答案：极值点为x=0和x=±1。解析：首先求导数f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x^2=1，解得x=±1。然后判断导数符号变化：当x-1时f'(x)0，-1x0时f'(x)0，0x1时f'(x)0，x1时f'(x)0。根据导数符号变化可知x=-1为极大值点，x=0为极小值点，x=1为极大值点。极值点分析需要综合运用导数和符号判断法，这是研究函数局部性质的重要方法。5.参考答案：单调递减。解析：在区间(0,1)内，函数f(x)=1/x的导数为f'(x)=-1/x^2，由于x^20，所以f'(x)0。根据单调性定义，导数小于0说明函数在该区间上单调递减。判断单调性可以通过求导数或直接分析函数表达式。对于反比例函数，其单调性与区间位置有关，在(0,1)和(1,+∞)上单调递减，在(-∞,-1)和(0,1)上单调递增。6.参考答案：函数f(x)的周期T是使得f(x+T)=f(x)对所有x成立的最小正数。几何意义是函数图像沿x轴平移周期T后能与自身完全重合。解析：周期性描述了函数值重复出现的规律性，是周期函数的重要特征。定义中"最小正数"是关键，需要区分周期和任意周期。几何意义可以直观理解周期函数的重复性，例如正弦函数每隔2π就重复一次。周期性常用于简化函数分析，如求周期函数在某区间上的值。7.参考答案：①正弦函数f(x)=sin(x)，周期为2π；②余弦函数f(x)=cos(x)，周期为2π。解析：正弦函数和余弦函数是最基本的周期函数，它们的周期都是2π。其他常见周期函数包括f(x)=tan(x)周期为π，f(x)=csc(x)周期为2π，f(x)=sec(x)周期为2π等。判断周期函数的周期需要利用周期定义，对于三角函数，通常需要利用诱导公式化简后确定最小正周期。8.参考答案：函数f(x)=sin(x)+cos(x)的图像是振幅为√2、周期为2π的余弦型曲线，图像关于点(π/4,√2/2)中心对称，在区间[π/4+2kπ,5π/4+2kπ]（k∈Z）上单调递减。解析：首先利用辅助角公式sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，得到函数是振幅为√2、周期为2π的正弦型函数。然后分析对称性，由于相位为π/4，图像关于点(π/4,√2/2)中心对称。单调性分析需要求导数f'(x)=√2cos(x+π/4)，令f'(x)=0