湖南省永州市2027届高三上学期高考第一次模拟考试数学练习试卷（含答案）

湖南省永州市2027届高三上学期高考第一次模拟考试数学练习试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知集合M=−2,−1,0,1,2,N=xx≥0A.0 B.1,2 C.0,1,2 D.x|x≥02．已知复数z满足1−iz=4iA.-2 B.2 C.5 D.23．若点Px0,42为抛物线A.2 B.4 C.6 D.84．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=23，b=2，B=π6A.π3 B.π3或2π3 C.π65．设Sn为数列an的前n项和，若2SA.27 B.81 C.93 D.2436．已知圆O:x2+y2=4,直线l:y=kx+2与圆O相交于A,A.±3 B.±1 C.±227．若n为一组从小到大排列的数1,2,4,6,9,10的第60百分位数,在(x−2y)n的展开式中,xA.30 B.60 C.40 D.−608．已知点M在z轴上，且点M到点A1,0,2与到点B1,−3,1的距离相等，则点A.0,0,3 B.0,0,−3 C.0,0,−2 D.0,0,2二、多项选择题9．已知函数fx=Asinωx+φ（其中A>0,A.φ=B.ω=2C.fx的一个对称中心为D.若函数gx=faxa>0在区间0,10．如图所示,用一个与圆柱底面成θ0<θ<π2角的平面截圆柱,截口曲线是一个椭圆,F1、F2A.椭圆的长轴长为8B.椭圆的离心率为3C.满足∠F1PD.PF211．已知函数fxA.fxB.fx在−∞,−2C.关于x的方程fxD.若关于x的不等式fx+a+2<0恰有1个整数解，则实数a三、填空题12．已知函数fx=2x+lnx，则曲线y=fx13．甲盒装有2个红球、4个白球，乙盒装有3个红球、3个白球.掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点数为1或2，从甲盒中随机摸出2个球，否则从乙盒中随机摸出2个球.则摸到2个白球的概率为________.14．已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=2，∠ACB=60°，SC为球O的直径，且SC=4，则三棱锥S−ABC体积的最大值为_____.四、解答题15．已知数列an的首项a1=2(1)求数列an(2)若数列bn满足对任意n∈N*,2bn+1=bn+①设数列1Sn的前n项和为Tn②若对任意n∈N*,bn16．从5名优秀大四学生中抽选人员分3批次到某公司参与实习.每次实习需要同时派送2名学生，且每次派送人员均从这5人中随机抽选.已知这5名优秀大四学生中，2人有实习经验，3人没有实习经验.(1)求5名学生中的“小张”，在这3批次实习中恰有两次被抽选到的概率；(2)求第一次抽选到有实习经验学生的人数X的分布列及数学期望；(3)设第二次抽选时，选到没有实习经验学生的人数为Y，判断PY=0与P17．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC(1)证明：A1(2)求平面A1BD与平面18．在平面直角坐标系xOy中,已知点F1−17,0、F217,0(1)求C的方程；(2)设点T在直线x=12上,过T的两条直线分别交C于A、B两点和P,Q两点,且TA⋅TB=19．已知函数fx=ax+lnx,直线(1)求a的值；(2)若对任意x∈1e,e2,存在c∈[−(3)若φx=exf参考答案1．答案：CM∩N表示集合M和集合N的交集,是由既属于集合M又属于集合N的所有元素构成的集合,又因为集合M=−2,−1,0,1,2,N=xx≥02．答案：D复数z满足1−iz=4i所以z=3．答案：C因为点Px0,4所以422=8因为抛物线y2=8x的准线为所以点P到其焦点的距离为4+2=6.4．答案：B由正弦定理asinA=因为A∈(0,π)，所以A=验证：当A=2π3故选B.5．答案：B根据2Sn=3an−3，可得2Sn+1=3an+1−3，两式相减得6．答案：A圆O:x2+y2=4的圆心坐标为设d为圆心到直线l的距离,则|AB|=2r所以23=24−d2由点到直线的距离公式:d=|k×0−1×0+2|k2+1=7．答案：B因为n为一组从小到大排列的数1,2,4,6,9,10的第60百分位数,且6×60%=3.6,所以n=6,所以x−2y6的展开式的通项为T令r=2,所以展开中x4y2故选：B.8．答案：B因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为0,0,a，因为点M到点A1,0,2与到点B所以0−12两边同时平方，解得a=−3，所以点M的坐标为0,0,−3.9．答案：BCD由图象可知A=2,f0=3,所以2又因为0<φ<π,所以φ=π3若φ=π3,由f5π12由图象可知12T>5π12,即所以0<ω<125,即0<245k−2<12故φ=2π3,此时由f5π12因为0<ω<125,即0<245所以k=1,ω=2,即fx由2x+2π3=kπk∈Z当k=2时,对称中心为2π3gx=2sin2ax+2因为gx有三个零点,结合图象可得3π<2a故选：BCD.10．答案：ABD对于选项A：已知圆柱底面半径为r=2,2r=4=2b,所以b=2,可得2a=2rcosθ对于选项B：因为c2=a所以椭圆离心率e=c对于选项C：原题意即为以O为圆心,c为半径的圆与椭圆有几个交点个数,因为b<c<a,故满足条件的点P共有4个,选项C错误；对于选项D：设PF1=m由椭圆定义可得|PF1|+|PF2因为P在椭圆上,n的取值范围是[a−c,a+c],即n∈4−2则PF因为8m当且仅当8nm=2m则PF所以PF2P11．答案：AC对于A：函数fx=xf−x=−x对于B：任取2<x1<x1−2>0，x2−2>0，x2即函数fx在2,+∞又因为函数fx为奇函数，所以fx在对于C：x=0时，f0当x∈0,2时，fx=x2−x当x∈2,+∞时，fx=令gx=fx，则由对称性可知在−2,0上方程fx=1有解对于D：fx关于x的不等式fx+a+2<0可得结合图象可知，当−a+2当−a+2<−1时，在区间因此只需在−∞,−2内包含一个-3即可.因为f−3=−3，因此若不等式恰好有1个整数解，只需−3<−a+2解得0≤a<1，D错误.12．答案：3x−y−1=0由f(x)=2x+lnx可得f'(x)=2+1∵f(1)=2+ln所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y−2=3(x−1)，即3x−y−1=0.故答案为：3x−y−1=0.13．答案：4记事件A为“从甲盒中摸球”，事件B为“从乙盒中摸球”，事件C为“摸到两个白球”，掷质地均匀的骰子，出现点数为1，2的概率PA=2出现点数为3，4，5，6的概率PB=4则摸到白球的总概率为：PC14．答案：4如图所示，设圆O1的半径为r在△ABC中，因为AB=2，∠ACB=60°，由正弦定理得2r=ABsin∠ACB即△ABC的外接圆O1的半径为r=因为SC为球O的直径，且SC=4，可得球的半径为R=2，所以球心O到△ABC所在小圆的距离为d=R则点S到平面ABC的距离为2d=4在△ABC中，由余弦定理得AB2即4=BC当且仅当BC=AC=2时，等号成立，即BC⋅所以△ABC面积的最大值为12故三棱锥体积的最大值为V=1故答案为：4215．答案：(1)a(2)①见解析②λ≥(1)∵2a∴当n≥2时,2a两式相减得2n∴当n≥2时,an当n=1时,a1综上,数列an的通项公式为a(2)①因为2bn+1=设公差为d,又b1=3,b3所以bn=3n,则所以1S所以T=2②因为对任意n∈N*,即对任意n∈N*,所以对任意n∈N*,令cn=3n−5所以当1≤n≤2时cn+1−cn>0所以c1所以cnmax=16．答案：(1)36(2)X的分布列为X012P331EX(3)见解析(1)每次从5人中选2人，小张单次被抽中的概率为P=C3次抽选是独立重复试验，设这3批次实习中小张被抽选到的次数为ξ，则ξ∼B3,因此恰有两次被抽选的概率P=C(2)因为X表示第一次抽选的2人中，有实习经验的人数，所以X的可能取值为0，1，2，PX=0=CPX=2所以X的分布列为X012P331所以E(X)=0×3(3)PY=0由已知事件Y=0表示第二次抽到的2人都有实习经验，事件Y=1表示第二次抽到1名无实习经验、1名有实习经验的学生，由(2)PX=0=310，第二次抽选仍从全部5人中随机选2人，PY=0若第一次选了k个有实习经验的学生，则第一次抽选后没有实习经验的学生数为3−2−k因此PY=0|X=k所以PY=0PY=1若第一次选了k个有经验的学生，则第一次抽选后没有实习经验的学生数为k+1，因此PY=1|X=k所以P故PY=017．答案：(1)见解析(2)3(1)由AB=AC，D为BC中点，得AD⊥BC.又AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABCAD∩AA1=A，所以BC⊥A1D⊂平面A1(2)以A为原点建系.A(0,0,0),B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,2)，D(1,1,0)，A1设平面A1BD的法向量为m=(x,y,z)，则取z=1，得x=1，y=1，所以m=(1,1,1)平面ABC的法向量为n=(0,0,1)cos所以平面A1BD与平面ABC夹角的余弦值为18．答案：(1)x(2)0(1)因为MF所以,轨迹C是以点F1、F设轨迹C的方程为x2a2−y2b所以,轨迹C的方程为x2(2)[方法一]最优解】：直线方程与双曲线方程联立如图所示,设T(1设直线AB的方程为y−n=k1(x−联立y−n=k化简得(16−k12则x1+x故|TA|=1+则|TA|⋅|TB|=(1+k设PQ的方程为y−n=k2(x−因为TA⋅TB=化简得1+17所以k12−16=因为k1≠k[方法二]：参数方程法设T(12,m)．设直线AB则其参数方程为x=1联立直线方程与曲线C的方程16x可得16(1整理得(16cos设TA=t1,由根与系数的关系得|TA|⋅|TB|=t设直线PQ的倾斜角为θ2,TP=同理可得|由|TA|⋅|TB|=|TP|⋅|TQ|,得cos2因为θ1≠θ由题意分析知θ1+θ故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．[方法三]：利用圆幂定理因为TA⋅TB=设T(12,t),直线AB直线PQ的方程为y−t=k则二次曲线(k又由x2−yλ(k整理可得：(λ+(k其中m=λt由于A,B,P,Q四点共圆,则xy项的系数为0,即k119．答案：(1)a=1(2)3+(3)见解析(1)设直线2x−y−1=0与曲线y=fx相切于点x因为f′x=a+又因为2x0−1=ax0(2)由(1)得fx对任意x