不规则网格有限差分法课件

不規則網格有限差分法規則差分網格的特點：（1）建立有限差分方程時物理概念清楚，計算簡單編制計算程式容易。（2）有現成的軟體，如ProcessingModflow（美國環保署）和VisualModflow（美國地質調查所開發）。（3）擬合自然邊界及非均值界線時顯的不夠靈活。（4）在需要進行網格加密的地區進行網格加密時，會使那些不需要加密的地區也進行了加密，增加了計算工作量。不規則網格的特點：與規則網格相反。

一、地下水流區域的剖分不規則網格一般採用三角網格。三角形叫面元，三角形的邊叫線元，三角形的頂點叫點元或節（結）點，區域內部的點叫內點元，邊界上的點元叫邊界點元。剖分時注意：（1）點元必須是具有公共線元和麵元的頂點。（2）面元的任一內角不應大於90°及小於30°。（3）剖分時點元的密度可根據在某些地區的需要靈活選擇，如在漏斗中心及地下水流場變化比較複雜地段要密。

（4）點元和麵元均要編號。（5）點元編號時，不必分內節點與第二類邊界點，自小到大依次編號，編完之後再編第一類邊界點元的號。（6）編號時，第一類邊界與第二類邊界的交界點要取第一類邊界點元。（7）滲流區域內的各種界線及自然邊界均可用線元構成的折線逼近，如非均值界線、承壓水與潛水分界線等。（8）滲流區域內的抽水孔不一定要求與點元重合，但滲流區域內的觀測孔應儘量與點元重合。二、水頭模式的建立與面元水力坡度在一個滲流區，水頭函數是一個非常複雜的連續函數，用H（x，y，t）表示，如圖，難以找到合適的解析式來表示。解析解是座標的函數，當要計算某點的水位時，只要將座標代入方程就可以了。但是對於複雜的滲流區域是給不出解析解的。數值解的處理方法：將滲流區域剖分成n個小的單元，每一個單元的水面是一個平面，在整個滲流區將變成為由n個小三角平面組成的一個折曲面。用這個折曲面來代替地下水面。可知，單元越密折曲面越逼近地下水面，但是會造成計算工作量增大。

在三角面元上，水面是一個平面，可以用平面方程表示，以β面元為例：這就可以用來逼近

H（x，y，t）對面元水頭函數對x，y求導於是，面元上沿x，y方向的水力坡度為因此，求得a，b，c後，就可得面元上的水頭函數和水力坡度。

設β面元三節點的編號分別為i，j，m。水頭H（x，y，t）在i，j，m節點上的水位分別為Hi（t），Hj（t），Hm（t）。點元i，j，m的座標為（xi，yi），（xj，yj），（xm，ym）。現在的問題是：如果能確定出係數a，b，c，面元的水頭函數就確定了，已知條件是三點的座標和三點的水位，就是，將a，b，c轉化成三點的座標和三點的水位。按照克萊姆法則，有

面元三節點上的水位為：由知。或由克萊姆法則和行列式的計算知引入下列符號，也叫座標輪減數。下麵確定Da，Db，Dc，D。令則

將其代入水頭方程：得：令水頭方程變為：在每一個單元上，都定義著一個水頭模式，將這些水頭模式“拼接”起來，可近似表示滲流區的水頭函數H（x，y，t）因此，水頭方程為：其中，面元水力坡度：三、均衡單元的基本均衡方程

1、均衡單元的建立（1）首先進行三角網格剖分。（2）i節點所在均衡單元Ri的建立：Ri的圍線由以點i為公共頂點的面元外心的連線組成。

2、均衡單元的基本均衡方程依據均衡原理：（1）側向淨徑流量設流進Ri的側向徑流量為正；設流出Ri的側向徑流量為負；以Qu(t)表示t時刻發生在Ri上的側向淨徑流量（側向流入量減去側向流出量）

表示包含在Ri內（β）面元上過水斷面ab與bc的側向徑流量（流入為正，流出為負）其中，p為包含在Ri內的面元個數。由於將單元均質化，水頭函數線性化和含水層厚度取平均值後，單元內的水力坡度處處相等，含水層厚度處處相等，所以通過兩點的任意連線的流量均相等。如圖，通過ac與abc與adc三個斷面的流量是一樣的。所以其中，M含水層的厚度。導水系數為水位取三節點水位的平均值：因為：於是，變為：將代入上式，得整理得：i均衡單元的淨徑流量針對下圖可寫出1號節點所在均衡域側向淨徑流量。

（2）貯存量的變化量以Qs(t)表示t時刻Ri均衡單元的貯存量的變化量；表示Ri均衡單元水頭變化的平均速度；

Bi表示Ri的面積。則上式，S貯水系數，潛水為給水度μ。

只要求得Bi，Qs(t)就求得了。

右圖，只要求得iabc的面積，其他類似。於是同理

均衡單元貯存量的變化量為：由對稱差分格式得：五、邊界條件的應用

1、一類邊界的處理一類邊界點不需要列出均衡方程，但相鄰點列均衡方程時需要該點的水位，直接用一類邊界已知水位Hi(t1)及Hi(t)。

2、二類邊界的處理先視為隔水邊界，建立均衡方程，然後將二類邊界的流量作為源匯項加在該節點上。第八節二維流計算中的個別問題一、抽（注）水井的抽（注）水量分配當抽（注）水井位於節點上時，將抽（注）水量作為源匯項直接加