3.4 一元二次方程根与系数的关系 课件 -2026-2027学年湘教版数学九年级上册

#湘教版九年级上册3.4一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）##✅知识点一元二次方程$\boldsymbol{ax^\(\boldsymbol{2}\)+bx+c=0\(a\neq0)}$\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)当$\boldsymbol{\Delta\ge0}$时\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)两根$x_1,x_\(\boldsymbol{2}\)$满足：$$\boldsymbol{x_1+x_\(\boldsymbol{2}\)=-\dfrac{b}{a}},\quad\boldsymbol{x_1x_\(\boldsymbol{2}\)=\dfrac{c}{a}}$$>特殊情况：当二次项系数$\(a=1\)$\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)方程$x^\(\boldsymbol{2}\)+px+q=0$>$x_1+x_\(\boldsymbol{2}\)=-p,\quadx_1x_\(\boldsymbol{2}\)=q$⚠️前提条件：1.必须是**一元二次方程**：$\boldsymbol{a≠0}$\(\boldsymbol{2}\).方程**有实数根**：$\boldsymbol{\Delta\ge0}$###常见变形（考试高频）$x_1^\(\boldsymbol{2}\)+x_\(\boldsymbol{2}\)^\(\boldsymbol{2}\)=(x_1+x_\(\boldsymbol{2}\))^\(\boldsymbol{2}\)-\(\boldsymbol{2}\)x_1x_\(\boldsymbol{2}\)$$(x_1-x_\(\boldsymbol{2}\))^\(\boldsymbol{2}\)=(x_1+x_\(\boldsymbol{2}\))^\(\boldsymbol{2}\)-4x_1x_\(\boldsymbol{2}\)$$\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_\(\boldsymbol{2}\)}=\dfrac{x_1+x_\(\boldsymbol{2}\)}{x_1x_\(\boldsymbol{2}\)}$---##专项练习###一、选择题1.方程$x^\(\boldsymbol{2}\)-5x+6=0$两根之和$x_1+x_\(\boldsymbol{2}\)=$（）A.$5$B.$-5$C.$6$D.$-6$\(\boldsymbol{2}\).一元二次方程$\(\boldsymbol{2}\)x^\(\boldsymbol{2}\)+3x-4=0$\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)两根之积$x_1x_\(\boldsymbol{2}\)=$（）A.$\dfrac3\(\boldsymbol{2}\)$B.$-\dfrac3\(\boldsymbol{2}\)$C.$-\(\boldsymbol{2}\)$D.$\(\boldsymbol{2}\)$3.已知方程$x^\(\boldsymbol{2}\)-4x+m=0$两根之和为4\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)两根之积为$m$\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)若一根是1\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)则另一根为（）A.$3$B.$-3$C.$4$D.$-4$4.若方程$kx^\(\boldsymbol{2}\)-\(\boldsymbol{2}\)x+1=0$有两个实数根\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)则两根之和为（）A.$\dfrac\(\boldsymbol{2}\)k$B.$-\dfrac\(\boldsymbol{2}\)k$C.$\dfrac1k$D.$-\dfrac1k$###二、填空题5.$x^\(\boldsymbol{2}\)+\(\boldsymbol{2}\)x-8=0$\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)$x_1+x_\(\boldsymbol{2}\)=\_\_\_$\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)$x_1x_\(\boldsymbol{2}\)=\_\_\_$。6.$3x^\(\boldsymbol{2}\)-6x-1=0$\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)$x_1+x_\(\boldsymbol{2}\)=\_\_\_$\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)$x_1x_\(\boldsymbol{2}\)=\_\_\_$。7.已知方程$x^\(\boldsymbol{2}\)-3x-1=0$两根为$x_1,x_\(\boldsymbol{2}\)$\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)则$x_1^\(\boldsymbol{2}\)+x_\(\boldsymbol{2}\)^\(\boldsymbol{2}\)=$________。###三、基础解答题8.已知一元二次方程$\(\boldsymbol{2}\)x^\(\boldsymbol{2}\)-7x+3=0$\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)不解方程\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)求：（1）两根之和；（\(\boldsymbol{2}\)）两根之积。9.已知方程$x^\(\boldsymbol{2}\)-6x+k=0$的一个根是\(\boldsymbol{2}\)\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)求另一根及$k$的值。###四、中档解答题10.设$x_1,x_\(\boldsymbol{2}\)$是方程$x^\(\boldsymbol{2}\)-\(\boldsymbol{2}\)x-1=0$两根\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)求$\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_\(\boldsymbol{2}\)}$的值。\(\boldsymbol{11}\).已知关于$x$的方程$x^\(\boldsymbol{2}\)-(m-3)x+m=0$的两根之和为5\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)求$m$的值。###五、拓展题1\(\boldsymbol{2}\).已知一元二次方程$x^\(\boldsymbol{2}\)-\(\boldsymbol{2}\)(k+1)x+k^\(\boldsymbol{2}\)=0$有两个实数根$x_1,x_\(\boldsymbol{2}\)$\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)且$x_1+x_\(\boldsymbol{2}\)=x_1x_\(\boldsymbol{2}\)$\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)求$k$的值。---#参考答案与解析###选择题1.**A**$\(a=1\),b=-5,c=6$\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)$x_1+x_\(\boldsymbol{2}\)=-\dfrac{b}{a}=5$\(\boldsymbol{2}\).**C**$a=\(\boldsymbol{2}\),b=3,c=-4$\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)$x_1x_\(\boldsymbol{2}\)=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-4}{\(\boldsymbol{2}\)}=-\(\boldsymbol{2}\)$3.**A**设另一根$x_\(\boldsymbol{2}\)$\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)$1+x_\(\boldsymbol{2}\)=4\Rightarrowx_\(\boldsymbol{2}\)=3$4.**A**$x_1+x_\(\boldsymbol{2}\)=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-\(\boldsymbol{2}\)}{k}=\dfrac\(\boldsymbol{2}\)k$###填空题5.$\boldsymbol{-\(\boldsymbol{2}\)}$；$\boldsymbol{-8}$6.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{2}\)}$；$\boldsymbol{-\dfrac13}$7.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{11}\)}$$x_1+x_\(\boldsymbol{2}\)=3,\x_1x_\(\boldsymbol{2}\)=-1$$x_1^\(\boldsymbol{2}\)+x_\(\boldsymbol{2}\)^\(\boldsymbol{2}\)=(x_1+x_\(\boldsymbol{2}\))^\(\boldsymbol{2}\)-\(\boldsymbol{2}\)x_1x_\(\boldsymbol{2}\)=9+\(\boldsymbol{2}\)=\(\boldsymbol{11}\)$###解答题8.$\(\boldsymbol{2}\)x^\(\boldsymbol{2}\)-7x+3=0\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)a=\(\boldsymbol{2}\),b=-7,c=3$(1)$x_1+x_\(\boldsymbol{2}\)=-\dfrac{-7}{\(\boldsymbol{2}\)}=\boldsymbol{\dfrac7\(\boldsymbol{2}\)}$(\(\boldsymbol{2}\))$x_1x_\(\boldsymbol{2}\)=\dfrac3\(\boldsymbol{2}\)$9.设另一根为$x_\(\boldsymbol{2}\)$$\(\boldsymbol{2}\)+x_\(\boldsymbol{2}\)=6\Rightarrowx_\(\boldsymbol{2}\)=4$两根之积：$\(\boldsymbol{2}\)\times4=k\Rightarrow\boldsymbol{\(k=8\)}$答：另一根是4\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)$\(k=8\)$。10.$x_1+x_\(\boldsymbol{2}\)=\(\boldsymbol{2}\),\x_1x_\(\boldsymbol{2}\)=-1$$$\frac1{x_1}+\frac1{x_\(\boldsymbol{2}\)}=\frac{x_1+x_\(\boldsymbol{2}\)}{x_1x_\(\boldsymbol{2}\)}=\frac{\(\boldsymbol{2}\)}{-1}=\boldsymbol{-\(\boldsymbol{2}\)}$$\(\boldsymbol{11}\).$x_1+x_\(\boldsymbol{2}\)=m-3=5$\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)解得$\boldsymbol{\(\boldsymbol{m=8}\)}$1\(\boldsymbol{2}\).$x_1+x_\(\boldsymbol{2}\)=\(\boldsymbol{2}\)(k+1),\quadx_1x_\(\boldsymbol{2}\)=k^\(\boldsymbol{2}\)$由$x_1+x_\(\boldsymbol{2}\)=x_1x_\(\boldsymbol{2}\)$：$$\(\boldsymbol{2}\)(k+1)=k^\(\boldsymbol{2}\)$$$$k^\(\boldsymbol{2}\)-\(\boldsymbol{2}\)k-\(\boldsymbol{2}\)=0$$$$k=\frac{\(\boldsymbol{2}\)\pm\sqrt{4+8}}{\(\boldsymbol{2}\)}=1\pm\sqrt{3}$$又方程有实数根\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)$\Delta\ge0$$$\Delta=\big[-\(\boldsymbol{2}\)(k+1)\big]^\(\boldsymbol{2}\)-4k^\(\boldsymbol{2}\)=8k+4\ge0\Rightarrowk\ge-\frac1\(\boldsymbol{2}\)$$$k=1-\sqrt3\approx-0.73\(\boldsymbol{2}\)<-\dfrac1\(\boldsymbol{2}\)$舍去\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)$\therefore\boldsymbol{k=1+\sqrt3}$##📌考试易错点1.两根之和是$\boldsymbol{-\dfrac{b}{a}}$\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)负号极易漏掉！\(\boldsymbol{2}\).使用韦达定理前\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)**必须保证$\Delta\ge0$**；参数题算出结果要带回检验！3.变形公式不要死记\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)学会由完全平方公式自己推导；4.题目没说“一元二次方程”\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)要考虑$\(a=0\)$退化成一次方程的情况。>简答模板：确定$\(a,b,c\)$\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)在方程有实数根前提下\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)代入韦达定理$x_1+x_\(\boldsymbol{2}\)=-\dfrac{b}{a},\x_1x_\(\boldsymbol{2}\)=\dfrac{c}{a}$计算。下一节：**3.5一元二次方程的应用**\(2x^2-7x+3=0，a=2,b=-7,c=3\)继续吗？或者我给你无答案版练习？湘教版（新教材）数学九年级上册3.4一元二次方程根与系数的关系授课教师：.

班

级：

9年级（

）班.

时

间：.

2026/10/10

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第3章一元二次方程123理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）及其推导过程（重点）掌握利用根与系数的关系求方程两根的和与积的方法（重点）能运用根与系数的关系解决“已知一根求另一根及参数”等问题（难点）导入新课回顾知识2.方程的判别式：

3.求根公式为：

1.一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0(a≠0)∆=b2-4ac

复习回顾

情景问题

方程的根确定后,根的和、积与方程系数之间是否存在固定规律？探究新知探究一:探究根与系数关系

探究新知探究一:探究根与系数关系

探究新知探究一:探究根与系数关系

探究新知探究一:探究根与系数关系

探究新知方法总结:

知识点1

一元二次方程的根与系数的关系

D

D

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返回知识点2

一元二次方程的根与系数的关系的应用

CA.

两个正根

B.

两个负根C.

一个正根，一个负根

D.

无实数根

CA.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限返回探究新知探究二:根与系数关系的应用

探究新知探究二:根与系数关系的应用

探究新知探究二:根与系数关系的应用

探究新知方法总结:

基础巩固题新知应用1、若x1，x2是一元