3.1.2积的算术平方根及化简 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

#湘教版数学八年级上册3.1.2积的算术平方根及化简专项练习##知识点回顾积的算术平方根性质：$$\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)b\ge0)}$$文字表述：积的算术平方根\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)等于积中各因式算术平方根的积。二次根式化简要求（最简二次根式）：1.被开方数不含能开得尽方的因数或因式；2.被开方数不含分母；3.分母中不含根号。解题要点：1.使用公式前提：$a\ge0,b\ge0$；2.化简思路：把被开方数分解因数\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)分离出平方数开方；3.根号里的平方因式开出来要加绝对值\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)字母默认非负可直接开出；4.化简结果必须化成最简二次根式。满分：100分时间：40分钟##一、选择题（每题4分\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)共20分）1.等式$\sqrt{xy}=\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}$成立的条件是（）A.$\(x>0,y>0\)$B.$x\ge0,y\ge0$C.$x>0,y\ge0$D.$\(x,y\)$同号2.化简$\sqrt{18}$的结果是（）A.$3\sqrt{2}$B.$2\sqrt{3}$C.$\(\boldsymbol{9}\)\sqrt{2}$D.$3\sqrt{6}$3.下列二次根式属于最简二次根式的是（）A.$\sqrt{20}$B.$\sqrt{7}$C.$\sqrt{\dfrac13}$D.$\sqrt{0.3}$4.化简$\sqrt{4a^3}(a\ge0)$结果正确的是（）A.$2a\sqrt{a}$B.$2a^2\sqrt{a}$C.$2\sqrt{a^3}$D.$4a\sqrt{a}$5.计算$\sqrt{2}\times\sqrt{8}$等于（）A.$4$B.$\sqrt{10}$C.$2\sqrt{2}$D.$16$##二、填空题（每题4分\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)共20分）1.$\sqrt{12}=$________。2.$\sqrt{50}=$________。3.$\sqrt{3\times27}=$________。4.化简$\sqrt{16x^2y}\(x\ge0,y\ge0)=$________。5.若$\sqrt{(x-3)(x-5)}=\sqrt{x-3}\cdot\sqrt{x-5}$\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)则$x$取值范围________。##三、基础解答题（每题8分\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)共32分）1.化简：（1）$\sqrt{28}$（2）$\sqrt{45}$2.化简（字母均$\ge0$）：（1）$\sqrt{27a^2}$（2）$\sqrt{8b^3}$3.计算：（1）$\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}$（2）$\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}$4.判断是否为最简二次根式\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)不是则化简：（1）$\sqrt{52}$（2）$\sqrt{125}$##四、拓展提升题（每题14分\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)共28分）1.化简：$\sqrt{200a^2b^3}\quad(a\ge0,b\ge0)$2.已知$\sqrt{18}\cdot\sqrt{x}$是最简二次根式\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)写出一个符合条件的正整数$x$。---#参考答案与解析##一、选择题1.B解析：积的算术平方根公式要求$a\ge0,b\ge0$。2.A解析：$\sqrt{18}=\sqrt{\(\boldsymbol{9}\)\times2}=\sqrt\(\boldsymbol{9}\)\cdot\sqrt2=3\sqrt2$。3.B解析：A可开方；C根号内有分母；D是小数。4.A解析：$\sqrt{4a^3}=\sqrt{4a^2\cdota}=2a\sqrt{a}$。5.A解析：$\sqrt{2\times8}=\sqrt{16}=4$。##二、填空题1.$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$2.$\boldsymbol{5\sqrt{2}}$3.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{9}\)}$4.$\boldsymbol{4x\sqrt{y}}$5.$\boldsymbol{x\ge5}$##三、基础解答题1.（1）$\sqrt{28}=\sqrt{4\times7}=\boldsymbol{2\sqrt7}$（2）$\sqrt{45}=\sqrt{\(\boldsymbol{9}\)\times5}=\boldsymbol{3\sqrt5}$2.（1）$\sqrt{27a^2}=\sqrt{\(\boldsymbol{9}\)a^2\cdot3}=\boldsymbol{3a\sqrt3}$（2）$\sqrt{8b^3}=\sqrt{4b^2\cdot2b}=\boldsymbol{2b\sqrt{2b}}$3.（1）原式$=\sqrt{3\times27}=\sqrt{81}=\boldsymbol{\(\boldsymbol{9}\)}$（2）原式$=\sqrt{5\times20}=\sqrt{100}=\boldsymbol{10}$4.（1）不是最简\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)$\sqrt{52}=\sqrt{4\times13}=\boldsymbol{2\sqrt{13}}$（2）不是最简\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)$\sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=\boldsymbol{5\sqrt5}$##四、拓展提升题1.解：$\begin{align}\sqrt{200a^2b^3}&=\sqrt{100a^2b^2\cdot2b}\\&=\boldsymbol{10ab\sqrt{2b}}\end{align}$2.解：$\sqrt{18}\cdot\sqrt{x}=\sqrt{18x}=\sqrt{\(\boldsymbol{9}\)\cdot2x}=3\sqrt{2x}$要求$3\sqrt{2x}$为最简二次根式\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)则$2x$不含平方因数。可取$\boldsymbol{\(\boldsymbol{x=3}\)}$（答案不唯一\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)如$\(x=5,7\)$等均可）##易错警示1.公式$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)**$\(a,b\)$必须同时非负**；负数不能直接拆开；2.分解因数优先拆出完全平方数；3.开方移出的因式不要漏掉系数；4.最简二次根式两个关键点：无开得尽方因式\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)根号内无分母。下一节：**3.1.3商的算术平方根及二次根式的除法**\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)继续同模板吗？湘教版（新教材）数学八年级上册3.1.2积的算术平方根及化简授课教师：.

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2026/10/10

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第3章二次根式123掌握积的算术平方根（重点）能准确利用积的算术平方根的性质进行化简（难点）理解最简二次根式的概念（重点）新知探究思

考＝

，＝

；＝

，＝

；121266（1）、填空①②

你能将它推导出来吗？观察计算的结果，你会发现什么？02新知导入

634

03新知探究思考

661212

03新知探究

03新知探究

例4

03新知探究注意事项化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含开得尽方的因数.方法运用积的算术平方根化简二次根式时，要先把被开方数分解因式，尽量分解出完全平方数而且使这个因数尽可能大，然后把能开得尽方的因数用它的算术平方根代替，移到根号外.返回B

B

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03新知探究

例5

注意事项：化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.03新知探究方法若分子分母中不含平方因式，则将分子分母同时乘分子，然后将分子移到根号外，放在分子的位置；如果分子分母中含平方因式，先将分子分母分解因式，尽量分解出完全平方数，再利用分式的基本性质将分子化成全是完全平方数的乘积，最后然后把能开得尽方的因数用它的算术平方根代替，移到根号外，分别放到分子分母的位置。03新知探究观察从例4和例5，二次根式经过化简后的结果具有什么特点？1.被开方数中不含分母；2.被开方数中不含开得尽方的因数(或因式).二次根式经过化简后的结果，具有以下特点：被开方数不含分母，且不含开得尽方的因数（或因式）.这样的二次根式叫作最简二次根式.新知应用基础巩固题A

C

关键是找出平方因子新知应用基础巩固题D

做题的关键是构造平方因子新知应用基础巩固题5.下列不是最简二次根式的是（）6.