有限单元法基础第2版 课件 第9、10章 复合材料结构力学问题、热传导和热应力问题

第9章复合材料结构力学问题9.1引言1复合材料的应用2复合材料分类颗粒复合材料层合复合材料纤维增强复合材料颗粒增强材料和基体组成多种片状材料层组成纤维和基体组成玻璃纤维、硼纤维、碳纤维、碳化硅纤维、氧化铝纤维、芳伦纤维。纤维种类：纤维形状：连续纤维、短纤维、纤维布基体材料：树脂基体、金属基体、陶瓷基体和碳（石墨）基体单层板交织纤维板单向纤维增强层板短纤维复合材料层合板9.2复合材料力学基础1弹性本构关系1）向异性线弹性材料Dij（i,j=1-6）为刚度系数Dij=Dji21个独立的弹性常数Cij（i,j=1-6）为柔度系数C=D-12）正交各向异性材料3个正交的弹性对称面3个弹性主轴3个弹性主轴：1，2，3坐标系9个独立的弹性常数3个弹性主轴坐标方向为材料主方向时，正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变，两者互不耦合，即正应力不引起剪应变，剪应力不会引起线应变。3）横观各向同性材料随机分布纤维增强复合材料5个独立的弹性常数4）工程弹性常数材料主方向：1，2，3正交各向异性材料柔度矩阵弹性模量：

泊松比：剪切模量：刚度系数和柔度系数关系：5）坐标变换二维问题2复合材料宏观力学性能参数的确定单向纤维增强复合材料的压缩强度近似为基体材料的压缩强度可以将单向纤维增强复合材料看做均匀材料，采用混合定律简单近似3单层板复合材料应力-应变关系单层板材料主方向及其局部坐标系单层板为正交各向异性材料面内载荷作用下单层板非常薄平面应力状态下的应力应变关系平面应力问题中正交各向异性单层材料有4个独立的弹性常数——减缩刚度阵

如果剪应力不可忽略由于剪应力与正应力不耦合，应力应变关系应加上如下关系——层间刚度矩阵（层间剪应力）单层板材料主方向坐标与整体坐标之间的关系材料主方向应力和应变到整体坐标系的转换整体坐标系下的应力应变关系层间剪应力和剪应变整体坐标下层间剪应力和剪应变之间的关系类似于面内应力应变关系的推导可得3层合板表达方式层合板示意图层合板由单层板粘合而成每层单向板用其在合层板中的位置和纤维方向标识第一层为合层板中的顶层铺设方向用纤维方向与整体坐标x之间的夹角θ表示例子：[0/-45/90/60/30]由5层单向板组成各单层板的纤维铺设方向自上而下分别与x方向呈0o、-45o、90o、60o、30o。[0/-45/902/60/0][0/-45/90]s9.3复合材料层合梁有限元1平面层合梁基本理论复合材料层合Timoshenko梁Timoshenko梁假设梁截面上材料的非均匀性，梁轴线上的轴向位移u0不再为零，这是复合材料梁与均匀材料梁的关键区别。复合材料层合梁，由于横向剪切变形明显，更适合采用Timoshenko梁理论的假设。轴向应变和横向剪切应变广义应变列向量轴向应力和剪应力复合材料层合梁截面力矩形截面层合梁梁中性轴的位置（G点为重心）刚度系数的积分结果轴向和弯曲的耦合效应梁轴x与中性轴之间的相对坐标梁的应变能包括轴向应变能和横向剪切应变能系统的势能2复合材料层合梁单元2结点复合材料层合Timoshenko梁单元2结点复合材料层合Timoshenko梁单元单元的势能函数式中a，b，s和ab分别表示轴向、弯曲、剪切和轴向-弯曲耦合项对单元刚度矩阵的贡献。9.4复合材料层合板有限元1层合板基本理论层合板截面变形复合材料层合板的横向剪切变形的影响明显，一阶剪切变形理论具有更高的精度。中面上沿x,y,z方向的位移分别为u0,v0,w0任意一点的位移任意一点的应变层合板任一点的应变层合板中第k层中任意一点的面内应力为层合板应变应力单位宽度上的力单位宽度上的力矩转角的定义层合板横截面上单位宽度的内力广义应力层合板各层z坐标层合板厚度方向应力分布不连续，需分层积分每一层的刚度矩阵为常数矩阵，且中面的应变和曲率、扭率与z坐标无关剪力或层间剪切刚度前述方程可写成合成如下形式面内刚度耦合刚度弯曲刚度剪切刚度复合材料层板的应变能系统的势能2复合材料层合板单元基于一阶剪切变形理论的有限元方法9.5复合材料有限元分析方法1不同尺度有限元分析复合材料变形和应力分析模型：(a)微观分析；(b)单层板分析；(c)层合板分析微观分析：细节，三维实体单元细观分析：板壳单元，考虑各层铺设顺序层合板分析：板壳单元，等效材料（a）（b）（c）2层合板结构分析单元传统壳单元（convensionalshellelement）连续体壳单元（continuumshell）三维实体单元（solidelement）各种壳单元和实体单元的有限方程的推导过程与前述个章节所述各向同性材料的有限单元的推导过程一致，只需要考虑材料的各向异性即可。9.6算例：层合板拉伸和弯曲问题算例一：带中心圆孔复合材料层合板拉伸问题。板长200mm，宽120mm，中心圆孔直径40mm。层压板的铺层顺序为板的长度方向为0o方向，单层板的厚度为0.125mm，层压板总厚度为1.0mm。单层复合材料的弹性常数见表9.1。板沿长度方向承受10N/mm的均布拉力。由于该复合层板纤维铺设方向有45o，故不能简化为1/4模型，计算模型如图9.18（a）所示。边界条件设置左边水平方向位移为零，左边中点竖直方向位移为零。E1(GPa)E2,E3(GPa)ν12,ν13ν23G12,G13(GPa)G23(GPa)1148.610.30.454.163.0单层复合材料弹性常数采用四边形4结点壳单元，减缩积分方案计算其变形和应力。各单层板纤维方向应力分量分布变形及位移分布铺层纤维方向计算模型第1层第2层第3层第4层各单层板上表面纤维方向应力分量分布有限元模型变形及位移分布第1层第2层第3层第4层各单层板上表面纤维方向应力分量分布第5层第6层第7层第8层9.7小结复合材料力学基础正交各向异性材料本构关系单层复合材料应力-应变关系材料主方向坐标系整体坐标系复合材料层合梁有限元2结点复合材料层合Timoshenko梁单元Lagrange插值复合材料层合板有限元复合材料有限元分析方法不同尺度有限元分析层合板壳结构分析单元单向层合板分析层合板有限元分析第10章热传导和热应力问题近终型连铸工艺结晶器水孔设计浇注过程结晶器铜板二维温度分布结晶器出口处铸坯的温度和变形分布大水孔小水孔10.1引言2基本概念1）传热的基本模式传导、对流、辐射、相变传热、复合模式与综合传热。2）热传导稳态热传导：稳态温度场问题，与时间无关。瞬态热传导：瞬态温度场问题，依赖于时间变化。10.2稳态热传导有限元强制边界条件自然边界条件1有限元格式场方程及边界条件加权残值表达式Galerkin方法，选择利用Green公式在给定温度边界ST上单元插值：单元热传导矩阵单元等效结点热载荷稳态热传导单元方程相邻单元作用于当前单元的等效结点热流载荷热传导矩阵单元等效结点热载荷各向同性材料针对整体系统引入至少一个给定点温度，消除方程奇异性。热传导问题有限元方程也可以用变分原理导出2四边形等参单元单元温度插值坐标变换ηξ1(-1,-1)2(1,-1)3(1,1)4(-1,1)四边形4结点例：四边形4结点单元温度插值坐标变换3三角形等参单元单元温度插值坐标变换边界积分的变换系数三角形3结点单元10.3瞬态热传导有限元1有限元格式场方程及边界条件加权残值表达式积分方程的“弱”形式Galerkin方法，选择边界ST上单元温度插值插值函数不随时间变化由的任意性一阶常微分方程组2瞬态方程的模态叠加解法a）特征值问题热传导方程的齐次式假设其解的形式代入齐次方程可得欲得非零解，要求特征方程可得n个特征值。若C和K正定，特征值为正实数，且对应于每一个特征值，可得一组特征向量，或称为模态。特征向量具有正交性：齐次方程的解b）瞬态响应的解可表示为特征向量的线性组合代入有限元方程得解耦的单自由度常微分方程可求解析解，或用两点循环公式求数值解。利用特征向量的正交性，可得：3瞬态方程的直接积分解法时间离散化t0t1tTT(t)时间函数的离散时间区间离散成K+1个时刻每两个相邻时刻之间的时段长度为时间增量时间步长tnn＋1时间两点插值函数进行线性插值线性插值所有结点的温度微分方程的加权余量形式时间段代入代入方程两边同时除以令：如果已知f采用与

T相同的插值：不同的w取值，对应于不同的差分格式tnn＋1wtnn＋1wtnn＋1wtnn＋1w1tnn＋1w1tnn＋1w1向前差分（Euler差分公式）中心差分（Crank－Nicholson差分公式）向后差分积分参数θ的选择θ的取值直接影响到解的精度和稳定性。算法步骤形成系统系数矩阵C和K给定温度初始条件T0选择积分参数θ和时间步长形成有效系数矩阵三角分解对每一时间步初始计算形成向量fk+1形成有效向量回代求解进入下一个时间步循环，直至得到最后一个时刻的解回代求解1）收敛的概念：如果Δt

取任意值，误差不会无限增大（不发散）无条件稳定如果Δt需满足一定的条件才不发散条件稳定4瞬态方程解的稳定性和精度2）两点积分公式的稳定性条件仅需讨论齐次式解析解利用两点公式求解定义欲得稳定解：（1）否则，解越来越大，发散。（2）否则，解解正负交替震荡，不符合热传导的物理过程。为正实数，λ的最大值为正且小于1。获得稳定解的条件。当无条件稳定。当条件稳定，要求由由解不发生震荡的条件。时间步长Δt的选择要保证解的稳定性Δt的大小直接影响计算精度和计算量时间步长越小，精度越高，计算量越大时间步长越大，计算量越小，精度也越低Δt的选择需同时考虑：稳定性、时间积分精度、计算量。10.4热应力有限元分析方法1热弹性问题的有限元方法热变形引起的应变总应变具有初始应变的应力-应变关系应变能密度扩展到三维热弹性问题应力应变关系应变能密度应变能常数，在采用最小势能原理时该项的变分为零，因而该项可以删除系统的势能2一维问题热应力2结点一维Lagrange单元3平面问题和轴对称问题热应力平面应力问题平面应变问题单元的结点温度载荷三角形3结点单元四边形等参单元轴对称问题单元的结点温度载荷1热力耦合问题非耦合问题：先计算温度场，再计算应力场。耦合问题：温度场计算和应力分析需反复迭代，直至收敛。2温度单元和应力单元的匹配准备数据的方便，希望温度场和应力场分析采用相同的网格。单元阶次的匹配：

对于C0型单元，位移场的插值函数应比温度场的插值函数高一个阶次。10.5热力耦合有限元方法10.6算例：热传导及热应力问题圆孔直径为20m，矩形长60m，宽