人教A版高中数学必修一 4.1　指　数

4.1指数学习目标1.理解n次方根、根式的概念,掌握根式的性质.2.理解分数指数幂的含义,能对根式与分数指数幂进行互化.3.掌握实数指数幂的运算性质,并能对代数式进行化简或求值.【引入】公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希伯索斯思考了一个问题:边长为1的正方形的对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数表示,也不能用分数来表示,希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数2诞生了.这节课我们进一步研究更一般性问题.一、n次方根与根式探究1由32=9和(-3)2=9我们可得到9的平方根是什么?由53=125以及(-3)3=-27,我们可以得到125和-27的立方根分别是什么?提示9的平方根是3和-3,125的立方根是5,-27的立方根是-3.探究2类比平方根、立方根的概念,试着说说4次方根、5次方根、10次方根等,你认为n次方根应该是什么?提示比如(±2)4=16,我们把±2叫做16的4次方根;(±3)4=81,我们把±3叫做81的4次方根;(-2)5=-32,我们把-2叫做-32的5次方根;(±2)10=1024,我们把±2叫做1024的10次方根等.类比上述过程,我们可以得到:如果2n=a,那么我们把2叫做a的n次方根.1.n次方根定义一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*性质n是奇数a>0x>0x仅有一个值,记为x=na<0x<0n是偶数a>0x有两个值,且互为相反数,记为x=±na<0x在实数范围内不存在2.根式(1)定义:式子na叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数(2)根式的性质(n>1,且n∈N*):①负数没有偶次方根;②0的任何次方根都是0,记作n0=0③(na)n=a④nan温馨提示(1)nan是一个恒有意义的式子,不受n(2)(na)n其中实数a的取值由n的奇偶决定,要保证na有意义,其运算结果恒等于例1(1)化简:5(-2)5+(5-2)5=(2)若x<0,则x+|x|+x2x=答案(1)-4(2)-1解析(1)原式=(-2)+(-2)=-4.(2)∵x<0,∴x2=|x|=-x∴x+|x|+x2x=x-x+-(3)若-3<x<3,求x2-2x+1解原式=(x-1)=|x-1|-|x+3|,当-3<x<1时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;当1≤x<3时,原式=x-1-(x+3)=-4.∴原式=-2迁移在本例(3)中,若将“-3<x<3”变为“x≤-3”,则结果又是什么?解原式=(x-1)2-(x+3)2∵x≤-3,∴x-1<0,x+3≤0,∴原式=-(x-1)+(x+3)=4.思维升华1.解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.2.正确区分nan与(n(1)nan中a可取任意实数,当n为奇数时,nan=a;当n为偶数时,n(2)含有na(n为正偶数)的形式中要求a≥0,(na)n=训练1(链接教材P105例1)(1)化简:6(-2)6+(62)6=(2)若2<a<3,则(2-a)2+4(3)(a-1)2+(1-a)2+3答案(1)4(2)1(3)a-1解析(1)原式=|-2|+2=2+2=4.(2)由2<a<3,知2-a<0,3-a>0,所以(2-a)2+4(3-a)4=|2-a|+|3-(3)由题意知a-1≥0,即a≥1,原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1+a-1+1-a=a-1.二、根式与分数指数幂的互化探究3(1)观察下列各式,你能得出什么结论?①5210=5(22②3412=3(44提示当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.(2)类比(1)的规律,你能表示下列式子吗?5a3,435,提示5a3=a35,435=5a9=1.分数指数幂的意义(a>0,m,n∈N*,且n>1)正分数指数幂amn负分数指数幂a-mn=0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义2.有理指数幂的运算性质(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q).(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q).(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).例2(链接教材P106例3)(1)3a·a(a>0)的分数指数幂表示为(A.a12 BC.a34 D(2)化简a·3a2(a>0)的结果是(A.3a B.6C.1a6a答案(1)A(2)B解析(1)原式=3a·a12=3a(2)原式=a12·a23=思维升华根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子.(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.训练2用分数指数幂表示下列各式(式中字母均是正数).(1)13a2;(2)4b3解(1)13a2=1(2)4b3a2=b3(3)a·51a3=a·a三、实数指数幂的运算1.无理数指数幂:一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个确定的实数.2.实数指数幂的运算法则(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R).(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).(4)拓展:aras=ar-s(a>0,r,s∈温馨提示实数指数幂中一定要有a>0,b>0.例3(1)(链接教材P107例4)计算或化简下列各式:①(32×3)6-41649-12-42×80.②a3b23ab解①原式=213·3126-4472×-12-214·(23=4×27-4×74-24②原式=a=a3×12b2(2)(链接教材P109练习T1)计算下列各式的值:①42+1·23-22;②(解①原式=222=222+2+3-22②原式=2332×33323思维升华1.无论是化简还是求值,一般的运算顺序是先乘方,再乘除,最后加减.2.仔细观察式子的结构特征,确定运算层次,避免运用运算性质时出错,运算时尽可能用幂的形式来表示,便于运用指数幂的运算性质.训练3(1)21412-(-2)0-278-(2)化简a23b-1-12a-答案(1)12(2)解析(1)原式=9412-1-323×-2=32-1-49+49(2)原式=a=a-13-12·b12(3)计算化简(式中字母均是正数):①(23m3)23解①原式=(23·m32)23=23×2②原式=aπ3+2π3四、实数指数幂运算的综合运用例4(链接教材P110T8)已知xα+x-α=25,x>1,且α<0,求xα-x-α的值.解由xα+x-α=25,两边平方,得x2α+x-2α+2=20,则x2α+x-2α=18,∴(xα-x-α)2=x2α+x-2α-2=16.∵x>1,且α<0,∴xα<1,x-α>1,则xα-x-α<0,∴xα-x-α=-16=-4.迁移若将本例中的条件“xα+x-α=25(x>1,且α<0)”变为“x12+x-12=3,x>0解由x12+x-12=3,两边平方得x+x-1+2=9,则x+x-1=7.因此思维升华1.整体代换法是计算常用的方法技巧,分析条件与结论的结构特点,灵活运用恒等式是解题关键.在利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题时,常用完全平方公式及变形公式求解.2.本例中也可利用方程思想求xα,代入求值,请自行解答.训练4已知x+x-1=7,求值:(1)x12+x-12;(2)解(1)设m=x12+两边平方得m2=x+x-1+2=7+2=9,因为m>0,所以m=3,故x12+x(2)设n=x12-两边平方得n2=x+x-1-2=7-2=5,则n=x12-x-故x-x-1=x12+【课堂达标】1.(多选)下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是()A.-x=(-x)B.x-1C.xy-34=4yx3D.(π3)答案CD解析-x=-x12,x-13=13x,选项2.已知x23+x-23=5(x>0),那么x1A.7 B.-7C.±7 D.7答案A解析(x13+x-13)2=又x>0,故x13+x-3.若(x-5)(x2-25)=(5-x)x+5,答案{x|-5≤x≤5}解析因为(x-5)(x2-25)=(所以x+5≥0,x-5≤0,所以x的取值范围是{x|-5≤x≤5}.4.计算:2713+13-2+(27-2+16答案13解析原式=3+9+1=13.课时精练一、基础巩固1.下列等式一定成立的是()A.a13·a32=a B.C.(a3)2=a9 D.a12÷a答案D解析同底数幂相乘,指数相加,故A,B错误;因为(am)n=amn,3×2=6,故C错误;同底数幂相除,指数相减,故D正确.2.21027-A.43 B.C.916 D.答案C解析21027-23=6427-3.若a>0,将a2a·3a2表示成分数指数幂A.a12 BC.a76 D答案C解析由题意得a2a·3a2=a4.下列运算正确的是()A.a22a32=a62 B.(-a2C.(a-2)0=1 D.(-a22)5答案D解析a22a32=a(-a2)3=-a2×3=-a6,(-a3)2=a6,故B错误;当a=4时,(a-2)0无意义,故C错误;(-a22)5=-a102,5.(多选)下列说法正确的是()A.481的运算结果是B.16的4次方根是2C.当n为大于1的偶数时,na只有当a≥0D.当n为大于1的奇数时,na对任意a∈R答案CD解析对于A,因为偶次根式的结果只能是正数,A错误;对于B,正数的偶次方根的结果有正有负,B错误;根据指数幂的运算法则可知CD正确.故选CD.6.化简38a-327b34(其中aA.2a3b BC.1681a4b答案C解析38a-327b347.方程32x-1=19A.x=-2 B.x=-2C.x=2 D.x=2答案B解析∵32x-1=1∴2x-1=-2,∴x=-22∴方程32x-1=19的解是8.3-22+3(1-2)3+答案2-1解析原式=(1-2)2+1-2=|1-2|+1-2+2-1=2-1.9.化简(2)2·答案1解析原式=222·22210.若64a2-4a+1=31-2答案-解析64a=3|2a所以1-2a≥0,解得a≤12故实数a的取值范围是-∞11.已知a2x=3,求a3x解原式=(=a2x-1+a-2x=3-1+13=7二、综合运用12.已知2a=5b=m,且1a+1b=2,则m等于(A.10 B.10C.20 D.100答案A解析由题意得m>0,∵2a=m,5b=m,∴2=m1a,5=∵2×5=m1a·m1∴m2=10,∴m=10.13.设f(x)=x2-4,若0<a≤1,则fa+1答案1a-解析fa+1=a2+1a2因为0<a≤1,所以a≤1a故fa+1a=114.求值化简:(1)12-1+(3-22)0+(2(2)设a>0,b>0,化简ba解(1)原式=2+1+1+π-2-32=π+1(2)原式=b(a=a53-1-16三、拓展提高15.设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β=,