人教A版高中数学必修一 4.2.1　指数函数的概念

4.2指数函数4.2.1指数函数的概念学习目标1.了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用.【引入】将一张报纸连续对折,折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系?对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系?折叠次数对应层数对折后的面积Sx=1y=2=21 S=1x=2y=4=22 S=14=x=3y=8=23 S=18=………… ……若一张纸足够大,折叠50次后,厚度可达到地球到月球的距离,这个问题就与我们要学习的指数函数有关.一、指数函数的概念探究阅读教材P111~P113,你有什么收获?提示由教材问题1中可知,B地景区的游客人次的年增长率是一个常数,问题2中的衰减率也是一个常数.函数y=1.11x(x∈[0,+∞))与函数y=1215730x(x∈[0,+∞))的函数解析式都是指数形式,一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.温馨提示(1)指数函数和幂函数的区别:两者虽然都是幂的形式,但不同之处在于指数函数的自变量在指数上,而幂函数的自变量在底数上.(2)指数函数解析式的三个特征:底数a>0,且a≠1;指数幂的系数为1;指数位置是自变量.例1(1)给出下列函数:①y=2·3x;②y=3x2+1;③y=3x;④y=(-2)x.其中,指数函数的个数是A.0 B.1C.2 D.4(2)若函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数,则a的取值范围是.

答案(1)B(2)12,1∪(1,+解析(1)①中,3x的系数是2,故①不是指数函数;②中,y=3x2+1的指数是x2+1,不是自变量x,故③中,3x的系数是1,幂的指数是自变量x,且只有3x一项,故③是指数函数;④中,底数-2<0,故④不是指数函数.(2)依题意得2a-1>0且2a-1≠1,解得a>12且a≠1思维升华1.判断一个函数是否为指数函数,关键看是否符合指数函数解析式的三个特征.2.求指数函数的关键是求底数a,并注意a的限制条件.训练1(1)(多选)下列函数是指数函数的是()A.y=-4xB.y=πxC.y=1D.y=ax+1(a>0,a≠1)(2)若函数y=(k+2)ax+2-b(a>0,且a≠1)是指数函数,则k=,b=.

答案(1)BC(2)-12解析(1)根据指数函数定义,B是指数函数,A,D项均不是指数函数,又y=12x=12x(2)依题意k二、求指数函数的解析式或求值例2(链接教材P114例1)(1)已知函数f(x)是指数函数,且f-32=525,则f(3)=(2)指数函数y=f(x)的图象过点(π,e),则f(x)=,f(-π)=.

答案(1)125(2)exπ解析(1)设f(x)=ax(a>0且a≠1),且f-32=所以f-32=a-32=5故f(x)=5x,所以f(3)=53=125.(2)设f(x)=ax(a>0,且a≠1),所以aπ=e,则a=e1所以f(x)=e1πx=exπ,f思维升华1.求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式为f(x)=ax(a>0且a≠1).(2)利用已知条件求底数a.(3)写出指数函数的解析式.2.求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.训练2已知指数函数f(x)的图象过点12,22,则f(x)=,[f(2)]2答案12x解析设指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),把点12,22代入可得22=所以f(x)=12所以[f(2)]2=1222三、指数增长和衰减型函数的实际应用1.y=kax(k>0,a>0且a≠1),当a>1时为指数增长型函数模型.2.y=kax(k>0,a>0且a≠1),当0<a<1时为指数衰减型函数模型.例3(链接教材P114例2)(1)某地的耕地面积在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2021年的耕地面积为m,则2026年的耕地面积为()A.(1-0.1250)m B.0.91C.0.9250m D.(1-0.9110(2)某种细菌经60分钟培养,可繁殖为原来的2倍,且知该细菌的繁殖规律为y=10ekt,其中k为常数,t表示时间(单位:小时),y表示细菌个数,10个细菌经过7小时培养,细菌能达到的个数为()A.640 B.1280C.2560 D.5120答案(1)B(2)B解析(1)设每年减少的百分率为a,由题意得,(1-a)50=1-10%=0.9,则1-a=0.91由2021年的耕地面积为m,得2026年的耕地面积为(1-a)5m=0.9110(2)依题意,2=ek,则y=10ekt=10×2t.∴当t=7时,y=10×27=1280.思维升华关于函数y=kax(a>0且a≠1)在实际问题中的应用(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义:增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率.(2)主要解法用待定系数法,根据条件确定出解析式中的系数后,利用指数运算解题.训练3(链接教材P115练习T3)在某个时期,某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长,已知经过30天后,该湖泊的蓝藻数量大约为原来的6倍,那么经过60天后该湖泊的蓝藻数量大约为原来的多少倍?解设湖泊中原来蓝藻数量为a,x天后该湖泊的蓝藻数量为y,则y=a(1+6.25%)x,依题设,a(1+6.25%)30=6a,所以经过60天后该湖泊的蓝藻数量为y=a(1+6.25%)60=a[(1+6.25%)30]2=36a.所以经过60天后该湖泊的蓝藻数量大约为原来的36倍.【课堂达标】1.下列函数是指数函数的为()A.y=2x+1 B.y=4x-1C.y=15x D.y答案C解析由指数函数定义,y=15x2.若函数y=(m2-m-1)·mx是指数函数,则m等于()A.-1或2 B.-1C.2 D.1答案C解析依题意,有m解得m=2(m=-1舍去).3.若函数f(x)是指数函数,且f(2)=2,则f(x)=.

答案(2)x解析由题意,设f(x)=ax(a>0且a≠1),则由f(2)=a2=2,得a=2,所以f(x)=(2)x.4.春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了天.

答案19解析设荷叶覆盖水面的初始面积为a,则x天后荷叶覆盖水面的面积y=a·2x(x∈N*).根据题意,令2(a·2x)=a·220,解得x=19.课时精练一、基础巩固1.下列函数是指数函数的为()A.y=π2x B.yC.y=2x-1 D.y=x2答案A解析对于A,函数y=π2x中,a=π2对于B,函数y=(-8)x中,a=-8<0,不是指数函数;对于C,函数y=2x-1=12×2x,不是指数函数对于D,函数y=x2是幂函数,不是指数函数.2.若指数函数f(x)的图象过点4,181,则f(x)的解析式为(A.f(x)=x3 B.f(x)=3xC.f(x)=13x D.f(x答案C解析设f(x)=ax(a>0,且a≠1),由题意得a4=181,解得a=13,则f(x)=3.若函数y=(a2-5a+7)ax+6-2a是指数函数,则()A.a=2或a=3 B.a=3C.a=2 D.a>2或a≠3答案B解析由题意可知a2-5a+7=1,4.指数函数y=f(x)的图象过点(2,9),则f(3)的值为()A.27 B.9C.3 D.1答案A解析设指数函数的解析式为f(x)=ax(a>0,且a≠1),由函数y=f(x)的图象过点(2,9),得a2=9,所以a=3或a=-3(舍去),即f(x)=3x,所以f(3)=33=27,故选A.5.(多选)下列函数关系中,不能看作是指数型函数y=kax(k≠0,a>0,a≠1)的模型的是()A.自由落体运动中,物体离地面的高度与时间的关系B.钟表盘中,时针的运行角度与时间的关系C.某省的人口自然增长率为1.2%时,该省的人口总数与年份的关系D.邮件的邮资与邮件质量之间的关系答案ABD解析选项A中的关系是二次函数关系,选项B中的关系是一次函数关系,选项C中的关系是指数型函数关系,选项D中的关系是分段函数关系.6.(多选)若函数f(x)=12a-3·ax(a>0,且a≠1)是指数函数,则下列说法正确的是A.a=8 B.f(0)=-3C.f12=22 D.a答案AC解析因为函数f(x)是指数函数,所以12a-3=1,解得a=8,所以f(x)=8x所以f(0)=1,f12=8127.一种放射性元素,最初的质量为500g,按每年10%的衰减率衰减,则t年后,这种放射性元素质量w的表达式为()A.w=500×0.9t B.w=500×0.9t-1C.w=500×0.1t D.w=500×0.1t-1答案A解析最初的质量为500g,经过1年,w=500(1-10%)=500×0.91;经过2年,w=500×0.92,…,由此推出,t年后,w=500×0.9t.8.已知函数f(x)是指数函数,且f-32=24,则f(-1)=答案1解析设f(x)=ax(a>0,且a≠1),由f-32=a-32=24=所以f(x)=2x,所以f(-1)=2-1=129.若函数y=2(a-1)x是刻画指数衰减变化规律的模型,则a的取值范围是.

答案(1,2)解析∵函数y=2(a-1)x是刻画指数衰减变化规律的模型,∴0<a-1<1,解得1<a<2.10.若对于任意的实数x1,x2,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)成立,写出一个符合条件的函数f(x)的解析式为.

答案f(x)=3x(答案不唯一)解析由f(x1+x2)=f(x1)f(x2)可知f(x)满足指数幂的乘法运算规律,则f(x)=3x(答案不唯一,满足函数f(x)为指数函数即可).11.已知函数f(x)=(a2+a-5)ax是指数函数.(1)求f(x)的解析式;(2)判断F(x)=f(x)-f(-x)的奇偶性,并证明.解(1)因为函数f(x)=(a2+a-5)ax是指数函数,所以a2+a-5=1且a>0,a≠1,解得a=2,故f(x)=2x.(2)F(x)为奇函数,证明如下:F(x)=f(x)-f(-x)=2x-2-x的定义域为R,∴F(-x)=2-x-2x=-F(x),∴F(x)是奇函数.二、综合运用12.已知函数f(x)=a·2x,x≥0,2-x,xA.14 B.C.1 D.2答案A解析∵f(-1)=21=2,∴f(f(-1))=f(2)=a·22=1,则a=1413.某股民购买一公司股票10万元,在连续十个交易日内,前5个交易日,平均每天上涨5%,后5个交易日,平均每天下跌4.9%,则股民的股票盈亏情况(不计其他成本,精确到1元)为(参考数据:1.055≈1.2763,0.9515≈0.7779)()A.赚717元 B.赚145元C.亏145元 D.亏717元答案D解析由题意得10×(1+5%)5×(1-4.9%)5≈10×1.2763×0.7779≈9.9283(万元),∵100000-99283=717(元),∴股民亏717元.14.(链接教材P115练习T2)已知函数y=f(x),x∈R,且f(0)=3,f(1)f(0)=12,f(2)f(1)=12,…,f(n)f(n-1)=解法一当x增加1时函数值以12为衰减率衰减∴函数f(x)为指数衰减型函数模型,令f(x)=k12x(k又f(0)=3,∴k=3,∴f(x)=3·12法二由已知,得f(1)f(0)×f(2)f(1)×f(3)f(2)×…×f∴f(n)∴f(n)=3×12即f(x)=3·12三、拓展提高15.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等,则该年5月份()A.甲食堂的营业额较高B.乙食堂的营业额较高C.甲、乙两食堂的营业额相等D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案A解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意,可得m+8a=m(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a,乙食堂的营业额y2=m(1+x)4=m(因为y12-y22=(m+4a)2-m(m+8a所以y1>y2,故该年5月份甲食堂的营业额较高.16.有一种树栽植5年后可成材.在栽植后5年内,该种树的