人教A版高中数学必修一 4.5.3　函数模型的应用

4.5.3函数模型的应用学习目标1.感悟数学模型中参数的现实意义,会利用已知函数模型解决实际问题.2.能根据实际问题构建指(对)数型函数模型或拟合数据构建函数模型解题.【引入】函数是描述客观世界变化规律的数学模型,不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画,面临一个实验问题,该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢?一、已知函数模型解决实际问题1.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,且a≠0)反比例函数模型f(x)=b+kx(k,b为常数,且k≠二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)幂函数模型f(x)=axα+b(a,b为常数,且a≠0)指数型函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)对数型函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)2.解决函数实际应用问题的一般步骤是:设变量,建立函数模型,求解函数模型,解决实际问题.例1(链接教材P148例3)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述,设物体的初始温度是T0,经过一定时间t(min)后的温度是T(℃),则T-Ta=(T0-Ta)×12th,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期,现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡,放在24℃的房间中,如果咖啡降温到40℃需要20min,那么降温到32℃时解由题意知40-24=(88-24)×12则14=1220h故原式可化简为T-24=(88-24)×12当T=32时,代入上式,得32-24=(88-24)×12则12t10=123因此,降温到32℃需要30min.思维升华利用已知函数模型解决实际问题(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数;(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题;(3)涉及较为复杂的指数运算时,常常利用等式的两边取对数的方法,将指数运算转化为对数运算.训练1在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系式是v=2000·ln1+Mm.当燃料质量是火箭质量的倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒答案e6-1解析当v=12000m/s时,2000·ln1+Mm=12则ln1+Mm=6,所以Mm=e二、建立指(对)数型函数模型解决问题例2(链接教材P149例4)据观测统计,某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1000只,并以平均每年8%的速度增加.(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数;(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式;(3)约经过多少年以后,这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上(结果为整数)?(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)解(1)依题意,得一年后这种鸟类的个数为1000+1000×8%=1080,两年后这种鸟类的个数为1080+1080×8%≈1166.(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数为1000只,并以平均每年8%的速度增加,则所求的函数关系式为y=1000×1.08x,x∈N.(3)令1000×1.08x≥3×1000,得1.08x≥3,两边取常用对数得lg1.08x≥lg3,即xlg1.08≥lg3.因为lg1.08>0,所以x≥lg3lg1.08所以x≥lg3lg108100因为lg108=lg(33×22)=3lg3+2lg2,所以x≥lg33lg3+2lg2-20.47713×0.4771+2故约经过15年以后,这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上.思维升华1.构建模型时主要抓住四个关键:“求什么,设什么,列什么,限制什么”.2.指(对)数型函数应用题的解题思路:(1)依题意,找出或建立数学模型,(2)依实际情况确立解析式中的参数,(3)依题设数据(或从具体情境提炼数据)代入求解,(4)根据运算数值回答实际问题的意义.训练2候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3Q10(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1m/s(1)求出a,b的值;(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?解(1)由题意v=0时,Q=30;v=1时,Q=90,则a即a解之得a=-1,b=1.(2)由(1)知,v=-1+log3Q10由v≥2,得-1+log3Q10≥则log3Q10≥3,∴Q10≥27,从而Q≥所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要270个单位.三、拟合数据构建函数模型例3(链接教材P152例6)某企业常年生产一种出口产品,近年来,该产品的产量平稳增长.记2022年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示:x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=log12x+找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取2022年和2024年的数据求出相应的解析式.解由数据表作出散点图(图略),直观观察出最适合的函数模型是f(x)=ax+b,理由如下.若模型为f(x)=2x+a,则由f(1)=21+a=4,得a=2,即f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知相差太大,不符合.若模型为f(x)=log12x+则f(x)是减函数,与已知不符合.所以函数模型为f(x)=ax+b,由已知得a所以f(x)=32x+52,x∈N思维升华1.建立(确定)拟合函数的方法步骤:(1)列式比较法:若题目所涉及的是最优化方案问题,则根据表格中的数据先列式计算比较.(2)描点观察法:若根据题设条件不能直接确定函数模型,则①根据原始数据、表格、绘出散点图.②通过观察散点图,画出拟合直线或拟合曲线.③求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.2.利用求出的拟合函数,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.训练3某地方政府为鼓励全民创业,拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励,奖励方案遵循以下原则:奖金y(单位:万元)随年产值x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于7万元,同时奖金不超过年产值的15%.(1)若某企业产值100万元,核定可得9万元奖金,试分析函数y=lgx+kx+5(k为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型,并说明原因(已知lg2≈0.3,lg5≈0.7).(2)若采用函数f(x)=15x-ax+8作为奖励函数模型解(1)对于函数模型y=lgx+kx+5(k为常数),当x=100时,y=9,代入解得k=150,所以y=lgx+x50当x∈[50,500]时,y=lgx+x50+5是递增的但当x=50时,y=lg50+6>7.5=50×15%,故奖金不超过年产值的15%不成立,故该函数模型不符合要求.(2)对于函数模型f(x)=15x-aa为正整数,函数在[50,500]上递增;f(x)min=f(50)≥7,解得a≤344;要使f(x)≤0.15x对x∈[50,500]恒成立,故a≥-0.15x2+13.8x对x∈[50,500]恒成立.又t=-0.15x2+13.8x在[50,500]上单调递减,∴a≥tmax=-0.15×502+13.8×50=315.综上所述,315≤a≤344,所以满足条件的最小的正整数a的值为315.【课堂达标】1.某研究小组在一项实验中获得一组关于y,t的数据,将其整理得到如图所示的图形.下列函数中,最能近似刻画y与t之间关系的是()A.y=2t B.y=2t2C.y=t3 D.y=log2t答案D解析根据图中的特殊点(2,1),(4,2),代入选项中的函数判断可知,只有D中的y=log2t满足题意,且y=log2t更符合图象的变化趋势.故选D.2.假设某地初始物价为1,其物价每年以5%的增长率递增,当该地物价不低于1.5时,至少需要经过的年数为(参考数据:取lg2≈0.3,lg3≈0.48,lg21≈1.32)()A.8 B.9C.10 D.11答案B解析经过x年后该地物价为2120由题意,2120x≥解得x≥log212032=lg3-lg2lg21-lg2-1≈0.48-0.31.32-0.3-13.基础建设对社会经济效益产生巨大的作用,某市投入a亿元进行基础建设,t年后产生f(t)=aetln24亿元社会经济效益.则该市经过年,该项投资产生的社会经济效益是投资额的8答案12解析设经过t年后,产生的社会经济效益是投资额的8倍,则aetln24=8a,解之得4.现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用作为函数模型.

答案甲解析将x=3分别代入y=x2+1及y=3x-1中,得y=32+1=10,y=3×3-1=8.由于10更接近10.2,所以选用甲模型.课时精练一、基础巩固1.“红豆生南国,春来发几枝?”,如图,给出了红豆生长时间t(单位:月)与枝数y(单位:枝)的散点图.那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好()A.指数函数y=2t B.对数函数y=log2tC.幂函数y=t3 D.二次函数y=2t2答案A解析由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数,并且增长速度很快,符合指数型函数模型,且图象过点(2,4),(4,16).所以图象由指数函数y=2t来模拟比较好.2.据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度,设2026年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m,则从2026年起,x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是()A.y=0.95x50B.y=(1-0.05x50C.y=0.9550-x·mD.y=(1-0.0550-x)·m答案A解析设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知(q%)50=0.95,所以q%=0.951所以从2026年起,x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y=0.95x50·3.据称,未来6G通讯的速率有望达到1Tbps,香农公式C=Wlog21+SN是通信理论中的重要公式,它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S和信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中SN叫做信噪比.若不改变带宽W,而将信噪比SN从3提升到99,则最大信息传递率C大约会提升到原来的(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0A.2.3倍 B.3.3倍C.4.6倍 D.6.6倍答案B解析依题意得C1=Wlog2(1+3)=2W,C2=Wlog2(1+99)=2Wlog210,因此C2C1=2Wlog2102W=log210=4.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,6)进行整理,所得数据如表所示:x1.002.003.004.005.006.00y1.652.202.602.762.903.10根据表中数据,下列函数中适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是()A.y=0.5(x+1) B.y=log3x+1.5C.y=2x-1 D.y=2x答案B解析由题表知,当自变量每增加1个单位时,函数值依次增加0.55,0.40,0.16,0.14,0.20,因此A,C不符合题意;当x取1,4时,y=2x的值分别为2,4,与题表中的数据相差较大,因此D不符合题意.5.某人拥有一辆价值20万元的轿车,已知轿车以每年8%的幅度贬值,则这个人至多几年后卖出这辆轿车,才不会以低于15万元的价格成交(参考数据:lg75≈1.875,lg92≈1.964)()A.3年 B.4年C.5年 D.6年答案A解析由题意知,轿车价格y(万元)与年份x(年)之间的函数关系式为y=20(1-8%)x,令20(1-8%)x≥15,得0.92x≥0.75,故x≤lg0.75lg0.92=lg75-2lg92-2≈1.875-21.964-2=0.125因此这个人至多3年后卖出这辆轿车,才不会以低于15万元的价格成交.故选A.6.声强级L1(单位:dB)由公式L1=10lgI10-12给出,其中I为声强(单位:W/m2),若一般正常人的听觉的声强级范围为[0,120],则一般正常人能听到的声强的范围为(A.[0,10-12] B.[10-12,1]C.[0,1012] D.[1,1012]答案B解析设一般正常人能听到的最高声强为I,最低声强为I'.由120=10lgI10-12,得I由0=10lgI'10解得I'=10-12.所以一般正常人能听到的声强的范围为[10-12,1].7.(多选)如图,某池塘中的浮萍蔓延后的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系:y=at(a>0,且a≠1),以下叙述正确的是()A.这个指数函数的底数是2B.第5个月时,浮萍的面积就会超过35m2C.浮萍从4m2蔓延到16m2需要经过2个月D.浮萍每个月增加的面积都相等答案AC解析将点(1,2)代入y=at中,得a=2,所以y=2t,所以A正确;当t=5时,y=25=32<35,所以B错误;当y=4时,t=2;当y=16时,t=4,所以浮萍从4m2蔓延到16m2需要经过2个月,所以C正确;由指数函数y=2t的性质可得浮萍每个月增加的面积不相等,所以D错误.8.某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt,其中N0,λ为正常数.由放射性元素的这种性质,可以制造高精度的时钟,用原子数N表示时间t为.

答案-1λln解析因为N=N0e-λt,所以NN0=e-两边取以e为底的对数,所以t=-1λlnN9.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元.销售额x为64万元时,奖励4万元.某公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为万元.

答案1024解析依题意得a即3所以y=2log4x-2.当y=8时,即2log4x-2=8,解得x=1024.10.某个细菌经30min数量变为原来的2倍,且该种细菌的繁殖规律为y=ekt,其中k为常数,t表示时间(单位:h),y表示繁殖后细菌总个数,则k=,经过5h,1个细菌通过繁殖个数变为.

答案2ln21024解析由题意,知当t=12时,y即2=e12k,所以k=2ln2,所以y=e2tln当t=5时,y=e2×5×ln2=210=1024.故经过5h,1个细菌通过繁殖个数变为1024.11.“万里长空结队行,青山绿水寄衷情”描写的是候鸟每年迁徙过冬的场景,研究候鸟的科学家发现,两岁候鸟的飞行速度可以表示为函数v=5log2Q10(单位:m/s),其中Q表示候鸟的耗氧量(1)候鸟静止时的耗氧量是多少个单位?(2)当一只候鸟的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?解(1)由题意知,当候鸟静止时,它的速度为0,代入题目所给公式可得0=5log2Q10解得Q=10,即候鸟静止时的耗氧量为10个单位.(2)将Q=80代入公式得,v=5log28010=5log2即当一只候鸟的耗氧量为80个单位时,它的飞行速度为15m/s.二、综合运用12.某一辆汽车经过多次实验得到,每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:km/h)(0≤v≤120)的下列数据:v0406080120Q0.0006.6678.12510.00020.000为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系,现有以下四种模型供选择:甲:Q=av2+bv+c,乙:Q=av3+bv2+cv,丙:Q=0.5v+a,丁:Q=klogav+b.其中a,b,c均不为0,其中最符合实际的函数模型为()A.甲 B.乙C.丙 D.丁答案B解析依题意可知该函数必须满足三个条件:第一,定义域为[0,120];第二,在定义域上单调递增;第三,函数经过坐标原点.当v=0时,Q=klogav+b没有意义,排除丁,函数Q=av2+bv+c不经过坐标原点,排除甲,函数Q=0.5v+a单调递减,排除丙,故最符合实际的函数模型为乙.13.某物种的种群数量在过去40年内翻了一番,则该种群数量年平均增长率是.

(参考数据:lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)答案1.7%解析设该物种的种群数量年平均增长率为x,则(1+x)40=2.所以40lg(1+x)=lg2,则lg(1+x)=lg240≈0.301040≈0.007所以1+x=100.0075≈1.017,则x=1.7%.14.一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树木,且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为a2.为保护生态环境,所剩森林面积至少要为原面积的14.已知到今年为止,森林面积为2(1)求p%的值;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?解(1)由题意得