人教A版高中数学必修一 5.1.1　任意角

5.1任意角和弧度制5.1.1任意角学习目标1.了解任意角的概念,区分正角、负角与零角.2.理解并掌握终边相同的角的概念,能写出终边相同的角所组成的集合.3.了解象限角的概念,会利用象限角和终边相同的角解决有关问题.【引入】如图所示,当摩天轮在持续不断地转动时.(1)摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°?(2)如果甲、乙两人分别站在摩天轮的前后两侧观察,那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗?如果不同,你能用合适的数学符号表示这种不同吗?从这个实例出发,你能将以前所学的角进行推广吗?一、任意角的概念探究1在跳水比赛中,运动员会做出“转体两周”“向前翻转两周半”等动作,做上述动作时,运动员转体多少度?转过的度数还能用0°~360°的角度表示吗?提示“转体两周”指顺时针或逆时针旋转720°.“向前翻转两周半”指顺时针或逆时针旋转900°,转的角度不能用0°到360°的角表示.1.任意角的概念(1)角的概念:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)角的分类:我们把角的概念推广到了任意角,按旋转方向可将角分为如下三类名称定义图形正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角2.角的相等若两角α,β的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称α=β.3.角的加法设α,β是任意两个角,我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β.4.相反角:把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角,角α的相反角记为-α,α-β=α+(-β).这样,角的减法可以转化为角的加法.例1(1)某次数学考试从上午8时30分开始,考了2小时.从考试开始到考试结束分针转过了()A.360° B.720°C.-360° D.-720°(2)如图,射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处,再按顺时针方向旋转820°至OC处,则β=.

答案(1)D(2)-40°解析(1)∵分针转一圈(即1小时)是-360°,∴从考试开始到考试结束分针转过了-720°.(2)两次旋转后形成的角为60°+(-820°)=-760°,β=-760°+720°=-40°.思维升华1.正确理解正角、负角、锐角、钝角、周角等概念.2.处理任意角问题的两个关键点(1)定方向:明确该角是由顺时针还是逆时针方向旋转形成的,由逆时针方向旋转形成的角为正角,否则为负角.(2)定大小:根据旋转角度的绝对值确定角的大小.训练1(1)若手表时针走过4小时,则时针顺时针转过的角度为()A.120° B.-120°C.-60° D.60°(2)60°角的始边与x轴的非负半轴重合,把其终边按顺时针方向旋转2周,所得的角是.

答案(1)B(2)-660°解析(1)由于时针是顺时针旋转,故时针转过的角度为负数,为-412×(2)顺时针转2周,转了-(2×360°)=-720°,所得角为60°+(-720°)=-660°.二、象限角在平面直角坐标系内,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.温馨提示(1)锐角是第一象限角,钝角是第二象限角,直角的终边在坐标轴上,它不属于任何一个象限.(2)每一个象限都有正角和负角.(3)无法比较两个象限角的大小.例2(多选)下列说法正确的有()A.终边落在第一象限的角为锐角B.小于90°的角是第一象限角C.第二象限角为钝角D.480°是第二象限角答案D解析终边落在第一象限的角不一定是锐角,如400°的角是第一象限角,但不是锐角,故A错误;同理,小于90°的角不一定是第一象限角,故B错误;第二象限角也不一定是钝角,故C错误.思维升华正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系,需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.训练2(多选)下列叙述正确的是()A.-60°是第四象限角B.120°是第二象限角C.第二象限角比第一象限角大D.小于180°的角是钝角、直角或锐角答案AB解析-60°是第四象限角,故A正确;120°是第二象限角,故B正确;由于120°是第二象限角,390°是第一象限角,120°<390°,故C不正确;零角和负角也小于180°,故D不正确.三、终边相同的角探究2如图,60°角的终边是OA.-660°,420°角的终边与60°角的终边有什么关系?如何表示与60°角终边相同的角?提示相同.60°+k·360°(k∈Z).所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.温馨提示对于集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解要注意两点:(1)角α为任意角,“k∈Z”不能省略.(2)相等的角的终边一定相同;而终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个.例3(链接教材P171例3)写出终边落在直线y=-x上的角β的集合S,S中适合不等式-360°<β<360°的元素有哪些?解直线y=-x过原点,它是第二、四象限角的平分线所在的直线,故在0°~360°范围内终边在直线y=-x上的角有两个:135°与315°.与135°终边相同的角β=135°+k·360°=135°+2k·180°,k∈Z.与315°终边相同的角β=315°+k·360°=135°+(2k+1)180°,k∈Z.所以终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=135°+n·180°,n∈Z}.由于-360°<β<360°,则-360°<135°+n·180°<360°,n∈Z,解得-114<n<54,n∈所以n=-2,-1,0,1.所以集合S中适合不等式-360°<β<360°的元素为135°-2×180°=-225°;135°-1×180°=-45°;135°+0×180°=135°;135°+1×180°=315°.迁移(链接教材P170例2)完成下列填空:终边落在x轴非负半轴上{α|α=k·360°,k∈Z}终边落在x轴非正半轴上{α|α=180°+k·360°,k∈Z}终边落在y轴非负半轴上{α|α=90°+k·360°,k∈Z}终边落在y轴非正半轴上{α|α=270°+k·360°,k∈Z}终边落在x轴上{α|α=k·180°,k∈Z}终边落在y轴上{α|α=90°+k·180°,k∈Z}终边落在坐标轴上{α|α=k·90°,k∈Z}思维升华1.求终边落在直线上的角的集合的步骤(1)写出在0°~360°范围内相应的角.(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合.(3)根据条件能合并一定合并,使结果简洁.2.求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.训练3已知α=-1845°,在与α终边相同的角中,求满足下列条件的角.(1)最小的正角;(2)最大的负角;(3)-360°~360°之间的角.解因为-1845°=-45°+(-5)×360°,即-1845°角与-45°角的终边相同,所以与角α终边相同的角的集合是{β|β=-45°+k·360°,k∈Z},(1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为-45°.(3)-360°<-45°+k·360°<360°.∴18-1<k<1+18,k∈则k=0,k=1.故满足条件的角为-45°和315°.四、区间(域)角及其表示例4已知角α的终边落在如图所示的阴影范围内(包括边界),求角α的集合.解终边在y轴上的角为α=90°+k·180°,k∈Z,终边在直线y=-x上的角为α=135°+k·180°,k∈Z,由图知,当α的终边在阴影范围内时,角α的取值集合为{α|90°+k·180°≤α<135°+k·180°,k∈Z}.思维升华1.表示区间(域)角的三个步骤第一步:先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.第二步:按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,所以{x|α<x<β},其中β-α<360°.第三步:起始、终止边界对应有α,β,再加上360°的整数倍,即得区域角的集合.2.实线包括边界,虚线不包括边界.训练4如图所示.(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=210°+k·360°,k∈Z},终边落在OB位置上的角的集合为{α|α=300°+k·360°,k∈Z}.(2)终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是{α|210°+k·360°≤α≤300°+k·360°,k∈Z}.【课堂达标】1.[链接教材P176T7(1)]已知α是锐角,那么2α是()A.第一象限角B.第二象限角C.小于180°的正角D.第一或第二象限角答案C解析∵0°<α<90°,∴0°<2α<180°,∴2α是小于180°的正角.2.(多选)下列与30°角终边相同的角是()A.600° B.60°C.-330° D.750°答案CD解析与30°角终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+30°,k∈Z},令k=-1时,α=-330°;令k=2时,α=750°.3.如图所示,终边落在阴影部分的角的集合为.

答案{α|45°+k·360°≤α<120°+k·360°,k∈Z}解析终边落在阴影部分的角的集合为{α|k·360°+45°≤α<k·360°+120°,k∈Z}.4.若α为△ABC的一个内角,且4α与120°的终边相同,则α=.

答案120°或30°解析∵4α=120°+k·360°,k∈Z,∴α=30°+k·90°,k∈Z,又∵0°<α<180°,∴当k=1时,α=120°;当k=0时,α=30°.课时精练一、基础巩固1.-410°是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案D解析根据题意,-410°=-720°+310°,则-410°和310°是终边相同的角,是第四象限角.2.若角2α与240°角的终边相同,则α等于()A.120°+k·360°,k∈ZB.120°+k·180°,k∈ZC.240°+k·360°,k∈ZD.240°+k·180°,k∈Z答案B解析角2α与240°角的终边相同,则2α=240°+k·360°,k∈Z,则α=120°+k·180°,k∈Z.3.(多选)下列结论正确的是()A.经过两个小时,时钟的时针转过的角是-60°B.第一象限角一定是正角C.锐角小于90°D.终边相同的角相等答案AC解析时钟的时针按顺时针方向旋转60°,故转过的角是-60°,故A正确;-335°是第一象限角,但不是正角,故B错误;锐角是大于0°且小于90°的角,故C正确;30°与390°的终边相同,但二者不相等,故D错误.4.与角-420°终边相同的最小正角是()A.-60° B.60°C.300° D.120°答案C解析与角-420°终边相同的角为α=-420°+k·360°,k∈Z,当k=2时,α取最小正角,为-420°+2×360°=300°,故选C.5.(多选)下列说法正确的是()A.三角形的内角必是第一、二象限角B.钝角是第二象限角C.不相等的角终边一定不相同D.若角α,β满足β=α+k·360°(k∈Z),则α和β终边相同答案BD解析A错误,当三角形的内角为90°,终边在坐标轴上;B正确,钝角是第二象限角;C错误,30°与390°不相等,但终边相同;D正确,α与β终边相同.6.[链接教材P176T7(2)]若α是第一象限角,则α2是()A.第一象限角B.第一或第三象限角C.第二象限角D.第二或第四象限角答案B解析法一因为α是第一象限角,所以k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z,所以k·180°<α2<k·180°+45°,k∈Z所以α2是第一或第三象限角法二将坐标系的每个象限二等分,得到8个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,如图所示.因为α是第一象限角,与角α所在象限标号一致的区域,即为α2的终边所在的象限所以α2的终边位于第一或第三象限7.若角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,则集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}中的角α的终边在图中的位置(阴影部分)是()答案C解析当k=2n,n∈Z时,n·360°+45°≤α≤n·360°+90°.当k=2n+1,n∈Z时,n·360°+225°≤α≤n·360°+270°,因此角α终边的位置如题干选项图C所示.8.时针走过2小时40分,则分针转过的角度是.

答案-960°解析40÷60=23,360°×2由于时针、分针都是顺时针旋转,∴时针走过2小时40分,分针转过的角度为-2×360°-240°=-960°.9.已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包含边界),那么角α的集合是.

答案{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°,k∈Z}解析观察图形可知,角α的集合是{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°,k∈Z}.10.若角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边与终边,则角α=.

答案270°解析因为角5α与α具有相同的始边与终边,所以5α=k·360°+α,k∈Z,得4α=k·360°,k∈Z,所以α=k·90°,k∈Z.又180°<α<360°,所以α=270°.11.已知α=-1910°.(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.解(1)α=-1910°=-6×360°+250°,这是第三象限角.(2)令θ=250°+n·360°(n∈Z),取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角.250°-360°=-110°,250°-720°=-470°,故θ=-110°或θ=-470°.二、综合运用12.若角α=m·360°+60°,β=k·360°+120°(m,k∈Z),则角α与β的终边的位置关系是()A.重合 B.关于原点对称C.关于x轴对称 D.关于y轴对称答案D解析α的终边和60°的终边相同,β的终边与120°的终边相同.因为180°-120°=60°,所以角α与β的终边的位置关系是关于y轴对称.13.已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是第象限角.

答案一或三解析由题意k·360°<2α<180°+k·360°(k∈Z),故k·180°<α<90°+k·180°(k∈Z).当k=2n(n∈Z)时,n·360°<α<90°+n·360°(n∈Z),所以α在第一象限;当k=2n+1(n∈Z)时,180°+n·360°<α<270°+n·360°(n∈Z),