人教A版高中数学必修一 5.1.2　弧度制

5.1.2弧度制学习目标1.了解角度制与弧度制的概念,能对弧度和角度进行正确地转换.2.体会引入弧度制的必要性,建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.【引入】我们在看《三国演义》等古典小说时,经常看到“某人身高八尺”这样的说法,若按照我们今天的标准(1米=3尺)换算,这些人的身高都超过了姚明的身高,难道古人真的都有那么高吗?其实不然,在我国历史的不同时期,一尺的标准是不一样的,比如在春秋战国时期,一尺约等于0.23米,这样算来,八尺也就1.84米,“堂堂七尺男儿”也就1.6米左右.据说在商代的时候,一尺约等于0.17米,人高约一丈,故有“丈夫”之称,那么度量角的大小,除了角度以外,还有其他单位吗?一、弧度制及其与角度制的转化探究1在初中学过的角度制中,1度的角是如何规定的?在给定半径的圆中,弧长一定时,圆心角确定吗?提示1度角等于周角的1360.圆心角是确定的探究2“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗?提示与圆的半径大小无关,是一个定值.1.弧度我们规定:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度单位用符号rad表示,读作弧度.2.弧度数(1)在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为αrad,那么|α|=lr(2)正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.3.弧度与角度的换算180°=πradπrad=180°1°=π180rad1rad=180π°温馨提示(1)1弧度记作1rad(rad可省略不写).(2)在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系.例1(1)下列说法正确的是()A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D.用弧度表示的角都是正角(2)(链接教材P173例4,P174例5)(多选)下列转化结果正确的是()A.67°30'化成弧度是3πB.-10π3化成角度是C.-150°化成弧度是-7πD.π12化成角度是答案(1)A(2)AB解析(1)由1弧度的定义知,A正确,B错误.对于C,只有在同圆或等圆中,1弧度的圆心角所对的弧长是相等的,故C错误;对于D,用弧度表示的角也可以是负角或零角,故D错误.(2)67°30'=67.5×π180=3π8,故A-10π3=-10π3×180π°=-600°,-150°=-150×π180=-5π6,故Cπ12=π12×180π°=15°,思维升华1.在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式πrad=180°是关键,由它可以得到:度数×π180=弧度数,弧度数×180π°2.互化时注意两点:(1)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.(2)角度化为弧度时,其结果写成π的形式,没特殊要求不必化成小数.训练1已知α=15°,β=π10,γ=1,θ=105°,φ=712π,解α=15°=15×π180=πθ=105°=105×π180=7π∵π12<π10<1<7π12,∴α<β<γ<θ二、用弧度制表示角的集合例2已知角α=2010°.(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;(2)在区间[-5π,0)上找出与α终边相同的角.解(1)2010°=2010×π180=67π6=5×2π+又π<7π6<3π∵α与7π6终边相同,∴α是第三象限角(2)与α终边相同的角写成γ=7π6+2kπ(k∈Z又-5π≤γ<0,∴当k=-3时,γ=-296当k=-2时,γ=-176当k=-1时,γ=-56思维升华1.在弧度制下,与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α,k∈Z},即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.2.注意两点:(1)角度制与弧度制不能混用;(2)k∈Z切莫遗漏.训练2(1)若α=6kπ+π(k∈Z),则α2的终边在(A.第一象限 B.第四象限C.x轴上 D.y轴上(2)用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(包括边界)的角θ的集合为.

答案(1)D(2)θ解析(1)因为α=6kπ+π(k∈Z),所以α2=3kπ+π2(k∈当k为奇数时,α2的终边在y轴的非正半轴上当k为偶数时,α2的终边在y轴的非负半轴上综上,知α2的终边在y轴上(2)终边落在射线OA上的角为θ=135°+k·360°,k∈Z,即θ=3π4+2kπ,k∈Z终边落在射线OB上的角为θ=-30°+k·360°,k∈Z,即θ=-π6+2kπ,k∈Z故终边落在阴影部分内(包括边界)的角θ的集合为θ-三、弧度制下扇形的弧长与面积公式探究3我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么?提示初中我们已学习过,圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l=nπR180,S=nπR2360,设扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l=αl=α·R扇形的面积S=αS=12l·R=12α·温馨提示在应用扇形面积公式S=12αR2时,要注意α的单位是“弧度”例3(链接教材P174例6)已知扇形的周长是10cm,面积是4cm2,求扇形圆心角的弧度数.解设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为lcm,半径为Rcm,依题意有l整理得R2-5R+4=0,解得R1=1,R2=4.当R=1时,l=8,此时,θ=8rad>2πrad,舍去.当R=4时,l=2,此时θ=24=1综上,可知扇形圆心角的弧度数为12迁移已知一扇形的周长为4,当它的半径与圆心角取何值时,扇形的面积最大?最大值是多少?解设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l,半径为r,面积为S,则l+2r=4,所以l=4-2r21+π所以S=12l·r=12×(4-2r)=-r2+2r=-(r-1)2+1,所以当r=1时,S最大,且Smax=1,因此,θ=lr=4-2思维升华1.三个公式:l=|α|r,S=12lr=12αr2,要恰当选择公式,建立未知量、已知量间的关系,通过解方程(组)2.弧长、面积的最值:利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积),利用函数或基本不等式知识求最值.训练3已知扇形AOB的圆心角为α,周长为14.(1)若这个扇形的面积为10,且α为锐角,求α的大小;(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角α的大小和弦长AB.解设扇形AOB的半径为r,弧长为l,(1)由题意知2解得r所以α=lr=45或α=因为α为锐角,所以α=45(2)因为2r+l=14,所以S=12lr=14·l·2r≤14l+2r22=14×72=494,当且仅当2r=l,所以r=72,所以弦长AB=2×72×sin1=7sin【课堂达标】1.2100°化成弧度是()A.353πC.283π D.25答案A解析2100°=2100×π180=352.已知扇形AOB的周长为8,面积为4,则扇形AOB的半径是()A.1 B.2C.3 D.4答案B解析设扇形AOB的半径为r,其圆心角为θ.由题意得θr+2r=8,12θr2=4,解得θ=r3.若θ=-5,则角θ的终边在第象限.

答案一解析2π-5与-5的终边相同,∵2π-5∈0,π2,∴2π-5则-5也是第一象限角.4.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合为.

答案θ解析因为30°=π6rad,210°=7π6rad,这两个角的终边所在的直线相同,终边在直线AB上的角为α=kπ+π6,k∈Z,终边在y轴上的角为β=kπ+π2,从而终边落在阴影部分内的角的集合为θk课时精练一、基础巩固1.下列说法错误的是()A.半圆所对的圆心角是πradB.周角的大小等于2πC.每个弧度制的角,都有唯一的角度制的角与之对应D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度答案D解析根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A,B,C均正确,D错误.2.半径为2cm的圆上的一条弧长为6cm,则此弧所对圆心角的弧度数是()A.1.5 B.2C.3 D.12答案C解析由弧长公式l=αr可得α=lr=63.在0~2π范围内,与-4π3角终边相同的角是(A.π6 B.C.2π3 D.答案C解析与-4π3角终边相同的角是2kπ+-4π3,k令k=1,可得与-4π34.角25π12的终边所在的象限是(A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析25π12=2π+π12,π故25π12是第一象限角5.如图,时钟显示的时刻为4:30,此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π).若一个半径为1的扇形的圆心角为α,则该扇形的面积为()A.π2 B.C.π8 D.答案C解析由题图可知α=π4,又因为r所以该扇形的面积S=12αr2=π6.集合α|kπ+π4≤α≤kπ+答案C解析当k为偶数时,集合对应的区域为第一象限内直线y=x的左上部分(包含边界);当k为奇数时,集合对应的区域为第三象限内直线y=x的右下部分(包含边界).7.(多选)下列表示正确的是()A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}B.终边在第二象限的角的集合为αC.终边在坐标轴上的角的集合是αD.终边在直线y=x上的角的集合是α答案ABC解析易知A,B项正确.终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ,k∈Z},终边在y轴上的角的集合为αα=π2+kπ,k∵终边在y=x上的角可表示成α=π4+kπ,k∈Z,∴D不正确8.-105°化为弧度为,11π3化为角度为.答案-712π解析-105°=-105×π180=-712π,113π=1139.扇形的面积是1,它的弧长是2,则扇形的圆心角α的弧度数为.

答案2解析S=12lR=1,又l∴R=1,∴α=lR=210.如图,用弧度制表示顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界)为.

答案θ解析330°和60°的终边分别对应-π6和π3,所表示的区域位于-π6与π11.已知角α=1200°.(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限的角;(2)在区间[-4π,0]上找出与α终边相同的角.解(1)因为α=1200°=1200×π180=20π3=3×2π+2π3,所以角α与又π2<2π3<π,所以角α(2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ+2π3,k∈Z所以由-4π≤2kπ+2π3≤0,k∈Z得-73≤k≤-1因为k∈Z,所以k=-2或k=-1.故在区间[-4π,0]上与角α终边相同的角是-10π3和-4π二、综合运用12.折扇是一种用竹木做扇骨,韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子.用时展开成扇形,如图,某折扇的扇骨长度OA=15cm,扇面长度AB=10cm,已知折扇展开所对圆心角的弧度为32,则扇面的面积为(A.100cm2 B.150cm2C.200cm2 D.300cm2答案B解析由题意,知扇面的面积为12×32×152-12×32×52=15013.如图,以正方形ABCD的顶点A为圆心,边AB的长为半径作扇形AEB.若图中两块阴影部分的面积相等,则∠EAD的弧度数大小为.

答案2-π解析设正方形的边长为a,∠EAD=α,则a2-14πa2=12a2α,解得α=2-14.已知某扇形的半径r=2cm,周长C=4+π(1)求该扇形的面积;(2)求在区间(0,3π)上与该扇形的圆心角α终边相同的角.解(1)设扇形的弧长为l,因为r=2cm,由题意,扇形的周长C=2r+l=2×2+l=4+π3所以l=π3,12lr=12×π3×2=π3(2)由(1)可知,圆心角α=lr=π32故与α终边相同的角的集合为S=ββS中符合0<β<3π的元素β有π6+0×2π=π6,π6+1×故在区间(0,3π)上与该扇形的圆心角α终边相同的角为π6三、拓展提高15.《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=12(弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成.公式中“弦”指圆弧所对应的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3,半径为4m的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是m2(精确到1m2答案9解析2π3=120°,根据题意得弦=2×4sin120°2=43(m),矢因此弧田面积=12×(弦×矢+矢2)=12×(43×2+22)=43+2≈9(m16.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=10m,O