人教A版高中数学必修一 5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象

5.4三角函数的图象与性质5.4.1正弦函数、余弦函数的图象学习目标1.了解用单位圆作正弦函数图象的方法.2.理解y=sinx与y=cosx图象之间的关系,能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦函数的图象.3.会利用正弦(余弦)函数的图象解决简单的问题.【引入】如图,将一个漏斗挂在架子上,做一个简易的单摆,在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,这就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.本节课我们就来研究该类曲线的特征.一、正弦函数、余弦函数的图象探究1绘制函数图象,首先要准确绘制其上一点,对于正弦函数,在[0,2π]上任取一个值x0,如何借助单位圆确定正弦函数值sinx0,并画出点T(x0,sinx0)?提示如图,在[0,2π]上任取一个值x0,根据正弦函数的定义可知y0=sinx0,此时弧AB的长度为x0,结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系,可得点T(x0,sinx0).探究2根据函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象,你能想象y=sinx,x∈R的图象吗?提示根据诱导公式一,把x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度),得y=sinx,x∈R的图象.1.正弦函数的图象(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线,是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.(2)在精确度要求不高时,作y=sinx,x∈[0,2π]的图象常常先找出五个关键点(0,0),π2,1,(π,0),3π2,-1,2.余弦函数的图象(1)余弦函数y=cosx,x∈R的图象叫做余弦曲线,它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.(2)确定余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]图象的五个关键点是(0,1),π2,0,(π,-1),温馨提示(1)将y=sinx,x∈R的图象向左平移π2个单位长度得y=cosx,x∈R的图象,因此y=sinx,x∈R与y=cosx,x∈R的图象形状相同,只是在直角坐标系中的位置不同(2)“五点法”只是画出y=sinx和y=cosx在[0,2π]上的图象.若x∈R,可先作出正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的图象,然后通过不断向左、右平移可得到y=sinx,x∈R和y=cosx,x∈R的图象.例1(1)(多选)对于余弦函数y=cosx的图象有以下描述,其中正确的描述有()A.将[0,2π]内的图象向左、向右不断平移2π个单位得到y=cosx的图象B.与y=sinx图象完全相同C.与y轴只有一个交点D.关于x轴对称答案AC解析根据余弦函数的图象可以判断A,C正确,B,D错误.(2)已知函数f(x)=sinx,x∈[-2π,2π]的图象如图所示,点A的坐标为;点E的坐标为;|BD|=;|BE|=.

答案(-2π,0)32π,-12π解析由y=sinx,x∈[-2π,2π]的图象知点A(-2π,0),点E32π,-1,|BD|=2π.|BE|=(3π)2思维升华1.要熟练掌握正弦、余弦函数图象特征,正弦曲线、余弦曲线的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.2.知道正弦曲线、余弦曲线在x∈[-2π,2π]内特殊点(最高、最低点及与x轴的交点)的坐标,会求特殊点之间的横向距离.训练1(多选)下列说法正确的是()A.作正弦函数的图象时,单位圆的半径长与y轴的单位长度要一致B.y=sinx,x∈[0,2π]的图象关于点P(π,0)对称C.y=cosx,x∈[0,2π]的图象关于直线x=π不对称D.正弦、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围答案ABD解析分别画出函数y=sinx,x∈[0,2π]和y=cosx,x∈[0,2π]的图象,由图象(略)观察知ABD正确,C不正确.二、用“五点法”作三角函数的图象例2(链接教材P199例1)用“五点法”作出函数y=1-13cosx的简图解(1)取值列表x0ππ32πcosx10-1011-13cos21412(2)描点,连线可得函数在[0,2π]上的图象.(3)将函数图象向左、向右平移(每次2π个单位长度),就可以得到函数y=1-13cosx的图象,如图所示思维升华“五点法”作形如y=asinx+b(或y=acosx+b),x∈[0,2π]的图象的步骤:训练2(链接教材P200练习T2)用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图.(1)y=2-sinx;(2)y=cosx-1.解(1)按五个关键点列表:x0ππ32πsinx010-102-sinx21232描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图1.(2)按五个关键点列表:x0ππ32πcosx10-101cosx-10-1-2-10描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图2.三、正弦、余弦函数图象的应用角度1与函数图象有关的交点问题例3(链接教材P200练习T4)已知函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则实数k的取值范围是.

答案(1,3)解析f(x)=sinx+2|sinx|=3sin画出函数的图象,如图.由图象可知,当1<k<3时,函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点.故实数k的取值范围为(1,3).思维升华1.函数式中含有绝对值符号,首先应去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,并画出函数图象,然后利用数形结合法平移直线y=k,求得参数的取值范围.2.作图应准确,要揭示函数的特征,注意端点值是否满足条件.训练3方程sinx=lgx的实数根有()A.1个 B.2个C.3个 D.无穷多个答案C解析在同一直角坐标系中作函数y=sinx与y=lgx的图象sin5π由图中可以看出两函数图象有三个交点(xi,yi),其中xi∈(1,10)(i=1,2,3)是方程sinx=lgx的解.角度2利用函数图象解不等式例4(1)函数f(x)=lg(sinx)+16-x2的定义域为(2)不等式2cosx-1≥0的解集是.

答案(1)[-4,-π)∪(0,π)(2)2kπ-π3,2解析(1)由sin得sin作出y=sinx的图象,如图所示.结合图象得-4≤x<-π或0<x<π.∴f(x)的定义域是[-4,-π)∪(0,π).(2)由2cosx-1≥0得cosx≥12画出y=cosx的图象和直线y=12结合图象,不等式的解集为x2思维升华1.求三角函数定义域时,常常归结为解三角不等式(组),这时可利用基本三角函数的图象直观地求得解集.2.解三角不等式sinx>a,如果不限定范围时,一般先利用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围,然后根据终边相同角的同一三角函数值相等,写出原不等式的解集.训练4(链接教材P214习题5.4T11)使不等式2-2sinx≥0成立的x的集合是()A.xB.xC.xD.x答案C解析因为2-2sinx≥0,所以sinx≤22作出y=sinx在-3π2,由图可知,满足条件的x∈-5π故不等式的解集是x2【课堂达标】1.下列图象是y=-sinx在[0,2π]上的图象的是()答案D解析由y=sinx在[0,2π]上的图象,作其关于x轴的对称图形,得y=-sinx,x∈[0,2π]的图象为选项D中的图象.2.函数y=1+sinx,x∈[0,2π]的图象与直线y=2交点的个数是()A.0 B.1C.2 D.3答案B解析由函数y=1+sinx,x∈[0,2π]的图象(如图所示),可知其与直线y=2只有1个交点.3.用“五点法”作函数y=cos2x,x∈R的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是.

答案0,π4,π2,解析令2x=0,π2,π,3π得x=0,π4,π2,4.不等式sinx<-12,x∈[0,2π]的解集为.答案7π解析如图所示,不等式sinx<-12课时精练一、基础巩固1.利用“五点法”画y=sinx-1,x∈[0,2π]的图象时,五点中的第三个点为()A.(0,-1) B.πC.(π,-1) D.3π答案C解析令x=π,得y=sinπ-1=-1.∴五点中的第三个点为(π,-1).2.观察正弦函数y=sinx,x∈R的图象,下列说法错误的是()A.过原点B.与y=cosx的图象形状相同,只是位置不同C.与x轴有无数个交点D.关于y轴对称答案D解析观察题图可得,正弦函数y=sinx,x∈R的图象不关于y轴对称.3.已知函数f(x)=sinx+π2,g(x)=cosx-π2,则f(A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称C.向左平移π2个单位长度,得到g(x)D.向右平移π2个单位长度,得到g(x)答案D解析由题意得f(x)=sinx+π2=cos因为g(x)=cosx-所以将f(x)的图象向右平移π2个单位长度,即可得到g(x)的图象.故选4.(多选)若点π3,n在余弦曲线f(x)=cosx上,则n的值可以为A.12 B.-C.32答案AB解析由于点π3,n在余弦曲线f(x)=cos所以|n|=cosπ3=12,即n=±125.在[0,2π)内满足cosx≥-32的x的取值范围为(A.0,5π6∪7πC.5π6,7π6答案A解析作出y=cosx,x∈[0,2π)的图象与直线y=-32,如图所示由图象知x的取值范围是0,5π6∪6.(多选)下列函数中与函数y=sinx形状完全相同的是()A.y=sinx-1 B.y=|sinx|C.y=-cosx D.y=co答案AC解析y=sinx-1是将y=sinx向下平移1个单位长度,没改变形状;y=-cosx=sinx-π2,故y=-cosx是将y=sinx向右平移π2个单位长度得到的,没有改变形状,与y=siny=|sinx|,y=cos2x=|cosx|与y=sin7.(多选)函数y=1+sinx,x∈π6,2π的图象与直线y=t(t为常数)的交点可能有(A.0个 B.1个C.2个 D.3个答案ABC解析由题意,y=1+sinx,x∈π6,2π可得当t>2或t<0时,交点个数为0;当t=2或t=0或t∈1,32时,当t∈32,2∪(0,1)时,8.函数y=cosx+4,x∈[0,2π]的图象与直线y=4的交点的坐标为.

答案π2,4解析由y=cosx+4,y=4,当x∈[0,2π]时,x=π2∴交点坐标为π2,4,9.若方程sinx=4m+1在x∈[0,2π]上有解,则实数m的取值范围是.

答案-解析由正弦函数的图象,知当x∈[0,2π]时,sinx∈[-1,1],要使得方程sinx=4m+1在x∈[0,2π]上有解,则-1≤4m+1≤1,故-12≤m≤10.函数y=log2(2sinx+1)的定义域为.

答案x解析要使函数有意义,则必有2sinx+1>0,即sinx>-12画出y=sinx,x∈-π2,3π当-π6<x<7π6时,不等式sinx>-1故函数y=log2(2sinx+1)的定义域为x-11.画出y=3cosx+1,x∈[0,2π]的简图.解(1)取值列表x0ππ32π3cosx+141-214(2)描点连线,画出图象如图所示.二、综合运用12.函数y=12(|cosx|-cosx),x∈[0,2π]的大致图象为(答案A解析设f(x)=cosx,x∈[0,2π],令f(x)≥0,得x∈0,π2∪令f(x)<0,得x∈π2因此y=12(|cosx|-cosx)=0,x13.若函数f(x)=cosx,x∈[-2π,2π],则不等式xf(x)>0的解集为.

答案0,π2∪3π解析当x>0时,由f(x)=cosx>0,得不等式的解集为0,π2∪当x<0时,由f(x)<0可得不等式的解集为-3π14.用“五点法”作出函数y=1-2sinx,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:(1)观察函数图象,写出满足y>1的x的区间;(2)若直线y=a与y=1-2sinx,x∈[-π,π]有两个交点,求a的取值范围.解(1)①列表如下:x-π-π0ππsinx0-10101-2sinx131-11②描点连线得函数图象,如图.由图象可知,图象在y=1上方部分时,满足y>1.∴满足y>1时,x的取值区间为(-π,0).(2)如图所示,当直线y=a与y=1-2sinx有两个交点时,1<a<3或-1<a<1.所以a的取值范围是{a|1<a<3,或-1<a<1}.三、拓展提高15.若函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是()A.4 B.8C.2π D.4π答案D解