人教A版高中数学必修一 第二课时　基本不等式的应用

第二课时基本不等式的应用学习目标1.进一步熟练掌握基本不等式.2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小、求参等问题.3.能够利用基本不等式解决实际问题.一、利用基本不等式证明不等式例1(链接教材P49习题2.2T4)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证:1a-11证明因为a,b,c均为正实数,a+b+c=1,所以1a-1=1-aa=b同理1b-1≥2acb,1c上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得1a-11b-11c当且仅当a=b=c=13时,等号成立故1a-11迁移若本例的题设条件不变,试证明:1a+1b+1c证明1a+1b+1c=a+b+ca+a+b当且仅当a=b=c=13时,等号成立思维升华1.借助基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必有“和式”或“积式”,然后利用不等式的性质与基本不等式进行转化,达到放缩的效果.2.注意事项:(1)多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;(2)巧用“1”的代换证明不等式;(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,创造使用基本不等式的条件再使用.训练1已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>ab+bc+ca.证明因为a>0,b>0,c>0,所以a+b≥2ab,b+c≥2bc,c+a≥2ca.所以2(a+b+c)≥2(ab+bc+ca),即a+b+c≥ab+bc+ca.由于a,b,c为不全相等的正实数,故等号不成立,所以a+b+c>ab+bc+ca.二、利用基本不等式求参数的值(范围)例2已知a>0,b>0,若不等式2a+1b≥m2a+b恒成立,A.10 B.9C.8 D.7答案B解析因为a>0,b>0,所以2a+b>0,所以要使2a+1b≥m只需m≤(2a+b)2a+又(2a+b)2a+1b=4+2a当且仅当a=b时,等号成立,所以m≤9.故实数m的最大值为9.思维升华求参数的值或取值范围的一般方法(1)分离参数,转化为求代数式的最值问题.(2)观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而求得参数的值或取值范围.(3)注意等号的取舍,防止失误.训练2若两个正实数x,y满足2x+1y=1,并且x+2y>4+2m恒成立,则实数m的取值范围是答案{m|m<2}解析∵x>0,y>0,且2x+1∴x+2y=(x+2y)2=2+4yx+xy+2≥当且仅当4yx=xy,即x=4,y由x+2y>4+2m恒成立,可知4+2m<8,解得m<2.三、基本不等式在实际生活中的应用例3(链接教材P46例3)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米,如图所示.(1)若设休闲区的长和宽的比A1B1B1C1=x(x>1),求公园(2)要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?解(1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米,由a2x=4000,得a=2010则y=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)·2010=80102x+5x+4(2)80102x+5x+4160≥8010×=1600+4160=5760.当且仅当2x=5x,即x=2.5时,等号成立,此时a=40,ax=100所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米.思维升华利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意,设变量,并理解变量的实际意义;(2)构造定值,利用基本不等式求最值;(3)检验,检验等号成立的条件是否满足题意;(4)给出结论,回答实际问题.训练3如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=4米,AD=3米,当BM=米时,矩形花坛AMPN的面积最小.

答案4解析设BM=x(x>0),则由DC∥AM得NDND+3=解得ND=12x∴矩形AMPN的面积为S=(4+x)3+12x=24+3x+48x≥当且仅当3x=48x,即x=4时等号成立【课堂达标】1.用一段长为8的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型的最大面积为()A.9 B.16C.4 D.5答案C解析设矩形模型的长和宽分别为x,y,则x>0,y>0,由题意可得2(x+y)=8,所以x+y=4.所以矩形模型的面积S=xy≤(x+y)24=424所以当矩形模型的长和宽都为2时,面积最大,为4.2.某工厂生产某种产品,第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则()A.x=a+b2 B.C.x>a+b2 D.答案B解析由题意得,A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,则(1+a)(1+b)=(1+x)2,因为(1+a)(1+b)≤1+a所以1+x≤2+a+b所以x≤a+b2,当且仅当a=3.已知a>0,b>0,2a+1b=16,若不等式2a+b≥9m恒成立,则m的最大值为A.8 B.7C.6 D.5答案C解析由已知,可得62a∴2a+b=62a+1b×(2=65+2ab+当且仅当2ab=2ba,即a=∴9m≤54,即m≤6.4.已知a>b>c,证明:(a-b证明∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0.∴a-c2=(当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时取等号.课时精练一、基础巩固1.若直角三角形的面积为18,则两条直角边的和的最小值是()A.32 B.6C.62 D.12答案D解析设直角三角形的两直角边分别为a,b,因为直角三角形的面积为18,即ab=36,所以两条直角边的和a+b≥2ab=12,当且仅当a=b=6时取等号,所以两条直角边的和的最小值是12.2.汽车上坡时的速度为a,原路返回时的速度为b,且0<a<b,则汽车全程的平均速度比a,b的平均值()A.大 B.小C.相等 D.不能确定答案B解析令单程为s,则上坡时间为t1=sa,下坡时间为t2=sb,平均速度为2st1+t2=3.制作一个面积为2m2,形状为直角三角形的铁支架框,有下列四种长度的铁管供选择,较经济(够用,又耗材最少)的是()A.6.2m B.6.8mC.7m D.7.2m答案C解析设两直角边的长度分别为a,b,a>0,b>0,则ab=4,铁支架框的周长l=a+b+a2+b2≥2ab+2ab当且仅当a=b=2时取等号.故选C.4.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为900元,若每批生产x件,则平均仓储时间为x4天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(A.30件 B.60件C.80件 D.100件答案B解析设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元,则y=x4×x×1+900x=x当且仅当x4=900x,即x=60故每批应生产产品60件.故选B.5.已知a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是()A.a+b+1ab≥2B.(a+b)1a+C.a2+bD.2aba答案D解析a+b+1ab≥2ab+1ab≥22,A(a+b)1a+1b=2+ba+ab由a>0,b>0,则a2+b2≥2ab>0,∴a2+b2ab≥2abab当a=b=1时,2aba+b=1=ab,6.(多选)已知某出租车司机为升级服务水平,购入了一辆豪华轿车投入运营,据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y(单位:万元)与运营年数x的关系为y=-x2+12x-25,则下列判断正确的是()A.车辆运营年数越多,收入越高B.车辆在第6年时,总收入最高C.车辆在前5年的平均收入最高D.车辆每年都能盈利答案BC解析由题意,y=-x2+12x-25的图象是开口向下的抛物线,故A错误;对称轴x=6,故B正确;yx=-x+12-25x=-x+25x+12≤-225+12=2,当且仅当x=5时,等号成立当x=1时,y=-14,故D错误.7.已知a>0,b>0,且ab=1,不等式1a+1b+ma+b≥4恒成立,则正实数A.{m|m≥2} B.{m|m≥4}C.{m|m≥6} D.{m|m≥8}答案B解析由题设得m≥4(a+b)-1a+1b(a+b)=4(a+b)-(a+b而4(a+b)-(a+b)2=4-(a+b-2)2,又a+b≥2ab=2,当且仅当a=b=1时等号成立,所以4(a+b)-(a+b)2≤4,当且仅当a=b=1时等号成立,故m≥4.故选B.8.为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位:mg/L)随时间t(单位:h)的变化关系为C=20tt2+4,则经过h后答案2解析C=20tt2因为t>0,所以t+4t≥2t·当且仅当t=4t,即t=2时等号成立所以C=20t+4故当t=2时,C取得最大值.9.若对∀x>-1,不等式x+1x+1-1≥a恒成立,则实数a的取值范围是答案{a|a≤0}解析因为x>-1,所以x+1>0,则x+1x+1-1=x+1+≥2(x当且仅当x+1=1x+1,即x=0由题意可得a≤x+1x+1-1min10.从等腰直角三角形纸片ABC上,剪下如图所示的两个正方形,其中BC=2,∠A=90°,则这两个正方形的面积之和的最小值为.

答案1解析设两个正方形边长分别为a,b,则由∠B=∠C=45°可得a+b=12BC且13<a<23,13<bS=a2+b2≥2×a+b2当且仅当a=b=12时取等号11.已知a,b,c>0,求证:a2b+b2c+c2a≥证明∵a,b,c>0,∴由基本不等式得a2b+b≥2同理b2c+c≥2b,c2a+a∴a2b+b2c+c2a+a+b+c≥2(故a2b+b2c+c2a≥当且仅当a=b=c时,等号成立.二、综合运用12.中国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦—A.37 B.8C.47 D.93答案A解析由题意p=7,S=7(7-a)(7-b)(7-c)=7(7-b当且仅当7-b=7-c,即b=c=4时,等号成立,此三角形面积的最大值为37.13.某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10km处建仓库,则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站km处.

答案5解析设仓库到车站的距离为x,每月土地费用为y1,每月货物的运输费用为y2,由题意可设y1=k1x,y2=k2把x=10,y1=2与x=10,y2=8分别代入上式得k1=20,k2=45∴y1=20x,y2=45则两项费用之和为y=y1+y2=20x+4x5≥当且仅当45x=20x,即x=5故当仓库建在离车站5km处时两项费用之和最小.14.已知正实数a,b满足a+2b+5=ab,且不等式m2a+b≥10-2aba解因为正实数a,b满足a+2b+5=ab,m2a+所以m≥(10-2=-(2=-2b+4a(2而2b+4a(2a+b)=≥24a当且仅当4ab=4ba,即a=b所以-2b+4a(2a+所以实数m的取值范围为{m|m≥-18}.三、拓展提高15.(多选)如图,4个长为a,宽为b的长方形,拼成一个正方形ABCD,中间围成一个小正方形A1B1C1D1,则以下说法正确的是()A.(a+b)2≥4abB.当a=b时,A1,B1,C1,D1四点重合C.(a-b)2≤4abD.(a+b)2>(a-b)2答案ABD解析由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和,即有(a+b)2≥4ab;正方形A1B1C1D1的面积为(a-b)2,结合图形可知(a+b)2>(a-b)2,且当a=b时A1,B1,C1,D1四点重合,但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定.因此C选项错误.故选ABD.16.一家黄金专卖店使用一架两臂不等长的天平称黄金,其中左臂长和右臂长之比为λ(λ≠1),一位顾客到店里购买10g黄金,售货员先将5g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5g砝码放在天平右盘中,然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡,最后将两次称得的黄金交给顾客.(1)试分析顾客购得的黄金是小于10g,等于10g,还是大于10g?为什么?(2)如果售货员又将10g的砝码放在天平左盘中,然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡,请问要使