人教A版高中数学必修一 第一课时　对数函数的图象和性质(一)

4.4.2对数函数的图象和性质第一课时对数函数的图象和性质(一)学习目标1.掌握对数函数的图象和性质.2.会利用对数函数的单调性比较大小.3.了解反函数的概念和图象特点.【引入】前面我们学习指数函数的时候,是根据什么思路研究指数函数的性质?是从具体的函数图象特征,观察、归纳、抽象出指数函数的性质.类比指数函数,今天我们运用类似的方法研究对数函数的图象和性质.一、对数函数的图象和性质探究1请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤,先完成下列表格,再在同一坐标系下画出对数函数y=log2x和y=log12xx…0.250.512481632…y=log2x……y=log1……提示(1)-2-1012345210-1-2-3-4-5(2)描点、连线.探究2为了更好地研究对数函数的性质,我们再选取底数a=3,4,13,14,提示对数函数的图象和性质项目0<a<1a>1图象定义域(0,+∞)值域R性质过定点(1,0),即x=1时,y=0减函数增函数当0<x<1时,y>0;当x>1时,y<0当0<x<1时,y<0;当x>1时,y>0温馨提示(1)函数图象只出现在y轴右侧.(2)对任意底数a,当x=1时,y=0,故过定点(1,0).(3)当0<a<1时,底数越小,图象越靠近x轴.(4)当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴.(5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.例1(1)如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,则()A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1(2)若a>0,且a≠1,则函数y=loga(x-1)+1的图象恒过定点.

答案(1)B(2)(2,1)解析(1)根据C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,可得0<b<1,0<a<1,且b<a.(2)令x-1=1,得x=2,此时y=1.∴y=loga(x-1)+1的图象过定点(2,1).思维升华1.有关对数函数图象的识别问题,主要依据底数确定图象是上升还是下降、图象位置、图象所过定点、图象的平移与翻折变换等求解.2.求函数y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的图象过定点时,只需令f(x)=1求出x,即得定点为(x,m).训练1(1)函数f(x)=loga|x|+1(a>1)的图象大致为()(2)已知函数f(x)=loga(x-m)+n的图象恒过定点(3,5),则lgm+lgn的值是.

答案(1)C(2)1解析(1)f(x)=loga|x|+1(a>1)是偶函数,∴f(x)的图象关于y轴对称.当a>1时,y=loga|x|在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)上单调递减,将y=loga|x|的图象向上平移一个单位长度,得f(x)的图象,因此选项C中图象符合题意.(2)因为函数f(x)=loga(x-m)+n的图象恒过定点(3,5),故3-m=1,且n=5,则m=2,n=5.所以lgm+lgn=lg2+lg5=lg10=1.二、比较对数值的大小例2(链接教材P133例3)(1)若a=log23,b=log32,c=log46,则下列结论正确的是()A.b<a<c B.a<b<cC.c<b<a D.b<c<a(2)下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)()A.loga5.1<loga5.9B.log122.1>log1C.log1.1(a+1)<log1.1aD.log32.9<log0.52.2答案(1)D(2)B解析(1)因为函数y=log4x在(0,+∞)上是增函数,a=log23=log49>log46>1,log32<1,所以b<c<a.(2)选项A,因为a和1大小的关系不确定,无法确定函数的单调性,故A不成立;选项B,因为以12为底的对数函数是减函数,所以成立对于选项C,因为以1.1为底的对数函数是增函数,所以不成立;选项D,log32.9>0,log0.52.2<0,所以不成立,故选B.思维升华1.同底数的对数值比较大小:(1)同底数的对数式,直接利用对数函数的单调性.(2)若底数为同一参数的对数式,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.2.对于不同底的对数,可以估算范围,如1<log23<2,从而借助中间值比较大小.训练2(1)已知a=log2e,b=ln2,c=log1213,则a,b,cA.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b(2)log132与log152答案(1)D(2)log132<lo解析(1)log1213=log23>log2e,则因为b=ln2=1log2e<1<log2e=a,所以因此c>a>b,D正确.(2)∵log132=-1log2又函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,∴log25>log23>0,从而-1log2因此log132<log三、反函数探究3给出函数f(x)=2x与g(x)=log2x.(1)两个函数的定义域、值域之间有什么关系?提示f(x)的定义域、值域分别是g(x)的值域、定义域.(2)在同一坐标系中,两函数的图象有什么关系?提示f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称.1.一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域和值域正好互换.2.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.例3若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,函数f(x)=12-x,则f(2)+gA.3 B.4C.5 D.6答案D解析法一∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,f(x)=12-x∴g(x)=log2x,∴f(2)+g(4)=22+log24=6.法二∵f(x)=12-x,故函数f(x)的图象经过点(2,4).∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,∴函数g(x)的图象经过点(4,2),∴f(2)+g(4)=4+2=6.思维升华互为反函数的函数的性质(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换.(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.训练3设函数y=ax的反函数为f(x),则f(a+1)与f(2)的大小关系是.

答案f(a+1)>f(2)解析依题意,f(x)=logax,当a>1时,f(x)是增函数,由a+1>2,得f(a+1)>f(2).当0<a<1时,f(x)是减函数,由a+1<2,得f(a+1)>f(2),综上可知,f(a+1)>f(2).【课堂达标】1.若a=log67,b=log76,c=log67π,则(A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.b<c<a答案C解析易知a=log67>1,0<b<1,且c=log67π<0,∴a>b>2.若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数,则f(f(2))的值为()A.16 B.0C.1 D.2答案B解析函数y=2x的反函数是y=log2x,则f(x)=log2x.∴f(f(2))=f(log22)=f(1)=log21=0.3.如图为函数y=m+lognx的图象,其中m,n为常数,则下列结论正确的是()A.m<0,n>1B.m>0,n>1C.m>0,0<n<1D.m<0,0<n<1答案D解析根据图象可知,函数y=m+lognx(m,n是常数)是减函数,所以0<n<1.又当x=1时,y<0,即y=m+logn1=m<0.4.若函数f(x)=2loga(2-x)+3(a>0,且a≠1)过定点P,则点P的坐标是.

答案(1,3)解析令2-x=1,得x=1,f(1)=3,故P的坐标是(1,3).课时精练一、基础巩固1.函数f(x)=log2x-2在[2,8]上的值域为()A.-32,1C.12,3 D答案B解析因为y=log2x在[2,8]上单调递增,所以log22≤log2x≤log28,即log2x∈12故log2x-2∈-3即函数f(x)在[2,8]上的值域为-32.若对数函数y=log(a+1)x(x>0)是增函数,则实数a的取值范围是()A.(-1,0) B.(0,+∞)C.(-∞,-1) D.(0,1)答案B解析因为函数y=log(a+1)x在(0,+∞)上是增函数,所以a+1>1,则a>0.3.设f(x)=3x+9,则其反函数的定义域是()A.(0,+∞) B.(9,+∞)C.(10,+∞) D.(-∞,+∞)答案B解析∵3x>0,∴f(x)=3x+9>9,因此其反函数的定义域为(9,+∞).4.图中曲线分别表示y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象,则a,b,c,d的大小关系是()A.0<a<b<1<d<cB.0<b<a<1<c<dC.0<c<d<1<a<bD.0<c<d<1<b<a答案C解析如图所示,当y=1时,x1=c,x2=d,x3=a,x4=b.∵0<x1<x2<1<x3<x4,∴0<c<d<1<a<b,故选C.5.已知函数f(x)=loga(x-m)的图象过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是()A.增函数 B.减函数C.奇函数 D.偶函数答案A解析依题意,得loga则有f(x)=log4(x-3).由于函数f(x)的定义域是{x|x>3},则函数不具有奇偶性,很明显函数f(x)在定义域上是增函数.6.(多选)已知a=log32,b=ln2,c=log132,d=12,则A.a<b B.b<cC.a<d D.b>d答案AD解析结合图象,易知0<a<b<1,A正确;由于c=log132<0,知B利用函数单调性,a=log32>log33=12=d则C错误;又b=ln2>lne=12=d,知D正确7.(多选)已知a>0,b>0,且ab=1,a≠1,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx在同一坐标系中的图象可能是()答案AB解析由ab=1,得1b=a∴g(x)=-logbx=log1bx=loga因此函数f(x)与g(x)具有相同的单调性,且两函数图象关于y=x对称,结合图象特征知A,B满足题意.8.函数f(x)=loga(10-3x)+9的图象恒过定点A,则点A的坐标为,若点A在幂函数g(x)的图象上,则g(8)=.

答案(3,9)64解析令10-3x=1,则x=3,y=9.∴f(x)的图象恒过定点A(3,9),又点A(3,9)在g(x)=xα的图象上,∴3α=9,则α=2,g(x)=x2,因此g(8)=82=64.9.若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,则a,b,c的大小关系为.

答案b>a>c解析因为f(x)=log0.2x为(0,+∞)上的减函数,且0.2<0.3<1<4.则log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24,即c<0<a<1.同理b=log26>log22=1,故b>a>c.10.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,其图象经过点32,23,则a答案2解析因为点32,23在y=f(所以点23,32在y=则有32=a23,即又因为a>0,所以a=2.11.比较下列各组中两个值的大小:(1)3log45,2log23;(2)log40.3,log50.3.解(1)∵3log45=log4125,2log23=42log23=log481,且函数y=log4x在区间(0,+∞)上是增函数,又125>81,∴3log45>2log23(2)∵log0.35<log0.34<0,∴1log0.34<1log0.35,即log4二、综合运用12.(多选)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(9,2),则下列说法正确的是()A.a=2B.函数f(x)为增函数C.若x>3,则f(x)>1D.若0<x1<x2,则f(x1答案BC解析由loga9=2,得a=3,A错误;由于f(x)=log3x是增函数,B正确;当x>3时,f(x)>f(3)=1,C正确;因为f(x=log3x1x2,fx1又0<x1<x2,所以x1x2所以log3x1x2<log即f(x1)+f(x213.已知函数f(x)=2x,x<1,log2x,x≥1,则f(8)=,若直线y=m与函数f(答案3{0}∪[2,+∞)解析当x=8时,f(8)=log28=3;作出函数f(x)的图象,如图所示,若直线y=m与函数f(x)的图象只有1个交点,由图象可知,当m≥2或m=0时满足条件.14.已知函数f(x)=log3(ax+b)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式与定义域;(2)函数f(x)的图象怎样由函数y=log3(2x)的图象得到?(3)求函数f(x)在[1,4]上的最大值和最小值.解(1)将点A(2,1),B(5,2)的坐标代入f(x),得lo解之得a=2,b=-1,则f(x)=log3(2x-1),定