人教A版高中数学必修一 第一课时　函数的单调性

3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第一课时函数的单调性学习目标1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性.2.理解函数单调性的作用和实际意义.3.能够利用定义证明函数的单调性,掌握函数单调性的应用.【引入】在初中,我们利用函数图象研究过函数随自变量的增大而增大(或减小)的性质,这一性质叫做函数的单调性,本节课我们将研究如何用符号语言来刻画函数的单调性.一、直观感知函数的单调性探究1观察下列两个图象,从升降趋势上看,它们有什么共同特征?提示从升降趋势上看,它们的图象从左向右都是上升的,反映了函数值随着自变量的增大而增大.探究2反映在数量关系上,如何理解图象是上升的?针对图2的特征,你能用数学符号语言刻画吗?提示当自变量x的值增大时,对应的函数值y随之增大.任意取x1,x2∈[0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2).1.函数的单调性(1)函数的单调性条件一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D:如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)结论f(x)在区间I上单调递增f(x)在区间I上单调递减图示(2)增函数与减函数当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,称它是增函数;当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,称它是减函数.2.函数的单调区间如果函数y=f(x)在区间I上是单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间.温馨提示(1)函数的递增(或递减)是针对定义域D内的某个区间I而言的,显然I⊆D.(2)定义中x1,x2有三个特征:①x1,x2属于同一个区间;②任意性,x1与x2不能用I上的特殊值代替;③有序性,通常规定x1<x2.(3)单调递增(递减)是函数的局部性质,增(减)函数是函数的整体性质.例1(链接教材P86习题3.2T2)画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,并指出该函数的单调区间.解x≥0时,y=-x2+2x+3;x<0时,y=-x2-2x+3.所以y=-画出该函数的图象如图所示,由图象知,该函数的单调递增区间是(-∞,-1],(0,1];单调递减区间是(-1,0],(1,+∞).思维升华1.求函数单调区间时,若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等,可根据其单调性写出函数的单调区间,若函数不是上述函数且函数图象容易作出,可作出其图象,根据图象写出其单调区间.2.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接两个单调区间,而要用“和”或“,”连接.训练1画出函数y=|x|(x-2)的图象,并指出函数的单调区间.解y=|x|(x-2)=x函数的图象如图实线部分所示.由函数的图象知,函数的单调递增区间为(-∞,0]和[1,+∞),单调递减区间为(0,1).二、利用定义证明函数的单调性例2(链接教材P78例2)根据定义,研究函数f(x)=xx-1在x∈(-1,1)解∀x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,所以f(x1)-f(x2)=x1x1-1-x2因为x1,x2∈(-1,1)且x1<x2,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0.所以x2所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(-1,1)上单调递减.思维升华利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2;(2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的关系式;(3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号;(4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号与定义确定单调性.训练2(链接教材P79例3)求证:函数f(x)=1-1x在区间(-∞,0)上单调递增证明∀x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,因为f(x1)-f(x2)=1-1x1=1x2-1x由题设可得,x1-x2<0,x1·x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故函数f(x)=1-1x在区间(-∞,0)上单调递增三、函数单调性的应用角度1利用单调性求参数范围例3若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是.

答案(-∞,-4]解析f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.因此函数的单调递增区间为(-∞,-a-1],由f(x)在(-∞,3]上单调递增知3≤-a-1,解得a≤-4,即实数a的取值范围为(-∞,-4].迁移在本例中,若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3的单调递增区间是(-∞,3],则实数a的值为.

答案-4解析f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.因此函数的单调递增区间为(-∞,-a-1],由题意得-a-1=3,a=-4.角度2利用单调性比较大小例4若函数f(x)是定义在R上的增函数,则f32与fa2+2a答案f32≤f解析∵a2+2a+52=(a+1)2+32≥函数f(x)是定义在R上的增函数,∴f32≤fa角度3利用单调性解不等式例5已知f(x)是定义在区间[-2,2]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),求x的取值范围.解由题意,得-2解得0≤x≤3,①∵f(x)是[-2,2]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x).所以x-2<1-x,解得x<32,由①,②得0≤x<32所以满足题意的不等式解集为0,3思维升华1.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是:视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.2.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.3.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.训练3(1)设f(x)=x2,x>1,4-a2x-1,x≤1.若f((2)已知函数y=f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,则f(a2+2a)与f(-4)的大小关系为.

(3)若函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且f(2x-3)>f(5x-6),则x的取值范围为.

答案(1)[4,8)(2)f(a2+2a)≥f(-4)(3)3解析(1)因为f(x)是R上的增函数,所以4-a2>0,4-a(2)∵a2+2a+4=(a+2)2≥0,且函数f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,∴f(a2+2a)≥f(-4).(3)若函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,则由题意得2x-3>0,5x-6>0,∴x的取值范围为32【课堂达标】1.函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则f(x)的单调递增区间是()A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4]C.[-3,1] D.[-3,4]答案C解析由图象知f(x)的单调递增区间为[-3,1].2.若函数f(x)在R上是减函数,则有()A.f(3)<f(5) B.f(3)≤f(5)C.f(3)>f(5) D.f(3)≥f(5)答案C解析因为函数f(x)在R上是减函数,3<5,所以f(3)>f(5).3.已知函数f(x)=2x+1,x≥1,5-x,x答案(-∞,1)解析当x≥1时,f(x)单调递增;当x<1时,f(x)单调递减,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1).4.已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),则实数a的取值范围为.

答案0,解析∵y=f(x)在(-1,1)上是减函数,又f(1-a)<f(2a-1),∴-1<1-a<1,-1<2a-1<1,1-故所求a的取值范围是0,2课时精练一、基础巩固1.(链接教材P85习题3.2T1)函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则函数f(x)的所有单调递减区间为()A.[-4,-2] B.[1,4]C.[-4,-2],[1,4] D.[-4,-2]∪[1,4]答案C解析由图象知,函数f(x)在区间[-4,-2]上单调递减,在区间[-2,1]上单调递增,在区间[1,4]上单调递减,可得f(x)的单调递减区间为[-4,-2],[1,4].2.设f(x)是定义在R上的函数.①若存在x1,x2∈R,x1<x2,使f(x1)<f(x2)成立,则函数f(x)在R上是增函数;②若存在x1,x2∈R,x1<x2,使f(x1)≤f(x2)成立,则函数f(x)在R上不可能是减函数;③若存在x2>0,对于任意x1∈R,都有f(x1)<f(x1+x2)成立,则函数f(x)在R上是减函数.以上真命题的个数为()A.0 B.1C.2 D.3答案B解析对于①,存在x1,x2∈R,x1<x2,使f(x1)<f(x2)成立,函数f(x)在R上是增函数,应为任意的x1,x2都有这样的关系成立,故①为假命题;对于②,由减函数的定义知,必须有任意x1,x2∈R,x1<x2,使f(x1)>f(x2)成立,即若存在x1,x2∈R,x1<x2,使f(x1)≤f(x2)成立,则函数f(x)在R上不可能是减函数,故②为真命题;对于③,由于x2>0,则x1+x2>x1,结合f(x1)<f(x1+x2)可知函数f(x)在R上不可能是减函数,故③为假命题.所以真命题的个数为1,故选B.3.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意两个不相等的实数a,b都有(a-b)[f(a)-f(b)]>0,则不等式f(3x-1)>f(x+5)的解集为()A.(-∞,3) B.(-∞,2)C.(3,+∞) D.(2,+∞)答案C解析不妨设a>b,因为(a-b)[f(a)-f(b)]>0,所以f(a)>f(b),所以f(x)是R上的增函数,所以f(3x-1)>f(x+5)⇔3x-1>x+5,解之得x>3,故原不等式的解集为(3,+∞).4.若函数y=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞,2]上单调递减,则实数a的取值范围是()A.-32C.(3,+∞) D.(-∞,-3]答案B解析∵函数y=x2+(2a-1)x+1的图象是开口向上的抛物线,直线x=2a-1又∵函数在区间(-∞,2]上单调递减,故2≤2a-1-2,解得a≤5.(多选)下列函数在区间(0,1)上单调递增的是()A.y=1-2x B.y=-1C.y=x2-2x D.y=-x2+2x答案BD解析显然y=1-2x在(0,1)上单调递减;∵t=1x+1在(0,1)∴y=-1x+1在(0,1)又y=x2-2x=(x-1)2-1的图象关于x=1对称,且图象为开口向上的抛物线,∴y=x2-2x在(0,1)上单调递减;由y=-x2+2x=-(x-1)2+1知,图象关于x=1对称,且图象为开口向下的抛物线,∴y=-x2+2x在(0,1)上单调递增.6.已知函数f(x)是定义在[2,+∞)上的增函数,若f(2a2-5a+4)<f(a2+a+4),则实数a的取值范围是()A.-∞,12∪C.0,12∪答案C解析函数f(x)是定义在[2,+∞)的增函数,若f(2a2-5a+4)<f(a2+a+4),则2≤2a2-5a+4<a2+a+4,解得0<a≤12或2≤a所以实数a的取值范围是0,127.若函数f(x)=(3a-1)x+4a,x<1,-axA.18,13C.18,+∞ D.答案A解析要使f(x)在R上是减函数,需满足:3a-1<0,-a<0,8.函数y=|x2-2x-3|的单调递增区间是.

答案[-1,1]和[3,+∞)解析y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|,作出该函数的图象,如图.由图象可知,其单调递增区间为[-1,1]和[3,+∞).9.若函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则f(-3)与f(-π)的大小关系是.

答案f(-3)>f(-π)解析∵∀x1,x2∈R且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,∴f(x)在R上是增函数,故f(-3)>f(-π).10.函数f(x)=x2+1,x≥答案(-∞,+∞)解析当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2+1单调递增,且f(x)≥1.又在区间(-∞,0)上,f(x)=1-x2单调递增,且f(x)<1,故f(x)在R上为增函数,所以f(x)递增区间是(-∞,+∞).11.用函数单调性的定义证明:f(x)=3xx2+1证明∀x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=3x1=3(x因为x12+1>0,x22+1>0,x2且x1,x2∈(-1,1),x1x2-1<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故函数f(x)在区间(-1,1)上单调递增.二、综合运用12.若函数f(x)=-x2+(a2-3)x-8,x≤A.[-4,-5] B.[5,4]C.[-3,4] D.[5,3]答案B解析函数f(x)=-在R上是增函数,所以需满足下列条件:①y=-x2+(a2-3)x-8在(-∞,1]上单调递增,则a2-32≥1,解得a≥5或a≤②y=ax在(1,+∞)上单调递增,则a>0;③当x=1时,满足-1+a2-3-8≤a,解得-3≤a≤4.综上可得,实数a的取值范围是[5,4].13.函数y=x-5x-a-2在(-1,+∞)上单调递增,则答案(-∞,-3]解析y=x-5x-由题意知a-3<0,a+2≤14.已知函数f(x)=x2+ax+b在区间(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,且f(m+2)<f(2),求实数m的取值范围.解∵f(x)在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,∴-a2=1,∴a如图所示.∵f(m+2)<f(2),f(0)=f(2),∴0<m+2<2,∴-2<m<0,则实数m的取值范围为(-2,0).三、拓展