人教A版高中数学必修一 第一课时　两角差的余弦公式

5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第一课时两角差的余弦公式学习目标1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.【引入】同学们已经知道cos45°=22,cos30°=32,由此我们能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?是不是等于cos45°-cos30°呢?事实上cos15°=6+24≠cos45°-cos30°,那么它们之间到底有何关系?更一般地,cos(α-β)能否用一、两角差的余弦公式探究1如图所示,设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0),以x轴非负半轴为始边作角α,β,α-β,它们的终边分别与单位圆相交于点P1,A1,P.点P1,A1,P的坐标如何表示?AP与A1P1有什么关系?提示A(1,0),P(cos(α-β),sin(α-β)),A1(cosβ,sinβ),P1(cosα,sinα).连接AP,A1P1,根据圆的旋转对称性,容易发现AP=A1P1.探究2利用AP与A1P1的关系及距离公式,你能得到cos(α-β)与单角α,β的三角函数关系吗?提示cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,其中α,β为任意角,简记作C(α-β).

温馨提示(1)公式中的α,β都是任意角,既可以是一个角,也可以是几个角的组合.(2)公式逆用仍然成立.例1(1)cos15°的值是()A.6-2C.6-2(2)化简cosθcos(π+θ)+sinθsin(π+θ)的值为.

答案(1)D(2)-1解析(1)cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=22×32+22×1(2)原式=cos[θ-(θ+π)]=cos(-π)=cosπ=-1.思维升华1.把非特殊角转化为特殊角的差,正用公式直接求解.2.在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的右边形式,然后逆用公式求值.训练1(1)cos(α-35°)cos(α+25°)+sin(α-35°)·sin(α+25°)=.

(2)计算:sin7°cos23°+sin83°cos67°=.

答案(1)12(2)解析(1)原式=cos[(α-35°)-(α+25°)]=cos(-35°-25°)=cos(-60°)=cos60°=12(2)原式=cos83°cos23°+sin83°sin23°=cos(83°-23°)=cos60°=12二、给值求值例2(链接教材P216例2)已知α,β为锐角,且cosα=45,cos(α+β)=-1665,求cosβ解∵0<α,β<π2,∴0<α+β由cos(α+β)=-1665得sin(α+β)=1-cos2(α+又∵cosα=45,∴sinα=3∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-1665×45+6365×思维升华1.已知角的三角函数值,求相关角的余弦值时,要找到这些角之间的联系,通过构造两角差的余弦的形式,利用公式进行计算.2.由于和差角与单角是相对的,因此做题过程中需要灵活地进行拆角或拼角的变换,常见的角的变换有:①β=α+β2-α-β2;②2β=(α+β)-(α-β);③2α=(α+④π2=α+π训练2(1)若sin(π+θ)=-35,θ是第二象限角,sinπ2+φ=-255,φ是第三象限角,则cos(θ(2)若cos(α+β)=45,sin(α-β)=35,且3π2<α+β<2π,π2<α-β<π,则cos2β答案(1)55解析(1)因为sin(π+θ)=-35,得sinθ=3又θ是第二象限角,所以cosθ=-45因为sinπ2+φ=cosφ且φ为第三象限角,所以sinφ=-55所以cos(θ-φ)=cosθcosφ+sinθsinφ=-45×-255+3(2)因为cos(α+β)=45,且3π2<α+所以sin(α+β)=-35因为sin(α-β)=35,且π2<α-所以cos(α-β)=-45所以cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=45×-45+-三、给值求角例3已知sin(π-α)=437,cos(α-β)=0<β<α<π2,求角β的大小解∵sin(π-α)=sinα=437,0<α<∴cosα=1-sin2α=1-又∵0<β<α<π2,∴0<α-β<π又cos(α-β)=1314,∴sin(α-β)=3∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=17×1314+437×33又∵0<β<π2,∴β=π思维升华已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.(3)结合三角函数值及角的范围求角.训练3已知α,β均为锐角,且cosα=255,cosβ=1010,求α-解∵α,β均为锐角,∴sinα=55,sinβ=3∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=255×1010+55×又sinα<sinβ,∴0<α<β<π2∴-π2<α-β故α-β=-π4【课堂达标】1.sin20°cos10°+sin10°sin70°的值是()A.14 B.C.12 D.答案C解析sin20°cos10°+sin10°sin70°=cos70°cos10°+sin70°sin10°=cos60°=122.已知cosα=1213,α∈-π2,0,则cosαA.5213C.17226答案D解析因为α∈-π2,0,所以sinα所以cosα-π4=cosαcosπ4+sinαsinπ4=1213×223.已知sinα+π4=45,且π4<α<3π4,则答案2解析因为sinα+π4=45,且π4所以π2<α+π所以cosα+π4=-1-所以cosα=cosα+π4cosπ4+sinα+π4sinπ4=-35=2104.若cos5xcos(-2x)-sin(-5x)sin2x=0,且x∈0,π2,则x=答案π6或解析依题意,cos5xcos2x+sin5xsin2x=0.则cos(5x-2x)=cos3x=0,∴3x=π2+kπ,则x=π6+kπ3,又x∈0,π2,∴x=π6或x课时精练一、基础巩固1.sin20°cos40°+sin70°sin40°=()A.14 B.C.12 D.答案D解析sin20°cos40°+sin70°sin40°=cos70°cos40°+sin70°sin40°=cos(70°-40°)=cos30°=32,故选2.设α∈0,π2,若sinα=35,则2cosαA.75 B.C.45 D.答案A解析∵sinα=35,α∈0,π2,∴cosα∴2cosα-π4=2cosαcosπ4+sinαsinπ4=cos3.化简-sin(x+y)sin(x-y)-cos(x+y)·cos(x-y)的结果为()A.sin2x B.cos2xC.-cos2x D.-cos2y答案D解析原式=-cos[(x+y)-(x-y)]=-cos2y.4.(多选)满足cosαcosβ=32-sinαsinβ的一组α,β的值是(A.α=11π12,β=3π4 B.α=π2,C.α=π2,β=π6 D.α=π3,答案AB解析由题设,得cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=32将各选项α,β值代入,只有A,B项中cos(α-β)=cosπ6=35.已知α为锐角,β为第三象限角,且cosα=1213,sinβ=-35,则cos(α-β)的值为(A.-6365 B.-C.6365 D.答案A解析∵α为锐角,且cosα=1213∴sinα=1-cos2α∵β为第三象限角,且sinβ=-35∴cosβ=-1-sin2β∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=1213×-45+513×6.已知锐角α,β满足cosα=35,cos(α+β)=-513,则cosβ的值为(A.3365 B.-C.5465 D.-答案A解析因为α,β为锐角,cosα=35,cos(α+β)=-5所以sinα=45,sin(α+β)=12所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)·cosα+sin(α+β)·sinα=-513×35+1213×7.已知sinα+sinβ+sinγ=0和cosα+cosβ+cosγ=0,则cos(α-β)的值是()A.12 B.C.-12 D.-答案C解析由sinα+sinβ=-sinγ,cosα+cosβ=-cosγ,得sin2α+sin2β+2sinαsinβ=sin2γ,①cos2α+cos2β+2cosαcosβ=cos2γ,②由①+②得2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1,∴cos(α-β)=-128.sin162°sin78°-cos18°cos102°=.

答案1解析原式=sin18°sin78°+cos18°cos78°=cos(78°-18°)=cos60°=129.化简:2cos10°-sin20°cos20°=.答案3解析原式=2cos(30°-20°)-sin20°=3cos20°+sin20°-sin20°cos20°=10.若sinαsinβ=1,则cos(α-β)的值是.

答案1解析∵sinαsinβ=1,∴sin∵cos2α+sin2α=1,∴cosα=0.同理cosβ=0.∴cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ=0+1=1.11.如图,在平面直角坐标系中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点.(1)如果A,B两点的纵坐标分别为45,1213,求cosα和sinβ(2)在(1)的条件下,求cos(β-α)的值.解(1)∵OA=1,OB=1,且点A,B的纵坐标分别为45,12∴sinα=45,sinβ=12又∵α为锐角,∴cosα=1-sin2α(2)∵β为钝角,∴由(1)知cosβ=-1-sin2β∴cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=-513×35+1213×4二、综合运用12.已知cosx-π6=-33,则cosx+cosxA.-233C.-1 D.±1答案C解析cosx+cosx-π3=cosx+12cosx+32sinx=32cos=332cosx+13.设α,β都是锐角,且cosα=55,sin(α+β)=35,则cosβ=答案2解析依题意得sinα=1-cos2α因为sin(α+β)=35<sinα且α+β>α所以α+β∈π2,π,所以cos(α+β)=-于是cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-45×55+35×214.已知cos(α-β)=-1213,cos(α+β)=1213,且α-β∈π2,π,α+β∈3π2解由α-β∈π2,π,且cos(α-β)=-得sin(α-β)=513由α+β∈3π2,2π,且cos(α+β)=得sin(α+β)=-513∴cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=1213×-1213+-又∵α+β∈3π2,2π,α-β∈∴2β∈π2∴2β=π,则β=π2三、拓展提高15.《周算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形面积之比为9∶25,则cos(α-β)的值为()A.59 B.C.916 D.答案D解析设大正方形的边长为1.因为小正方形与大正方形面积之比为9∶25,所以小正方形的边长为35所以cosα-sinα=35,sinβ-cosβ=35.因为α+β=π2,所以cosα=sinβ,sinα=cosβ由①×②,得925=cosαsinβ+sinαcosβ-cosαcosβ-sinαs