人教A版高中数学必修一 第一课时　诱导公式二、三、四

5.3诱导公式第一课时诱导公式二、三、四学习目标1.能借助单位圆的对称性,利用定义推导出三角函数的诱导公式二、三、四.2.理解公式的内涵和结构特征.3.能初步运用诱导公式进行三角函数的求值与化简.【引入】对称是一种和谐之美,蝴蝶因两个翅膀的对称性更加美丽,盛开的鲜花因对称性更加迷人,山水相映因对称性让游人流连忘返,等边三角形因对称性而引起人们更多的关注……三角函数与单位圆有着非常密切的联系,而单位圆关于原点、x轴、y轴以及直线y=x都是对称的,这些对称性在三角函数中有何体现呢?这个问题值得我们去探究,去发现.一、诱导公式二、三、四探究1如图,设角α,π+α,-α,π-α的终边与单位圆O的交点分别为P,P1,P2,P3,则P与P1,P与P2,P与P3的坐标有怎样的关系?提示点P与P1的纵坐标、横坐标都互为相反数,关于原点对称;P与P2的横坐标相同,纵坐标互为相反数,关于x轴对称;P与P3的横坐标互为相反数,纵坐标相同,关于y轴对称.探究2根据探究1,你能得出角α,π+α,-α,π-α的三角函数之间的关系吗?提示sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα;sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα;sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.诱导公式公式二sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα公式三sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα公式四sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα温馨提示(1)诱导公式记忆口诀:函数名不变,符号看象限.(2)诱导公式中角α可以是任意角,要注意正切函数中要求α≠kπ+π2,k∈Z角度1给角求值例1(链接教材P189例1)求下列各三角函数值:(1)cos(-480°)+sin210°;(2)sin-8π3·cos23π6解(1)原式=cos480°+sin(180°+30°)=cos(360°+120°)-sin30°=cos120°-12=cos(180°-60°)-=-cos60°-12=-12-(2)原式=sin-4π+4π3·costan6π+π6=sin4π3·cos-π=sinπ+π3·cosπ6·=-sinπ3·cosπ6·tan=-32×32×33思维升华利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)负化正:用公式一或三来转化.(2)大化小:用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)小化锐:用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4)锐求值:得到锐角的三角函数后求值.训练1(1)tan210°+sin300°=()A.-36 B.C.536(2)sin5π6+tan7π4-cos-2π3答案(1)A(2)0解析(1)tan210°+sin300°=tan(180°+30°)+sin(360°-60°)=tan30°+sin(-60°)=tan30°-sin60°=33-32=-(2)原式=sinπ-π6+tan2π-π=sinπ6+tan-π=sinπ6-tanπ4+cosπ3=1角度2给值(式)求值问题例2(链接教材P195T8)已知cosπ6-α=33,求cos5π6解因为cos5π6+=-cosπ6-αsin2α-π6=sin2-=1-cos2π6-α=1-3所以cos5π6+α=-33-23=-迁移(1)若本例中的条件不变,如何求cosα-(2)若本例条件不变,求cos7π6-α-sin2解(1)cosα-13π=cos2π+π6-α=cos(2)cos7π6-α=cosπ+π6-=-cosπ6-α-sin2π6-α=-cosπ=-33-23=-思维升华1.解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.2.可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.训练2已知sinθ-π3=-13,且θ∈0,π2,则答案-2解析cos2π3+=-cosθ-∵θ∈0,π2,∴θ-π3∴cosθ-π3>0,又sinθ则cosθ-π3=1-si∴cos2π3+θ二、利用诱导公式化简例3(链接教材P190例2)化简下列各式:(1)tan(2π-α(2)1+2sin290°cos430°sin250°+cos790°解(1)原式=-tan=-sinα(-sinα)cosαcos(2)原式=1+2sin(360°-70°)cos(360°+70°)=1-2sin70°cos70°-sin70°+cos70°==sin70°-cos70°cos70°-sin70°思维升华三角函数式化简的常用方法(1)利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.(2)切化弦:一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数.(3)注意“1”的代换:1=sin2α+cos2α=tanπ4训练3设f(α)=sin(-α-π)cos(5π-α)tan(2π-α(1)化简f(α);(2)若tan(π-α)=-2,求f(α)的值.解(1)f(α)=sin(-=sinα(-cosα)(-tan(2)因为tan(π-α)=-2,所以tanα=2.所以sinα=2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=15,因为α是第三象限角所以cosα=-55,故f(α)=5【课堂达标】1.cos-20π3的值是(A.12 B.-C.32 D.-答案B解析cos-20π3=cos-6π-=cos2π3=cosπ-π3=-cosπ2.sin4π3·cos5π6·tan-4π3A.-334C.-34 D.答案A解析原式=sinπ+π3·costan-π-π3=-sinπ3·-cosπ6·-tanπ3=-323.化简:cos(5π+α)sin(-3π-α)·tan(π+答案-1解析原式=cos(π+α)-sin(π+α)·tanα4.若cos(75°+α)=13,且α为第三象限角,则sin(α-105°)=.答案2解析sin(α-105°)=sin(α+75°-180°)=-sin(α+75°).因为cos(75°+α)=13,且α为第三象限角所以α+75°为第四象限角,所以sin(α+75°)=-1-cos2(α+75°)=-223课时精练一、基础巩固1.cos2026π-π4=(A.-22 B.C.12 D.答案B解析cos2026π-π4=cos-π4=cos2.sin2(2π-α)+cos(π+α)·cos(π-α)的值是()A.1 B.2C.0 D.2sin2α答案A解析原式=sin2α+(-cosα)·(-cosα)=sin2α+cos2α=1.3.已知tanπ3-α=13,则tan2πA.13 B.-C.233答案B解析因为tan2π3+=-tanπ3-α,又tanπ所以tan2π3+α4.已知sinπ6+α=13,且α∈π3,π,A.13 B.-C.223答案C解析∵sinπ6+α=13,∴π6+α∈π∴cosπ6+α=-1-si∴cos56π-=-cosπ6+α=25.已知a=tan-7π6,b=cos23π4,c=sin-334π,则a,bA.b>a>c B.a>b>cC.b>c>a D.a>c>b答案A解析∵a=tan-76π=-tanπb=cos234π=cosπ4=c=sin-334π=-sinπ∴b>a>c.6.(多选)对于任意α∈R,下列等式中恒成立的是()A.sin(2π-α)=sinαB.cos(-α)=cosαC.cos(π-α)=cos(2π+α)D.cos(π+α)=-cosα答案BD解析sin(2π-α)=sin(-α)=-sinα,A错误.由cos(-α)=cosα,cos(π+α)=-cosα,知B,D正确.又cos(π-α)=-cosα,cos(2π+α)=cosα,知C错误.7.当θ∈(0,π)时,若cos2π3-θ=-513,则sinθA.-1213 B.C.±1213 D.答案B解析因为θ∈(0,π),所以2π3-θ∈-因为cos2π3-θ=-513,知π2<2π所以sin2π3-θ=1-故sinθ+π=sin2π3-θ8.已知α是三角形的一个内角,且cos(π+α)=23,则tan(π-α)的值是.答案5解析∵cos(π+α)=23,∴cosα=-2又α是三角形的一个内角,∴sinα=53因此tan(π-α)=-tanα=-sinαcosα9.计算:cos(-585°)sin495°+sin(-570°)的值等于.答案2-2解析原式=cos(360°+225°)=cos(180°+45°)=-cos45°sin45°-(-sin30°)=-2210.设tan(5π+α)=2,则sin(α-3π)+cos(π-α)答案3解析因为tan(5π+α)=2,所以tanα=2.所以sin(=-sinα-cosα-sinα11.已知sinα-π4=1(1)sinα+(2)cosπ4-α解(1)sinα+3π=-sinα-π4(2)cosπ4-α=cosα-π4=cos2α-π4=1-sin2α二、综合运用12.已知cosπ6+α=cosα+13π6+cos5πA.-23C.35 D.答案B解析cos5π6-=-cosπ6+αcosα+13π=cosπ6+α所以cosα+13π613.已知A=sin(kπ+α)sinα+cos(kπ+α)cos答案±2解析当k=2n,n∈Z时,A=sin(2nπ+=sinαsinα当k=2n+1,n∈Z时,A=sin[(2n+1)π+=sin(π+α)sin14.已知f(α)=sin(π+α(1)化简f(α);(2)若α是第三象限角,且sin(α-π)=15,求f(α)的值(3)若α=-31π3,求f(α)的值解(1)f(α)=-sinαcosα(-tan(2)∵sin(α-π)=-sinα=15,∴sinα=-1又α是第三象限角,∴cosα=-26∴f(α)=26(3)∵-31π3=-6×2π+5π∴f-31π3=-cos5π3=-cosπ3=-三、拓展提高15.已知角α0<α<π2的终边与单位圆交于点P,点P关于x轴的对称点为M,点M关于原点的对称点为N,设角β的终边为射线ON.若sinα=13,则tan答案-2解析由题意可得点P(cosα,sinα),又因为P,M两点关于x轴对称,所以点M(cos(-α),sin(-α)).又因为N,M两点关于原点对称,所以N(cos(π-α),sin(π-α)),由sinα=13,且0<α<π2,得cos