人教A版高中数学必修一 教考衔接-高考考法研析(三)

教考衔接——高考考法研析(三)考法1函数的定义域该考法常考查具体函数和抽象函数的定义域,遵循的常见准则有分式的分母不为零、偶次根式的被开方数非负、零次幂的底数不为零等,多以选择题、填空题的形式出现,难度一般较低.例1(1)(2022·北京卷)函数f(x)=1x+1-x的定义域是(2)(2020·北京卷)函数f(x)=1x+1+lnx的定义域是(说明:“ln”为对数符号,而且自变量大于答案(1)(-∞,0)∪(0,1](2)(0,+∞)解析(1)要使函数f(x)有意义,则x≠0,且1-x≥0,解得x∈(-∞,0)∪(0,1].(2)要使函数有意义,需满足x即x>0且x≠-1.所以函数的定义域为(0,+∞).考法2分段函数该考法以分段函数为背景,常考查函数值的计算、函数性质的应用,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养,涉及的主要方法有观察法、数形结合法、分类讨论法等,多以选择、填空题的形式出现,难度中档偏上.例2(1)(2022·浙江卷)已知函数f(x)=-x2+2,x≤1,x+1x-1,x>1,则ff12=;若当x∈[a,b]时,1(2)(2022·北京卷)设函数f(x)=-ax+1,x<a,(x-2)2,x≥a.若f答案(1)37283+3(2)0(答案不唯一)解析(1)由题意知f12=-122则ff12=f74=74+174-1=作出函数f(x)的图象,如图所示,结合图象,令-x2+2=1,解得x=±1;令x+1x-1=3,解得x=2±3又x>1,所以x=2+3,所以(b-a)max=2+3-(-1)=3+3.(2)当a=0时,函数f(x)=1,x<0,所以a的一个取值可以为0;当a<0时,若x<a,则f(x)=-ax+1,此时函数f(x)不可能存在最小值;当0<a≤2时,若x<a,则f(x)=-ax+1,此时f(x)∈(-a2+1,+∞);若x≥a,则f(x)=(x-2)2∈[0,+∞).若函数f(x)存在最小值,则-a2+1≥0,得0<a≤1;当a>2时,若x<a,则f(x)=-ax+1,此时f(x)∈(-a2+1,+∞);若x≥a,则f(x)=(x-2)2∈[(a-2)2,+∞).若函数f(x)存在最小值,则-a2+1≥(a-2)2,此时不等式无解.综上,0≤a≤1,所以a的最大值为1.考法3函数的图象该考法常以基本函数(或组合函数)为背景,利用函数的单调性、奇偶性及定义域、值域解决两类问题:一是已知函数的解析式判断函数的图象;二是已知函数的图象判断函数的解析式,多以选择题的形式出现,难度中档.例3(1)(2025·天津卷)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=xB.f(x)=xC.f(x)=xD.f(x)=x(2)(2022·天津卷)函数f(x)=|x2-1|答案(1)D(2)D解析(1)由题图可知函数f(x)的定义域为{x|x≠±1},且f(x)为偶函数,易得f(x)=x1-x与f(x)=xx-1由题图可知当x>1时,f(x)>0,易得当x>1时,f(x)=x1-x2<0,f(x)=xx2(2)函数f(x)=|x2-1|x的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,且f-|x2-1|x所以函数f(x)为奇函数,A选项错误;当x<0时,f(x)=|x2-1|当x>1时,f(x)=|x2-1|x=x易知f(x)单调递增,B选项错误.故选D.考法4函数的基本性质该考法常以抽象函数为背景,利用函数的单调性、奇偶性求值或求参数的取值范围,体现了数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养,多以选择、填空题的形式出现,难度中档偏上.例4(1)(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是()A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3](2)(2021·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则()A.f-12=0 B.C.f(2)=0 D.f(4)=0答案(1)D(2)B解析(1)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)=0.又f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示,则函数f(x-1)的大致图象如图(2)所示.当x≤0时,要满足xf(x-1)≥0,则f(x-1)≤0,得-1≤x≤0.当x>0时,要满足xf(x-1)≥0,则f(x-1)≥0,得1≤x≤3.故满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].(2)∵函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1)为奇函数,∴f(2×0+1)=0,即f(1)=0,且f(-2x+1)=-f(2x+1).设-2x+1=t,则2x=1-t,∴f(t)=-f(2-t).①又∵f(x+2)为偶函数,∴f(-x+2)=f(x+2).②结合①②,得f(t)=-f(2-t)=-f(t+2),∴f(-1)=-f(1)=0.故选B.【高考真题精选精练】1.(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)=x3-1x3,则f(x)(A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减答案A解析函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=(-x)3-1(-x)3=-x3+1x所以f(x)是奇函数.又因为y=x3在(0,+∞)单调递增,所以y=-1x3在(0,+∞)所以f(x)在(0,+∞)单调递增.2.(2021·全国乙卷)设函数f(x)=1-x1+x,则下列函数中为奇函数的是A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1答案B解析法一因为f(x)=1-x所以f(x-1)=1-(x-1)1+(x-1)=2-xx,f对于A,F(x)=f(x-1)-1=2-xx-1=2-2xx,定义域关于原点对称,但不满足F(-x)=-F(对于B,G(x)=f(x-1)+1=2-xx+1=2x,定义域关于原点对称,且满足G(-x)=-G(x对于C,f(x+1)-1=-xx+2-1=-x-故不是奇函数;对于D,f(x+1)+1=-xx+2+1=-x+x+2故选B.法二f(x)=1-x1+x=2-(x+1)1+x=21+x-1,为保证函数变换之后为奇函数,需将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,3.(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f92=(A.-94 B.-C.74 D.答案D解析由题知f即f从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x),所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.①又因为f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.②由①②得a从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2].所以f92=f52+2=-f52=f12=-f32=-4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则22∑k=1f(kA.-3 B.-2C.0 D.1答案A解析令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),则f(x+1)=f(x)-f(x-1),故f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1),故f(x+3)=-f(x),故f(x+6)=f(x),故函数f(x)的值每6个为一组重复出现,令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0)⇒f(0)=2,则f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-2,f(4)=f(3)-f(2)=-1,f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=2,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,22∑k=1f(k)=3[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f(1)+f(2)+f(3)+f5.(2024·上海卷)已知f(x)=x3+a,且f(x)是奇函数,则a=.

答案0解析法一因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即(-x)3+a=-(x3+a),得a=0.法二因为f(x)是奇函数,所以f(0)=a=0,经检验,a=0符合题意.6.(2023·上海卷)已知函数f(x)=x2+(3a+1)x+c(1)当a=0时,是否存在c,使得f(x)为奇函数?(2)若函数f(x)的图象过点(1,3),且f(x)的图象与x轴负半轴有两个不同交点,求c的值及a的取值范围.解(1)当a=0时,f(x)=x2+x+cx,定义域为(-∴f(1)=2+c,f(