人教A版高中数学必修一 阶段检测卷　第一章~第三章

阶段检测卷第一章~第三章(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x2=3x},B={-1,1,2,3},则A∪B=()A.{3} B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1,2,3} D.{-1,1,2,3}答案C解析∵A={x|x2=3x}={0,3},又B={-1,1,2,3},∴A∪B={-1,0,1,2,3}.2.已知命题p:若四边形为菱形,则它的四条边相等,则¬p是()A.若四边形为菱形,则它的四条边不相等B.存在一个四边形为菱形,则它的四条边不相等C.若四边形不是菱形,则它的四条边不相等D.存在一个四边形为菱形,则它的四条边相等答案B解析命题p:若四边形为菱形,则它的四条边相等.则¬p:存在一个四边形为菱形,则它的四条边不相等.3.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=f(2x)xA.[0,1] B.[0,1)C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)答案B解析根据题意有0因此g(x)的定义域[0,1).4.“x>2且y>3”是“x+y>5”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要 D.充要条件答案A解析若x>2且y>3⇒x+y>5,但x+y>5⇏x>2且y>3成立(如x=1,y=6).∴“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件.5.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t的函数关系的是()答案C解析此容器从下往上口径先由小变大,再由大变小,故匀速注入液体其高度增加先是越来越慢,再慢慢变快,C图形变化规律体现了这一变化特征.6.已知函数f(x)=2x,x>0,x+1,x<0,且f(a)+A.-3 B.-1C.1 D.3答案A解析由于f(x)=2∴f(1)=2,则f(a)=-f(1)=-2.当a>0时,f(a)=2a=-2,不成立;当a<0时,f(a)=a+1=-2,则a=-3.综上可知,a的取值为-3.7.已知函数f(x)=(2n-1)x-m2+2m+3,其中m∈N,若函数f(x)为幂函数且其在(0,+∞)上是单调递增的,并且在其定义域上是偶函数,则A.2 B.3C.4 D.5答案A解析幂函数f(x)=(2n-1)x-m2+2m+3∴2n-1=1,且-m2+2m+3>0,则n=1,且-1<m<3.又f(x)在定义域上是偶函数,且m∈N,∴-m2+2m+3为偶数,且m=0,1,2.检验知m=1满足题意,从而m+n=2.8.已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则下列结论错误的是()A.f(0)=0 B.f(1)=0C.f(x)是奇函数 D.f(x)是偶函数答案C解析因为函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),令x=y=0,则f(0)=0,故A正确;令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,故B正确;令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),即f(-1)=0,令y=-1,则f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x),即f(x)为偶函数,故C错误,D正确.二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.对于任意实数a,b,c,d,则下列命题正确的是()A.若ac2>bc2,则a>bB.若a>b,c>d,则a+c>b+dC.若a>b,c>d,则ac>bdD.若a>b,则1a>答案AB解析∵ac2>bc2,则ac2c2>bc2c2若a>b,c>d,由不等式同向可加性可得,a+c>b+d,B正确;当令a=2,b=1,c=-1,d=-2,则ac=bd,C错误;令a=-1,b=-2,则1a<1b,D10.我们知道,如果集合A⊆S,那么S的子集A的补集为∁SA={x|x∈S,且x∉A}.类似地,对于集合A,B,我们把集合{x|x∈A,且x∉B}叫作集合A与B的差集,记作A-B.例如,A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8},则有A-B={1,2,3},B-A={6,7,8},下列说法正确的是()A.若A={x|x>2},B={x|x2>4},则B-A={x|x<-2}B.若A-B=⌀,则B⊆AC.若S是高一(1)班全体同学的集合,A是高一(1)班全体女同学的集合,则S-A=∁SAD.若A∩B={2},则2一定是集合A-B的元素答案AC解析对于A:B={x|x2>4}={x|x<-2,或x>2},则B-A={x|x<-2},故A正确;对于B:如A={3,4,5},B={3,4,5,6,7,8},则有A-B=⌀,但B⊈A,所以B错误;对于C:A是高一(1)班全体女同学的集合,∁SA是高一(1)班全体男同学的集合,S-A是高一(1)班全体男同学的集合,所以C正确;对于D:若A∩B={2},则2∈A且2∈B,所以2∉A-B,故D错误.11.函数f(x)满足条件:①对定义域内任意不相等的实数a,b恒有(a-b)[f(a)-f(b)]>0;②对定义域内任意两个实数x1,x2都有fx1+x22≥f(x1)+f(xA.f(x)=2x-1B.f(x)=4C.f(x)=-x2+4x-3,x<1D.f(x)=x3,x>0答案ABC解析由G函数的定义,G函数是增函数且图象是上凸的曲线或一条直线,函数f(x)=2x-1是增函数,且fx1+x22=f(x1)+f(x2函数f(x)=4x是增函数,且函数的图象是上凸的,所以函数为G函数,B正确函数f(x)=-x2+4x-3,x<1是增函数,且函数的图象是上凸的,所以函数为G函数,C正确;对于D,函数f(x)=x3,x>0是增函数,但是函数的图象是下凸的,所以函数不是G函数.三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)12.已知函数g(x)=1-2x,且f(g(x))=1-x21+x2,则答案1解析由g(x)=1-2x,知g(0)=1-0=1.故f(1)=f(g(0))=1-01+013.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=cx,x<A,cA,x≥A(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A答案60;16解析由函数解析式可以看出,组装第A件产品所需时间为cA=15,故组装第4件产品所需时间为c4=30,解得c=60,将c=60代入cA=15,14.设函数f(x)=x(1)若∃x∈R,使得f(1+x)=f(1-x)成立,则实数a的取值范围是;

(2)若函数f(x)为R上的单调函数,则实数a的取值范围是.

答案(1)(1,+∞)(2)(-∞,0]∪{1}解析作函数f(x)=x,x(1)当x<a时,f(x)=-x2+2x,其图象关于直线x=1对称,若∃x∈R,使得f(1+x)=f(1-x)成立.由图象知a>1,故a的取值范围为(1,+∞).(2)若函数f(x)在R上是单调函数,则a≤1且-a2+2a≤a,解之得a≤1且a≤0或a≥1,所以a的取值范围为(-∞,0]∪{1}.四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)关于x的不等式x-ax+1<0的解集为P,不等式|x-1|≤(1)若a=3,求P;(2)若Q⊆P,求正数a的取值范围.解(1)当a=3时,由x-3得(x-3)(x+1)<0,解得-1<x<3.因此P={x|-1<x<3}.(2)由|x-1|≤1,得0≤x≤2.∴Q={x|0≤x≤2},由a>0,得P={x|-1<x<a},又Q⊆P,所以a>2.故正实数a的取值范围为(2,+∞).16.(15分)已知“∀x∈R,x2-4x-m>0”为假命题.(1)求实数m的取值的集合A;(2)在(1)的条件下,设集合B={m|-1<m-a≤1},若x∈B是x∈A的充分不必要条件,求实数a的取值范围.解(1)∀x∈R,x2-4x-m>0为假命题,∴∃x∈R,x2-4x-m≤0为真命题.则∃x∈R,m≥x2-4x为真命题.又x2-4x=(x-2)2-4≥-4,所以m≥-4,故A={m|m≥-4}.(2)因为x∈B是x∈A的充分不必要条件,所以B⫋A,又B={m|-1<m-a≤1},所以B={m|a-1<m≤a+1}.所以a-1≥-4,解得a≥-3,故实数a的取值范围是[-3,+∞).17.(15分)已知点A2,43在函数f(x)=kxx2-1((1)求函数f(x)的解析式并用定义法证明f(x)在区间(0,1)上的单调性;(2)判断函数f(x)的奇偶性,并求函数f(x)在区间-12解(1)f(x)的定义域为{x|x≠±1}.因为点A2,43在函数f(x)所以f(2)=2k3=43,f(x)=2xx2-1∀x1,x2∈(0,1),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=2x1=2=2(x因为∀x1,x2∈(0,1),且x1<x2,则x1x2+1>0,x2-x1>0,又x12-1<0,所以(x12-1)(所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).所以函数f(x)在(0,1)上单调递减.(2)易知f(x)的定义域{x|x≠±1},因为∀x∈{x|x≠±1},都有-x∈{x|x≠±1}.且f(-x)=-2x(-x)2-1=则函数f(x)在定义域内是奇函数,由(1)得,函数f(x)在(0,1)上单调递减,所以函数f(x)在(-1,0)上单调递减,故函数f(x)在区间-12∴f(x)max=f-12=43,f(x)min=f-故函数f(x)在-118.(17分)某地2022年引进并种植了一种新型水果,据了解,该水果每千克的售价为25元,年销售量为8万千克.(1)经过市场调查分析,价格每提高1元,销售量将相应减少0.2万千克,若每千克定价为t元(t≥25),求每年的销售总收入f(t)的解析式;(2)在(1)条件下,要使提价后每年销售的总收入不低于原销售收入,该水果每千克定价最高应为多少元?(3)该地为提高年销售量,决定2025年末对该水果品质进行改良,改良后将定价提高到每千克x元,拟投入16x2+15x-50万元作为改良费用.请预测改良后,当该水果2026年的销售量a至少应达到多少万千克,才可能使2026年的销售收入不低于改良前的年销售收入与改良费用之和?解(1)依题意,每千克新型水果定价为t元(t≥25),则销售量为8-(t-25)×0.2=13-0.2t(万千克).又t≥25且13-0.2t>0,即25≤t<65.所以,每年的销售总收入f(t)=(13-0.2t)t=-0.2t2+13t(25≤t<65).(2)依题意得-0.2t2+13t≥25×8,且t∈[25,65),整理得t2-65t+1000≤0,解得25≤t≤40.所以该水果每千克定价最多为40元.(3)依题意,当x≥25时,不等式ax≥25×8+16x2+15x-50,所以a≥150x+16因为150x+16x+15≥2150当且仅当150x=16x,即x=30时,∴150x+16x+15的最小值为10.2,则则销售量至少应达到10.2万千克才可能符合要求,此时水果的单价为30元.19.(17分)对于函数y=f(x),x∈I,若存在x0∈I,使得f(x0)=x0,则称x0为函数y=f(x)的“不动点”;若存在x0∈I,使得f(f(x0))=x0,则称x0为函数y=f(x)的“稳定点”.记函数y=f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B,即A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}.(1)设函数f(x)=2x+1,求A和B;(2)请探究集合A和B的关系,并证明你的结论.(3)若f(x)=ax2+1(a∈R,x∈R),且A=B≠⌀,求实数a的取值范围.解(1)令f(x)=2x+1=x,得x=-1,∴A={-1}.据f(f(x))=2f(x)+1=4x+3=x,得x=-1,所以B={-1}.(2)集合A和B的关系为A⊆B,证明如下:当A=⌀时,A⊆B显然成立;当A≠⌀时,设t∈A,则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,∴t∈B,故A⊆B.(3)∵A≠⌀,∴ax2+1=x有实数根,a=0或a