人教A版高中数学必修一题库 第四章　4.4.2　对数函数的图象和性质(一)

4.4.2对数函数的图象和性质(一)学习目标1.初步掌握对数函数的图象和性质.(重点)2.会类比指数函数研究对数函数的性质.(重点)3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.(难点)导语同学们，还记得我们是如何研究指数函数的吗？实际上，研究对数函数的思路和研究指数函数的思路是一致的，我们可以用类比的方法来研究对数函数.请同学们看下面的问题1.一、对数函数的图象和性质问题1请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数y=log2x和y=log12x…0.250.512481632…y=log2x……y=log……提示(1)-2-1012345210-1-2-3-4-5(2)描点、连线.问题2为了更好地研究对数函数的性质，我们再选取底数a=3，4，1提示知识梳理对数函数的图象和性质y=logax(a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，+∞)值域R单调性在(0，+∞)上是增函数在(0，+∞)上是减函数最值无最大、最小值奇偶性非奇非偶函数共点性图象过定点(1，0)，即x=1时，y=0函数值特点当x∈(0，1)时，y∈(-∞，0)；当x∈[1，+∞)时，y∈[0，+∞)当x∈(0，1)时，y∈(0，+∞)；当x∈[1，+∞)时，y∈(-∞，0]对称性函数y=logax与y=log1ax的图象关于注意点：(1)函数图象只出现在y轴右侧.(2)对任意底数a，当x=1时，y=0，故过定点(1，0).(3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴.(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴.(5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.例1(1)如图，若C1，C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象，则()A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1答案B解析作直线y=1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0<b<a<1.(2)若函数y=loga(x+b)+c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b=，c=.

答案-22解析由题意，得2=loga(3+b)+c.又当a>0，且a≠1时，loga1=0恒成立，∴c=2，3+b=1，∴b=-2，c=2.(3)已知f(x)=loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(-5)=1，试画出函数f(x)的图象.解因为f(-5)=1，所以loga5=1，即a=5，故f(x)=log5|x|=lo所以函数f(x)=log5|x|的图象如图所示.延伸探究1在例1(3)中，若条件不变，试画出函数g(x)=loga|x-1|的图象.解因为f(x)=log5|x|，所以g(x)=log5|x-1|，如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的.延伸探究2在例1(3)中，若条件不变，试画出函数h(x)=|logax|的图象，并写出其值域和单调区间.解因为a=5，所以h(x)=|log5x|.h(x)的图象如图中实线部分所示.由图象知，其值域为[0，+∞)，单调递减区间是(0，1]，单调递增区间是(1，+∞).反思感悟(1)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1，0)，即当x=1时，y=0，令其真数等于1，可得图象过定点的坐标.(2)对数型函数图象的变换方法①作y=f(|x|)的图象时，保留y=f(x)(x>0)的图象不变，x<0时y=f(|x|)的图象与y=f(x)(x>0)的图象关于y轴对称.②作y=|f(x)|的图象时，保留y=f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可.③有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律.④y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称，y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称，y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称.二、利用单调性比较对数值的大小例2(课本例3)比较下列各题中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1).解(1)log23.4和log28.5可看作函数y=log2x的两个函数值.因为底数2>1，对数函数y=log2x是增函数，且3.4<8.5，所以log23.4<log28.5.(2)log0.31.8和log0.32.7可看作函数y=log0.3x的两个函数值.因为底数0.3<1，对数函数y=log0.3x是减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7.(3)loga5.1和loga5.9可看作函数y=logax的两个函数值.对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论.当a>1时，因为函数y=logax是增函数，且5.1<5.9，所以loga5.1<loga5.9；当0<a<1时，因为函数y=logax是减函数，且5.1<5.9，所以loga5.1>loga5.9.例2比较下列各组中两个值的大小：(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)logaπ，loga3.14(a>0，且a≠1)；(4)log50.4，log60.4.解(1)因为y=log3x在(0，+∞)上单调递增，1.9<2，所以log31.9<log32.(2)因为log23>log21=0，log0.32<log0.31=0，所以log23>log0.32.(3)当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上单调递增，又π>3.14，则有logaπ>loga3.14；当0<a<1时，函数y=logax在(0，+∞)上单调递减，又π>3.14，则有logaπ<loga3.14.综上所述，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0<a<1时，logaπ<loga3.14.(4)在同一直角坐标系中，作出y=log5x，y=log6x的图象，再作出直线x=0.4(图略)，观察图象可得log50.4<log60.4.反思感悟比较对数值大小时常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.(3)底数和真数都不同，找中间量.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.跟踪训练比较大小：(1)log23，log32，log46；(2)log3π，log23，log32解(1)∵y=log4x在(0，+∞)上单调递增，∴log23=log49>log46>1，又∵log32<1，∴log23>log46>log32.(2)∵log23=12log又1<log23<2，∴12<log23又log32=12log32<12∴log3π>log23>log32.三、利用单调性解对数不等式例3解下列关于x的不等式：(1)log17x>log17(2)loga(2x-5)>loga(x-1)；(3)logx12解(1)由题意可得x>0,4-x>0,所以原不等式的解集为{x|0<x<2}.(2)当a>1时，原不等式等价于2解得x>4.当0<a<1时，原不等式等价于2解得52<x综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；当0<a<1时，原不等式的解集为x5(3)当x>1时，logx12>logxx，所以x<1当0<x<1时，logx12>logxx，所以12<综上，原不等式的解集为x1延伸探究3将例3(2)的不等式改为：已知loga(2a+1)<loga(3a)<0，求实数a的取值范围.解由题意可知a>0,a≠1,2a+1>0,即当a>1时，∵loga(2a+1)<loga(3a)<0=loga1，∴2a+1<3a<1，此时无解；当0<a<1时，∵loga(2a+1)<loga(3a)<0=loga1，∴2a+1>3a>1，解得13<a<1因此，实数a的取值范围为13反思感悟对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如logax>logab的不等式，借助y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论.(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab)，再借助y=logax的单调性求解.(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.1.知识清单：(1)对数函数的图象及性质.(2)利用对数函数的图象及性质比较大小.(3)利用单调性解对数不等式.2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法.3.常见误区：作对数函数图象时易忽视底数a>1与0<a<1两种情况.1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=ln(x+1)，则函数f(x)的图象为()答案D解析由f(x)是R上的奇函数，得函数图象关于原点对称，排除A，B.又当x>0时f(x)=ln(x+1)，排除C.2.若a=20.2，b=log43.2，c=log20.5，则()A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.b>c>a答案A解析∵a=20.2>1>b=log43.2>0>c=-1，∴a>b>c.3.当a>1时，在同一平面直角坐标系中，函数y=a-x与y=logax的图象为()答案C解析∵a>1，∴0<1a<1∴y=a-x是减函数，y=logax是增函数.4.不等式log12(2x+3)<log12(5答案6解析由题意可得2x+3>0,5x-6>0,课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分1.若对数函数y=log(a+1)x(x>0)是增函数，则实数a的取值范围是()A.(-1，0) B.(0，+∞)C.(-∞，-1) D.(0，1)答案B解析因为函数y=log(a+1)x在(0，+∞)上是增函数，所以a+1>1，则a>0.2.若lg(2x-4)≤1，则x的取值范围是()A.(-∞，7] B.(2，7]C.[7，+∞) D.(2，+∞)答案B解析由题意得0<2x-4≤10，即2<x≤7.3.(多选)已知a>0，b>0，且ab=1，a≠1，则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx在同一坐标系中的图象可能是()答案AB解析∵g(x)=-logbx=log1bx=loga∴f(x)和g(x)的单调性相同，结合选项可知A，B正确.4.函数y=logax，y=logbx，y=logcx，y=logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是()A.1<d<c<a<b B.c<d<1<a<bC.c<d<1<b<a D.d<c<1<a<b答案B解析令函数y=logax，y=logbx，y=logcx，y=logdx取同样的函数值1，得到的自变量的值恰好分别是a，b，c，d.直线y=1从左到右依次与上述四个函数的图象交于A(c，1)，B(d，1)，C(a，1)，D(b，1)(图略)，从而得出c<d<a<b.又a>1，b>1，d<1，c<1，∴c<d<1<a<b.5.如图为函数y=m+lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是()A.m<0，n>1B.m>0，n>1C.m>0，0<n<1D.m<0，0<n<1答案D解析根据图象可知，函数y=m+lognx(m，n是常数)是减函数，所以0<n<1.又当x=1时，y<0，即y=m+logn1=m<0.6.若a=20250.2，b=log0.22025，c=0.22025，则()A.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b D.c>a>b答案C解析b=log0.22025<log0.21=0，a=20250.2>20250=1，0<c=0.22025<0.20=1，∴a>c>b.7.函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是()答案B解析由f(x)的定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞)，且f(-x)=lg(|-x|-1)=lg(|x|-1)=f(x)，得f(x)是偶函数，由此知C，D错误；又当x>1时，f(x)=lg(x-1)在(1，+∞)上单调递增，所以B正确.8.(5分)已知函数y=loga(x-1)+2x(a>0且a≠1)恒过定点A，则点A的坐标为.

答案(2，4)解析令x-1=1得x=2，此时y=4，即函数y=loga(x-1)+2x(a>0且a≠1)恒过定点A(2，4).9.(5分)不等式log12(x+3)<log12答案1解析由题意可得x解得12<x10.(10分)比较下列各组中两个值的大小：(1)ln0.3，ln2；(2分)(2)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)；(2分)(3)log30.2，log40.2；(3分)(4)log3π，logπ3.(3分)解(1)因为函数y=lnx在(0，+∞)上是增函数，又0.3<2，所以ln0.3<ln2.(2)当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以loga3.1<loga5.2；当0<a<1时，函数y=logax在(0，+∞)上是减函数，又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2.综上所述，当a>1时，loga3.1<loga5.2；当0<a<1时，loga3.1>loga5.2.(3)因为0>log0.23>log0.24，所以1即log30.2<log40.2.(4)因为函数y=log3x在(0，+∞)上是增函数，又π>3，所以log3π>log33=1.同理，1=logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.11.(多选)已知函数f(x)=logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(4，2)，则下列说法中正确的是()A.函数f(x)是增函数B.函数f(x)是偶函数C.若x>1，则f(x)>0D.若f(x)<1，则x∈(2，+∞)答案AC解析由题意得f(4)=2，即loga4=2，∴a2=4，∵a>0且a≠1，∴a=2，∴f(x)=log2x，∴f(x)在(0，+∞)上是增函数，但不是偶函数，故A正确，B错误；当x>1时，f(x)>0，故C正确；由log2x<1，得x<2，又∵x>0，∴x∈(0，2)，故D错误.12.若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是增函数，则g(x)=loga(x+k)的图象是()答案B解析∵函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0且a≠1)在R上是奇函数，∴f(0)=0，∴k=2，经检验k=2满足题意，又函数f(x)为增函数，∴a>1，∴g(x)=loga(x+2)，定义域为{x|