人教版八年级数学 秋季培优讲义 第09讲-等腰三角形-讲义

第二讲第二讲等腰三角形等腰三角形

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板块一等腰三角形的定义、性质及判定板块一等腰三角形的定义、性质及判定 等腰三角形等腰三角形判定性质定义判定性质定义课堂笔记课堂笔记定义：有两条边_________的三角形称为等腰三角形．相等的两条边叫做_________，另外一边叫做_________，腰和底的夹角叫做_________，两腰的夹角叫做__________．性质:（1）等腰三角形的底角相等，可简写成“等边对等角”．（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合（即“三线合一”）．注：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是__________．判定:如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，可简写成“等角对等边”．点点精讲点点精讲题型一等腰三角形的性质——边题型一等腰三角形的性质——边例1.（1）若等腰三角形的两条边长分别是7和5，则第三条边的长是（）

A．5 B．7 C．7或5 D．无法确定

（2）若等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为9cm，则它的周长为（）

A．13cm B．17cm C．22cm D．17cm或22cm

（3）在△ABC中，，，若△ABC的周长为24，则x的取值范围是（）

A． B．

C． D．

（4）在等腰△ABC中，，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）

A．7 B．11 C． 7或11 D．7或10

题型二等腰三角形的性质——角题型二等腰三角形的性质——角例2.（1）若等腰三角形一个底角为70°，则它的顶角的度数为___________．

（2）若等腰三角形一个角为70°，则它的另外两个角为______________．

（3）若等腰三角形一个角为110°，则它的另外两个角为_____________．

（4）等腰三角形两个内角之比为，则三个角的度数为_____________．

题型三等腰三角形的性质——轴对称性例3.（1）已知△ABC是等腰三角形，且，则的外角的度数是（）题型三等腰三角形的性质——轴对称性A．110° B．140° C．110°或140° D．以上都不对

（2）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A．顶角的一半 B．底角的一半 C．90°减去顶角的一半 D．90°减去底角的一半

（3）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则该等腰三角形的顶角为（）

A．45° B．135° C．45°或135° D．120°

ABCD例4.（1）如图，在△ABC中，，AD是∠BAC的角平分线，点E、F是AD上的两点，若cm，cm，则图中阴影部分的面积为________．

ABCD（2）若等腰直角三角形的底边长为10，则它的面积为_________．

（3）如图，中，，D、E在BC边上，且．求证：．

ABCDE

（4）如图，在等腰△ABC中，，D为BC的中点，则点D到AB、AC的距离相等．请AEFABCDEAEFDBC说明理由．

题型四题型四等腰三角形的判定例5.（1）不满足△ABC是等腰三角形的条件是（）

A． B．

C． D．

（2）如图，在△ABC中，，，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平ADECB分线，则图中的等腰三角形有_______个．ADECB（3）判断：①有两个内角分别是和的三角形是等腰三角形.（）

②平行于等腰三角形一边的直线将原三角形一分为二，得到的新三角形一定仍是等腰三角形.（）例ABCDE图1ABCD图26.（1）如图，，若，则是______三角形，______．

（2）如图，，当时，是等腰三角形．

ABCDE图1ABCD图2ABCDEABCABCABC例7.（1）如图，BE、CD是中两条高，且．求证：．

（请用至少两种方法证明）．

（2）ABCDEABCABCABC个小三角形，并且每个小三角形都是等腰三角形．

题型五等腰三角形的性质与判定综合例8.（1）如图1，在△ABC中，，BD是的角平分线，且，，则∠DEC的度数为__________．

题型五等腰三角形的性质与判定综合（2）如图2，是等腰直角三角形，BD平分，于点E，，ABDE图1CDEAB图2C则的周长为________cm．

ABDE图1CDEAB图2C例ADFEBC9.如图，在△ABC中，，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且，．

（1）求证：△DEF是等腰三角形；

（2）当时，求∠DEF的度数．

ADFEBC

板块二等腰三角形中的角度计算板块二等腰三角形中的角度计算课堂笔记课堂笔记求角的度数：

（1）三角形内角和定理：三角形内角和为__________．

（2）三角形外角推论：外角等于__________的两个内角之和．

（3）等腰三角形两底角__________．

（4）等腰三角形顶角__________底角．（5）等腰三角形底角．

点点精讲点点精讲题题型一方程思想ABCDEFABCD例10.如图，在△ABC中，，点D在AC上，且，求△ABC各个内角的度数．

例11.如图，，，，求∠A的度数．

例12.如图，△ABC中，，点D在BC上，，在AC上取点E，使，求∠EDC的度数．

ABDCE

ABCDEFABCDABDCE例13.如图，在△ABC中，，，点D在BC上，且，点E在BC延长线上，且．

（1）试求∠DAE的度数；

（2）如果把题中“”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？

（3）若，其它条件与（2）相同，则∠DAE的度数是多少？ABDCE

ABDCE

板块三等腰三角形中的三线合一

板块三等腰三角形中的三线合一课堂笔记课堂笔记三线合一：等腰三角形中的顶角角分线、______________、底边上的高相互重合．

注：其中：等腰、高、中线、角平分线四个条件知道两个，就可以得出其他两个，即“知二得二”．有时，在证明题中，还需要借助垂直平分线的性质判定，推出等腰．

题型一知二推二题型一知二推二点点精讲ADBC例14.（1）如图，在△ABC中，AD⊥BC交边BC于点D，且．

求证：且AD平分∠BAC．

（2）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且AD⊥BC．

求证：且．

（3）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且．

求证：且AD⊥BC．

ADBCABCPADBCEADBC图1图2图3例15.（1）如图1，已知，CD⊥AB，E是BC延长线上一点，，

则___________．

（2）如图2，△ABC的面积为，AP垂直∠B的平分线BP于P，

则△PBC的面积为___________．

（3）如图3，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是____________（写出所有的正确答案序号）．

ABCPADBCEADBC图1图2图3附加题

附加题cs0108s0003在△ABC中，，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC各内角的度数．

cs0108s0003cs0108s0004BEFAC已知：在△ABC中，，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F．

（1）求的度数．

（2）若△AEF的周长为20，求BC的长．

cs0108s0004BEFACcs0108s0005ABCD如图，△ABC中，，于D．求证：．

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