人教版八年级数学 秋季培优讲义 第10讲-轴对称变换-答案与解析

轴对称变换第二讲

轴对称变换第二讲OPABNMABCEFD154°例１．（1）将一矩形纸条按如图所示折叠，则∠1的度数为（）

A． B． C． D．

（2）如图，把矩形纸片沿直线AC折叠，点D落在点F处，AF交BC于点E，若，，求EF的长.

（3）如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点，，连接交OA于M，交OB于N，，，则△PMN的周长为__________．

（★）答案：（1）A；（2）2；（3）15．OPABNMABCEFD154°ABCDE例2．（1）如图，△ABC中，，，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于D、E．若，则__________．

（2）如图，D为△ABC内一点，CD平分，BD⊥CD，，若，，则BD的长为（）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

BADC

（3）如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上一动点，当最小时，______________．

（★）答案：（1）10；（2）A；（3）．

ABCDEBADCABDCABDCPMN已知：如图，在△ABC中，，，BD平分∠ABC．求证：．

（★★）答案：过点D作于点E，则△ABD≌△EBD，△ABDCABDCPMNABCDE如图，在△ABC中，，，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且．求证：BD是∠ABC的角平分线．

（★★）答案：延长AE交BC的延长线于点F，证明△ACF≌△BCD，则．

由可得，故BD是∠ABC的角平分线．

ABCDE图2ACBDEF图1ACBD已知△ABC中，AD平分，交BC于点D，且．

问题1：如图1，若，，，则m的值为_________，

n的值为__________．

问题2：如图2，若∠ACB为钝角，且，．

（1）求证：；

（2）若点E在AD上，且，延长CE交AB于点F，求∠BFC的度数．

（★★）答案：问题1：，．

问题2：（1）在AB上截取，连接，则△ADG≌△ADC，

利用全等三角形的对应边相等及三角形三边关系可得证．

（2）．

图2ACBDEF图1ACBDCBAHCBAH（1）如图：已知于H，，且，求的度数．

（2）如图：已知于H，，求证：．

（★★）答案：（1）．

提示：在BC上取点D，使得，连AD．

则，．

（2）延长CB到点D，使得，∴，∵AH⊥BC，∴，

∴CBAHCBAHABCD如图所示，在凸四边形ABCD中，，．

求证：．

（★★）答案：作点C关于BD的对称点E，则点E在△ABD的内部．延长BE交AD于点F，

则．

ABCDABCDE如图，在各边都相等的五边形ABCDE中，，求的度数．

（★★）答案：．

提示：作点A关于BE的对称点F，连接BF、DF、EF．可证明．

ABCDEBADC如图，在△ABC中，D是三角形内一点，满足，且，，求证：．

（★★）答案：以AD为边向上作等边三角形ADE，可证△EAB≌△DAC，△BEA≌△BED．

BADCABPQCMABPQC图1ABC在等边△ABC中，

（1）如图1，P、Q是BC边上两点，，，求的度数；

（2）点P、Q是BC边上的两个动点（不与点B、C重合），点P在点Q的左侧，且，点Q关于直线AC的对称点为M，连结AM、PM．

①依题意将图2补全；

②小明通过观察、实验，提出猜想：在点P、Q运动的过程中，始终有．小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：要证，只需证△APM是等边三角形．

想法2：在BA上取一点N，使得，要证，只需证△ANP≌△PCM．

想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转，得到线段BK，要证，只需证，．

……

请你参考上面的想法，帮助小明证明．（一种方法即可）

（★★）答案：（1）80°；（2）①如图

②连结CM，易证△AQC≌△AMC，

∴△ABP≌△ACM，∴，．

ABPQCMABPQC图1ABCABCDl如图，在△ABC中，，过点A作平行于BC的直线l，点D是l上不同于点A的任意一点，求证：．

（★★）答案：作点C关于l的对称点E，连结DE，AE，

则，，且B、A、E

三点共线，根据三边关系易证：

，∴．

ABCDl附加题附加题ABCD如图，△ABC中，，，BD平分∠ABC，求证：．

（★★）答案：在BC上截取，，连接DE、DF．

可证△ABD≌△EBD，通过角度计算可得．故．

ABCDCBAD已知：△ABC中，，∠CBA的角平分线BD与∠CAB的角平分线AD相交于点D，且．

求证：．

（★★）答案：作，交BD的延长线于点E，可证△CAB≌△EBA，

故．设，则通过角度计算可得

，即△ADE为等边三角形，．

CBADACBP已知，如图，△ABC中，，，P是形内一点，若，．求的度数．

（★★）答案：．

提示：作的角平分线，交CP的延长线于点O，连接BO．

由对称性及角度计算可得，，

可证△ABO≌△PBO，故，．

ACBP进门考答案

1．B 2．A 3．D 4．C5．过点D作于点E，则△ABD≌△EBD，△CDE为等腰直角三角形．6．．

提示：在BC上取点