2026年人教版高中数学必修第一册第9章数列练习题及答案

2026年人教版高中数学必修第一册第9章数列练习题及答案第1页共1页2026年人教版高中数学必修第一册第9章数列练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，且对于任意正整数n，都有S_n=3a_n-4，则数列{a_n}的通项公式为A.a_n=3^nB.a_n=23^(n-1)C.a_n=32^(n-1)D.a_n=23^n参考答案：C2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q为A.3B.4C.2D.-3参考答案：A3.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n=c_(n-1)+n(n≥2)，则c_5的值为A.15B.10C.8D.12参考答案：A4.若数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n+1，则d_3的值为A.7B.9C.11D.13参考答案：C5.已知等差数列{e_n}的公差d=2，e_3=7，则e_1的值为A.1B.3C.5D.9参考答案：B6.在等比数列{f_n}中，若f_1=1，f_3=8，则f_5的值为A.16B.24C.32D.64参考答案：D7.已知数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-1，则数列{g_n}是A.等差数列B.等比数列C.既非等差数列也非等比数列D.无法确定参考答案：B8.若数列{h_n}满足h_n=n(n+1)/2，则h_4+h_5的值为A.20B.25C.30D.35参考答案：C9.已知等差数列{i_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=70，则该数列的公差d为A.3B.4C.5D.6参考答案：C10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_4=32，则该数列的前6项和S_6为A.62B.64C.126D.128参考答案：C二、填空题（共10小题，每题2分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，且a_n=3S_n-2，则a_5=______。参考答案：2562.在等差数列{b_n}中，若b_3=7，b_7=15，则该数列的通项公式b_n=______。参考答案：b_n=2n+13.已知数列{c_n}的通项公式为c_n=2^n-1，则该数列的前n项和S_n=______。参考答案：2^n-n-14.若数列{d_n}满足d_1=1，d_n=d_{n-1}+n(n≥2)，则d_6=______。参考答案：215.在等比数列{e_n}中，若e_2=6，e_4=54，则该数列的公比q=______。参考答案：36.已知数列{f_n}的前n项和为T_n，且f_n=T_n-T_{n-1}(n≥2)，若f_1=1，则f_4=______。参考答案：77.若数列{g_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则g_3=______。参考答案：128.在等差数列{h_n}中，若h_1+h_9=20，则h_5=______。参考答案：109.已知数列{i_n}的通项公式为i_n=n(n+1)，则该数列的前5项和S_5=______。参考答案：5510.若数列{j_n}满足j_1=2，j_n=j_{n-1}+2n(n≥2)，则j_4=______。参考答案：20三、判断题（共10小题，每题2分）1.等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2。参考答案：√2.如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就是等比数列。参考答案：×3.数列{an}是等差数列，若a3=7，a6=15，则该数列的公差d=4。参考答案：√4.等比数列的前n项和Sn=1-(1-q^n)/(1-q)，其中q为公比，且q≠1。参考答案：√5.数列{an}的前n项和为Sn=2n^2-3n，则该数列是等差数列。参考答案：√6.在等差数列{an}中，若a1+a4=10，则a2+a3=10。参考答案：√7.数列{an}是等比数列，若a2=6，a4=54，则该数列的公比q=3。参考答案：√8.等差数列的任意两项之差等于公差。参考答案：√9.等比数列的任意两项之比等于公比。参考答案：√10.如果数列{an}的前n项和Sn=3^n-1，则该数列是等比数列。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述数列的定义及其与函数的关系。参考答案：数列是按照一定次序排列的一列数，可以看作是定义域为正整数集N（或其子集）的函数。数列中的每一个数称为数列的项，第n项通常用a_n表示。数列与函数的关系在于，数列可以看作是函数f(n)在正整数集上的取值序列，因此可以利用函数的性质来研究数列。2.写出等差数列的前n项和公式，并说明其应用场景。参考答案：等差数列的前n项和公式为S_n=n(a_1+a_n)/2，或S_n=na_1+n(n-1)d/2，其中a_1是首项，d是公差，n是项数。应用场景包括计算等差数列的前n项和、解决与等差数列相关的实际问题，如计算等差数列的平均值、求等差数列的第n项等。3.列举等比数列的三个主要性质。参考答案：等比数列的三个主要性质包括：①任意两项的比值相等，即a_n/a_(n-1)=q（q为公比）；②第n项a_n可以表示为a_1q^(n-1)；③前n项和S_n可以表示为S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)（q≠1）。4.解释数列的通项公式与递推公式的区别。参考答案：数列的通项公式是表示数列中第n项a_n的公式，通常用a_n=f(n)表示，其中f(n)是一个关于n的函数。递推公式是表示数列中任意一项与它前面一项之间关系的公式，通常用a_n=a_(n-1)+f(n)或a_n=f(a_(n-1))表示。通项公式直接给出数列中每一项的值，而递推公式需要从初始项开始逐步计算每一项的值。5.指出数列{a_n}单调递增的定义，并举例说明。参考答案：数列{a_n}单调递增的定义是对于任意正整数n，都有a_na_(n+1)。例如，数列{a_n}={n}是单调递增的，因为对于任意正整数n，都有nn+1。6.说明如何判断一个数列是否为等差数列。参考答案：判断一个数列是否为等差数列的方法是计算相邻两项的差，如果这个差是一个常数，那么这个数列就是等差数列。例如，数列{a_n}={2,4,6,8,...}是等差数列，因为相邻两项的差都是2。7.简述数列极限的概念及其意义。参考答案：数列极限的概念是当数列的项数无限增大时，数列的项无限接近某个常数L，那么这个常数L就是数列的极限。数列极限的意义在于可以用来研究数列的长期行为，例如可以用来判断数列是否收敛，以及数列收敛的速度等。8.列举数列求和的两种常见方法。参考答案：数列求和的两种常见方法是：①分组求和法，将数列分成若干组，每组的和是一个常数或容易求和的数列，然后将各组的和相加；②裂项相消法，将数列的每一项拆成两项之差，然后相加时，许多项可以相互抵消。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=2，a_n+1=3a_n-2。求该数列的通项公式a_n。参考答案：a_n=3^(n-1)+12.在等差数列{b_n}中，b_3=7，b_5=11。求该数列的通项公式b_n和前10项和S_10。参考答案：b_n=2n-1，S_10=903.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=c_n+2n。求该数列的前5项和S_5。参考答案：S_5=554.在等比数列{d_n}中，d_2=6，d_4=54。求该数列的通项公式d_n。参考答案：d_n=23^(n-2)5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n，且满足e_n=S_n/(n+1)。求该数列的通项公式e_n。参考答案：e_n=n/(n+1)6.在等差数列{f_n}中，f_1=-5，公差d=3。求该数列的前20项和S_20。参考答案：S_20=-520+31920/2=2157.已知数列{g_n}满足g_1=3，g_n+1=2g_n+1。求该数列的通项公式g_n。参考答案：g_n=2^n+18.在等比数列{h_n}中，h_1=2，公比q=-3。求该数列的前4项和S_4。参考答案：S_4=40标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：由S_n=3a_n-4可得a_1=2=3a_1-4，解得a_1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=(3a_n-4)-(3a_(n-1)-4)=3a_n-3a_(n-1)，整理得a_n=3a_(n-1)。因此数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，通项公式为a_n=23^(n-1)。故正确选项为C。选项A错误，通项公式不符合已知条件；选项B错误，通项公式不符合已知条件；选项D错误，通项公式不符合已知条件。2.参考答案：A解析：由等比数列的性质可得b_4=b_2q^2，即54=6q^2，解得q^2=9，q=±3。由于等比数列的公比q可能为正或负，但题目未给出更多信息，无法确定q的具体符号。故正确选项为A。选项B错误，q=4不满足b_4=54；选项C错误，q=2不满足b_4=54；选项D错误，q=-3是可能的公比，但不是唯一正确的答案。3.参考答案：A解析：由c_n=c_(n-1)+n(n≥2)可得c_2=c_1+2=1+2=3，c_3=c_2+3=3+3=6，c_4=c_3+4=6+4=10，c_5=c_4+5=10+5=15。故正确选项为A。选项B错误，c_5=10不正确；选项C错误，c_5=8不正确；选项D错误，c_5=12不正确。4.参考答案：C解析：由d_n=S_n-S_(n-1)可得d_1=S_1=1^2+1+1=3，d_2=S_2-S_1=(2^2+2+1)-(1^2+1+1)=4，d_3=S_3-S_2=(3^2+3+1)-(2^2+2+1)=7。故正确选项为C。选项A错误，d_3=7不正确；选项B错误，d_3=9不正确；选项D错误，d_3=13不正确。5.参考答案：B解析：由等差数列的性质可得e_n=e_1+(n-1)d，即e_3=e_1+2d。将e_3=7，d=2代入上式，得7=e_1+22，解得e_1=3。故正确选项为B。选项A错误，e_1=1不满足e_3=7；选项C错误，e_1=5不满足e_3=7；选项D错误，e_1=9不满足e_3=7。6.参考答案：D解析：由等比数列的性质可得f_3=f_1q^2，即8=1q^2，解得q^2=8，q=2√2。又由f_5=f_1q^4=1(2√2)^4=164=64。故正确选项为D。选项A错误，f_5=16不正确；选项B错误，f_5=24不正确；选项C错误，f_5=32不正确。7.参考答案：B解析：由S_n=2^n-1可得g_1=S_1=2^1-1=1，g_2=S_2-S_1=(2^2-1)-(2^1-1)=3，g_3=S_3-S_2=(2^3-1)-(2^2-1)=7，g_4=S_4-S_3=(2^4-1)-(2^3-1)=15。观察数列{g_n}的前几项，可以发现g_(n+1)/g_n=(2^(n+1)-1-(2^n-1))/(2^n-1)=2，即数列{g_n}是公比为2的等比数列。故正确选项为B。选项A错误，数列{g_n}不是等差数列；选项C错误，数列{g_n}是等比数列；选项D错误，数列{g_n}是等比数列。8.参考答案：C解析：由h_n=n(n+1)/2可得h_4=4(4+1)/2=10，h_5=5(5+1)/2=15，h_4+h_5=10+15=25。故正确选项为C。选项A错误，h_4+h_5=20不正确；选项B错误，h_4+h_5=25正确；选项D错误，h_4+h_5=35不正确。9.参考答案：C解析：由等差数列的前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2可得S_5=5(a_1+a_5)/2=25，S_10=10(a_1+a_10)/2=70。解得a_1+a_5=10，a_1+a_10=14。又由等差数列的性质可得a_5=a_1+4d，a_10=a_1+9d。将a_5=a_1+4d代入a_1+a_5=10，得2a_1+4d=10。将a_10=a_1+9d代入a_1+a_10=14，得2a_1+9d=14。解得d=1。故正确选项为C。选项A错误，d=3不满足S_10=70；选项B错误，d=4不满足S_10=70；选项D错误，d=6不满足S_10=70。10.参考答案：C解析：由等比数列的性质可得q=(j_4/j_1)^(1/3)=(32/2)^(1/3)=4^(1/3)=2^(2/3)。又由等比数列的前n项和公式S_n=j_1(q^n-1)/(q-1)可得S_6=2(2^(6)-1)/(2^(2/3)-1)。计算得S_6=2(64-1)/(2^(2/3)-1)=263/(2^(2/3)-1)=126/(2^(2/3)-1)。故正确选项为C。选项A错误，S_6=62不正确；选项B错误，S_6=64不正确；选项D错误，S_6=128不正确。二、填空题1.参考答案：256解析：由a_n=3S_n-2可得a_{n+1}=3S_{n+1}-2，两式相减得a_{n+1}-a_n=3a_{n+1}，即a_{n+1}=3a_n。又a_1=2，所以数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，a_n=2×3^{n-1}，故a_5=2×3^4=162。2.参考答案：b_n=2n+1解析：设等差数列{b_n}的公差为d，由b_3=7，b_7=15可得7=2+d，15=2+6d，解得d=2，b_1=2。所以b_n=2+2(n-1)=2n。3.参考答案：2^n-n-1解析：S_n=2^1-1+2^2-1+…+2^n-1=2+2^2+…+2^n-n=2(2^n-1)-n=2^{n+1}-2-n。4.参考答案：21解析：由d_n=d_{n-1}+n(n≥2)可得d_2=d_1+2=3，d_3=d_2+3=6，d_4=d_3+4=10，d_5=d_4+5=15，d_6=d_5+6=21。5.参考答案：3解析：由e_4=e_2q^2可得54=6q^2，解得q=3。6.参考答案：7解析：由f_n=T_n-T_{n-1}(n≥2)可得数列{f_n}是一个与{T_n}相同的数列，即f_n=T_n-T_{n-1}。又f_1=1，T_1=f_1=1，T_2=f_1+f_2=1+f_2，f_2=T_2-T_1=f_2，所以f_2=0，T_3=T_2+f_3=1+0+f_3，f_3=T_3-T_2=f_3，所以f_3=1，T_4=T_3+f_4=2+f_4，f_4=T_4-T_3=f_4，所以f_4=2，f_5=T_5-T_4=3+f_5，f_5=3。7.参考答案：12解析：由g_n=S_n-S_{n-1}(n≥2)可得数列{g_n}是一个与{S_n}相同的数列，即g_n=S_n-S_{n-1}。又g_1=S_1=2，S_2=g_1+g_2=2+g_2，g_2=S_2-S_1=g_2，所以g_2=3，S_3=g_2+g_3=6+g_3，g_3=S_3-S_2=g_3，所以g_3=6，g_4=S_4-S_3=12+g_4，g_4=12，g_5=S_5-S_4=20+g_5，g_5=20，故g_3=6。8.参考答案：10解析：设等差数列{h_n}的公差为d，由h_1+h_9=20可得2h_1+8d=20，即h_1+4d=10，所以h_5=h_1+4d=10。9.参考答案：55解析：S_5=1×2+2×3+3×4+4×5+5×6=55。10.参考答案：20解析：由j_n=j_{n-1}+2n(n≥2)可得j_2=j_1+4=6，j_3=j_2+6=12，j_4=j_3+8=20。三、判断题1.参考答案：√解析：等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2是数学中关于等差数列的基本公式，该公式表示等差数列前n项的和等于首项与末项的算术平均数乘以项数n。这个公式可以通过数学归纳法或等差数列的定义推导出来，是解决等差数列相关问题的重要工具。2.参考答案：×解析：等比数列的定义是：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就是等比数列。题干中说的是差等于同一个常数，这是等差数列的定义，而不是等比数列的定义。因此，题干中的说法是错误的。3.参考答案：√解析：根据等差数列的性质，a6=a3+3d，其中d是公差。已知a3=7，a6=15，代入公式得到15=7+3d，解得d=4/3。因此，该数列的公差d=4/3，题干中的说法是错误的。4.参考答案：√解析：等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1是首项，q是公比，且q≠1。题干中的公式Sn=1-(1-q^n)/(1-q)可以通过将等比数列的前n项和公式中的a1=1代入得到，因此该公式是正确的。5.参考答案：√解析：根据等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2，可以推导出数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d。将题干中的Sn=2n^2-3n代入该公式，可以得到an=4n-5，这是一个等差数列的通项公式，因此该数列是等差数列。6.参考答案：√解析：根据等差数列的性质，a4=a1+3d，a2=a1+d，a3=a1+2d。将a1+a4=10代入得到a1+3d=10，将a2+a3代入得到a1+d+a1+2d=10，即2a1+3d=10。这两个方程联立解得a1=4，d=2。因此，a2+a3=4+2+4+4=10，题干中的说法是正确的。7.参考答案：√解析：根据等比数列的性质，a4=a2q^2，a2=6，a4=54，代入公式得到54=6q^2，解得q=3。因此，该数列的公比q=3，题干中的说法是正确的。8.参考答案：√解析：等差数列的定义是：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就是等差数列。这个常数就是等差数列的公差。因此，等差数列的任意两项之差等于公差，题干中的说法是正确的。9.参考答案：√解析：等比数列的定义是：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就是等比数列。这个常数就是等比数列的公比。因此，等比数列的任意两项之比等于公比，题干中的说法是正确的。10.参考答案：×解析：根据等比数列的前n项和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1是首项，q是公比，且q≠1。题干中的Sn=3^n-1不符合该公式的形式，因此该数列不是等比数列。四、简答题1.参考答案：数列是按照一定次序排列的一列数，可以看作是定义域为正整数集N（或其子集）的函数。数列中的每一个数称为数列的项，第n项通常用a_n表示。数列与函数的关系在于，数列可以看作是函数f(n)在正整数集上的取值序列，因此可以利用函数的性质来研究数列。解析：本题考查数列的基本概念及其与函数的关系。数列的定义是按照一定次序排列的一列数，这与函数的定义有相似之处，都是研究数与数之间的关系。数列可以看作是定义域为正整数集N（或其子集）的函数f(n)，其中n是自变量，a_n是函数值。这种关系使得我们可以利用函数的性质来研究数列，例如可以利用函数的单调性、周期性等性质来研究数列的单调性和周期性。同时，数列也可以用来研究函数，例如可以通过研究数列的极限来研究函数的极限。2.参考答案：等差数列的前n项和公式为S_n=n(a_1+a_n)/2，或S_n=na_1+n(n-1)d/2，其中a_1是首项，d是公差，n是项数。应用场景包括计算等差数列的前n项和、解决与等差数列相关的实际问题，如计算等差数列的平均值、求等差数列的第n项等。解析：本题考查等差数列的前n项和公式及其应用场景。等差数列的前n项和公式有两种形式，一种是S_n=n(a_1+a_n)/2，另一种是S_n=na_1+n(n-1)d/2。这两种形式可以根据实际情况选择使用。应用场景包括计算等差数列的前n项和、解决与等差数列相关的实际问题，如计算等差数列的平均值、求等差数列的第n项等。例如，在计算等差数列的前100项和时，可以使用S_100=100(a_1+a_100)/2来计算。3.参考答案：等比数列的三个主要性质包括：①任意两项的比值相等，即a_n/a_(n-1)=q（q为公比）；②第n项a_n可以表示为a_1q^(n-1)；③前n项和S_n可以表示为S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)（q≠1）。解析：本题考查等比数列的主要性质。等比数列的三个主要性质是等比数列的基本特征，也是解决等比数列问题的重要依据。第一个性质是任意两项的比值相等，即a_n/a_(n-1)=q（q为公比），这是等比数列的定义。第二个性质是第n项a_n可以表示为a_1q^(n-1)，这是等比数列的通项公式。第三个性质是前n项和S_n可以表示为S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)（q≠1），这是等比数列的前n项和公式。这些性质在解决等比数列问题时非常重要，可以帮助我们快速找到等比数列的通项公式和前n项和。4.参考答案：数列的通项公式是表示数列中第n项a_n的公式，通常用a_n=f(n)表示，其中f(n)是一个关于n的函数。递推公式是表示数列中任意一项与它前面一项之间关系的公式，通常用a_n=a_(n-1)+f(n)或a_n=f(a_(n-1))表示。通项公式直接给出数列中每一项的值，而递推公式需要从初始项开始逐步计算每一项的值。解析：本题考查数列的通项公式与递推公式的区别。数列的通项公式是表示数列中第n项a_n的公式，通常用a_n=f(n)表示，其中f(n)是一个关于n的函数。例如，等差数列的通项公式是a_n=a_1+(n-1)d，等比数列的通项公式是a_n=a_1q^(n-1)。递推公式是表示数列中任意一项与它前面一项之间关系的公式，通常用a_n=a_(n-1)+f(n)或a_n=f(a_(n-1))表示。例如，等差数列的递推公式是a_n=a_(n-1)+d，等比数列的递推公式是a_n=a_(n-1)q。通项公式直接给出数列中每一项的值，而递推公式需要从初始项开始逐步计算每一项的值。5.参考答案：数列{a_n}单调递增的定义是对于任意正整数n，都有a_na_(n+1)。例如，数列{a_n}={n}是单调递增的，因为对于任意正整数n，都有nn+1。解析：本题考查数列单调递增的定义。数列{a_n}单调递增的定义是对于任意正整数n，都有a_na_(n+1)。这意味着数列中的每一项都比前一项大。例如，数列{a_n}={n}是单调递增的，因为对于任意正整数n，都有nn+1。再例如，数列{a_n}={2n}也是单调递增的，因为对于任意正整数n，都有2n2(n+1)。判断一个数列是否单调递增，可以通过比较相邻两项的大小来确定。6.参考答案：判断一个数列是否为等差数列的方法是计算相邻两项的差，如果这个差是一个常数，那么这个数列就是等差数列。例如，数列{a_n}={2,4,6,8,...}是等差数列，因为相邻两项的差都是2。解析：本题考查判断一个数列是否为等差数列的方法。判断一个数列是否为等差数列的方法是计算相邻两项的差，如果这个差是一个常数，那么这个数列就是等差数列。例如，数列{a_n}={2,4,6,8,...}是等差数列，因为相邻两项的差都是2。再例如，数列{a_n}={3,5,7,9,...}也是等差数列，因为相邻两项的差都是2。如果相邻两项的差不是一个常数，那么这个数列就不是等差数列。7.参考答案：数列极限的概念是当数列的项数无限增大时，数列的项无限接近某个常数L，那么这个常数L就是数列的极限。数列极限的意义在于可以用来研究数列的长期行为，例如可以用来判断数列是否收敛，以及数列收敛的速度等。解析：本题考查数列极限的概念及其意义。数列极限的概念是当数列的项数无限增大时，数列的项无限接近某个常数L，那么这个常数L就是数列的极限。用数学语言可以表示为：对于任意ε0，存在一个正整数N，使得当nN时，|a_n-L|ε。数列极限的意义在于可以用来研究数列的长期行为，例如可以用来判断数列是否收敛，以及数列收敛的速度等。例如，数列{a_n}={1/n}的极限是0，因为当n无限增大时，1/n无限接近0。8.参考答案：数列求和的两种常见方法是：①分组求和法，将数列分成若干组，每组的和是一个常数或容易求和的数列，然后将各组的和相加；②裂项相消法，将数列的每一项拆成两项之差，然后相加时，许多项可以相互抵消。解析：本题考查数列求和的两种常见