函数的概念及其表示+-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版·必修第一册·第三章3.1函数的概念及其表示从“变量说”到“对应说”——一次概念的升级函数的概念与性质·公开课这节课，我们要一起完成三件事01用集合与对应语言，重新给函数下一个严谨定义从初中“变量说”走到高中“对应说”，说清定义域、值域与对应关系。02会求函数的定义域、值域，并用区间准确表示掌握开区间、闭区间、半开半闭与无穷区间的记法，能判断两个函数是否相同。03会用解析法、列表法、图象法表示函数，认识分段函数能根据问题选择合适的表示方法，会画分段函数图象并求函数值。人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示2第一部分·函数的概念初中的“变量说”，还够用吗？回顾初中定义：在一个变化过程中，有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应。可生活中还有很多函数，写不出式子，也不是“一个量随另一个量变化”——它们凭什么也叫函数？想一想：股市行情图、医院的体温记录，没有解析式，为什么也能叫函数？情境一：炮弹升空，射高h随发射时间t变化一枚炮弹发射后，经过26s落地。射高

对每一个时刻t，都有唯一确定的高度h与之对应。人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示4情境二：南极臭氧层空洞面积随时间变化关键特征时间t每取一个值，空洞面积S都被曲线唯一确定；但它写不出一个解析式；它是靠图象来表示的对应关系。人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示5情境三：城镇居民恩格尔系数随年份变化表3.1-1恩格尔系数（%）年份t2001200220032004200520062007系数y38.237.737.137.736.735.836.3对表中任意一个年份t（2001—2007中某一年），都有唯一确定的恩格尔系数y与之对应。关键特征它是用表格给出的对应；年份是离散的几个值；同样写不出统一解析式。人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示6形式不同，骨子里是同一件事情境数集A（自变量范围）对应关系f数集B炮弹射高解析式臭氧空洞1979—2001的年份图象恩格尔系数2001—2007的年份表格共同点：对数集A中任意一个数x，按照某种对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y与之对应。人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示7函数的近代定义：从“变量说”到“对应说”

三个必须抠住的关键词任意一个A中每一个x都必须被对应，不能有遗漏。唯一确定一个x只能对应一个y，不能“一对多”。非空数集A、B都不能是空集，且必须是实数集。人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示8定义域、值域、对应关系——函数的三要素

·x叫做自变量；·A叫做函数的定义域；·与x的值对应的y叫做x的函数值，记作f(x)；·函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。注意：值域是B的子集——B中可以有元素不被任何x取到（图中灰色点）。人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示9怎么简洁地写数集？——区间的记法

集合表示名称符号数轴上的端点闭区间两个端点都实心开区间两个端点都空心左闭右开左实心、右空心左开右闭左空心、右实心记忆口诀：方括号[]包含端点，圆括号()不包含端点；a、b叫做区间的端点。例如{x|1≤x<5}记作[1,5)，{x|x>2}记作(2,+∞)。人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示10无穷区间：一端没有端点怎么办集合表示区间符号注意：+∞、−∞只是记号，不是数，它们那一端永远用圆括号，不能写成[a,+∞]。人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示11例1：求下列函数的定义域

解分析限制条件

人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示12例2：给定x，怎样求函数值f(x)？

求代入过程结果215把x整体换成a

人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示13解析式不同，就一定不是同一个函数吗？判断两个函数是否相同，只看两件事：定义域相同，且对应关系相同。二者都相同才是同一函数；自变量用什么字母无关。两组函数是否同一函数理由不是定义域不同是定义域、对应关系都同，字母无关不是前者x≠0，定义域不同结论：定义域和对应关系定了，函数就定了——这三者合称函数的三要素。人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示14练一练：下列对应是函数吗？定义域是什么？1

2

3对每一个x≥0，令h(x)为平方等于x的两个数。完成标准：先判断“任意x是否对应唯一y”，再写出定义域。人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示15对一对：错在哪里，下次怎么查1✓

2✓是函数。定义域{1,2,3}，值域{1,2,3}。定义域可以是离散的数集，不一定是区间。3✗不是函数。例如x=4时，平方等于4的数有2和−2两个，一个x对应了两个y，违反“唯一确定”。自查口诀：先看“每个x有没有对应”，再看“对应的y是否只有一个”。一对多一定不是函数。人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示16第二部分·函数的表示法除了解析式，函数还能怎么表示？回到开头的三个情境：炮弹用式子、臭氧用曲线、恩格尔系数用表格。同一个函数，可以有不同的“长相”。这一节就来比较这三种表示方法，并认识一种新函数——分段函数。想一想：同一个函数，用解析式、表格、图象表示，各自好在哪？例3：笔记本每本5元，买x本需多少元？①解析法

②列表法x（本）y（元）15210315③图象法注意：这里x只能取正整数，所以图象是一群孤立的点，不是一条连续直线。画图象前先看定义域。人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示18三种表示法，各有什么长短？表示法优点局限解析法简明扼要，便于计算与推理，能精确求出任一点的函数值。变化趋势不直观；有些函数写不出解析式。列表法直接从表里查到函数值，不必计算。只能列有限个值，看不出整体规律。图象法直观显示变化趋势、最大值最小值等性质。由图象读值往往是近似的，不够精确。策略：根据问题需要选择，或三者结合使用——解析式管计算，表格管查值，图象管趋势。人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示19例4：画出函数y=|x|的图象按绝对值定义去掉符号：

x≥0时画y=x的右半支；x<0时画y=−x的左半支，合起来是一个“V”字。人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示20分段函数：一个函数，几段对应关系在函数的定义域内，自变量x在不同取值范围上，有着不同对应关系，这样的函数叫做分段函数。①它是一个函数不是几个函数，别分段写、分段算。②定义域取并集各段x范围合起来才是定义域。③先定位，再代入求f(x)先看x落在哪一段。例5：出租车计费（教材）3km以内收起步价8元；超过3km的部分，每千米1.8元。里程x（km）与车费y（元）：

例：乘车5km，x=5落在x>3这一段，车费=8+1.8×(5−3)=11.6元。人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示21练一练：求分段函数的值

人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示22对答案：关键看x落在哪一段

易错点：分界点0属于哪一段要看清——本题x=0代入第一段得1，而不是第二段的−1。人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示23拓展思维训练1·辨析“约分”陷阱人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示24

提示：约分后两式“长得一样”，但它们的定义域一样吗？f的定义域为x|x≠1，而g的定义域为R；定义域不同，f与g不是同一函数！（约分要谨慎：约分前先想定义域有没有变化）拓展思维训练2·复合函数值人教A版·必修第一册·3.1函数的概念及其表示25

提示：先算括号里最内层的函数值，再往外代。从里往外算：g(1)=1，所以f(g(1))=f(1)=3；f(1)=3，所以g(f(1))=g(3)=9。（先内后外，逐层代入——对应关系可以“嵌套”）课堂小结：这节课我们升级了什么函数（对应说）定义三关键词·非空实数集A、B·任意一个x·唯一确定的y函数三要素·定义域·对应关系f·值域·两者相同即同一函数区间表示·闭、开区间[a,b](a,b)·半开半闭·无穷区间(+∞用圆括号)三种表示法·解析