2009年浙江省杭州市中考数学试卷

一、选择题(共10小题，每小题3分，满分30分)1.(3分)如果a+b=0,那么a,b两个实数一定是()A.都等于0B.一正一负C.互为相反数D.互为倒数2.(3分)要了解全校学生的课外作业负担情况，你认为以下抽样方法中比较合理的是()A.调查全体女生C.调查九年级全体学生D.调查七，八，九年级各100名学生3.(3分)直四棱柱，长方体和正方体之间的包含关系是()4.(3分)有以下三个说法：①坐标的思想是法国数学家笛卡儿首先建立的；②坐标系内的所有点都属于四个象限.其中错误的是()5.(3分)已知点P(x,y)在函数的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.(3分)在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为7.(3分)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值()A.只有1个B.可以有2个C.有2个以上，但有限D.有无数个8.(3分)如图，在菱形ABCD中，∠A=110°,E,F分别是边AB和BC的中点，9.(3分)两个不相等的正数满足a+b=2,ab=t-1,设S=(a-b)²,则S关于t的函数图象是()A.射线(不含端点)B.线段(不含端点)10.(3分)某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk(xk,Yk)处，其中x₁=1,y₁=1,当k≥2时，[0.2]=0.按此方案，第2009棵树种植点的坐标为()A.(5,2009)B.(6二、填空题(共6小题，每小题4分，满分24分)11.(4分)如图，镜子中号码的实际号码是12.(4分)在实数范围内因式分解：x⁴-4=13.(4分)给出一组数据：23,22,25,23,27,25,23,则这组数据的中位数是;方差是(精确到0.1).14.(4分)如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，15.(4分)已知关于x的方的解是正数，则m的取值范围是_.DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O,且点E在半圆弧上.①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是;②若正方形DEFG的面积为100,且△ABC的内切圆半径r=4,则半圆的直径三、解答题(共8小题，满分66分)17.(6分)如果a,b,c是三个任意的整数，那么在-这三个数中至少会有几个整数?请利用整数的奇偶性简单说明理由.18.(6分)如图，有一个圆O和两个正六边形T₁,T₂.T₁的6个顶点都在圆周上，T₂的6条边都和圆O相切(我们称T₁,T₂分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形).(2)求正六边形T₁,T₂的面积比S₁:S₂的值.19.(6分)如图是一个几何体的三视图.(1)写出这个几何体的名称；(2)根据所示数据计算这个几何体的表面积；(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D,请你求出这个线路的最短路程.20.(8分)如图，已知线段a.(1)只用直尺(没有刻度的尺)和圆规，求作一个直角三角形ABC,以AB和BC分别为两条直角边，使AB=a,(要求保留作图痕迹，不必写出作法);a(2)若在(1)作出的Rt△ABC中，AB=4cm,求AC边上的高.21.(8分)学校医务室对九年级的用眼习惯所作的调查结果如表1所示，表中空缺的部分反映在表2的扇形图和表3的条形图中.编号人数比例1经常近距离写字2经常长时间看书3长时间使用电脑45不及时检查视力11.25%编号4(表2)表(3)(1)请把三个表中的空缺部分补充完整；(2)请提出一个保护视力的口号(15个字以内).22.(10分)如图，在等腰梯形ABCD中，∠BCD=60°,AD//BC,且AD=DC,E、(2)请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论.23.(10分)在杭州市中学生篮球赛中，小方共打了10场球.他在第6,7,8,9场比赛中分别得了：22,15,12和19分，他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高，如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分.(1)用含x的代数式表示y;(2)小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少；(3)小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少?24.(12分)已知平行于x轴的直线y=a(a≠0)与函数y=x和函数的图象分别交于点A和点B,又有定点P(2,0).(1)若a>0,且,求线段AB的长；(2)在过A,B两点且顶点在直线y=x上的抛物线中，已知线段,且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；(3)已知经过A,B,P三点的抛物线，平移后能得到的图象，求点P到直线AB的距离.参考答案与试题解析一、选择题(共10小题，每小题3分，满分30分)1.(3分)(2009·杭州)如果a+b=0,那么a,b两个实数一定是()A.都等于0B.一正一负C.互为相反数D.互为倒数答案.【解答】解：A和B表述不全面，D是错误的，互为相反数的两个数和为0.故选C.【点评】本题考查了互为相反数的意义，如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数.2.(3分)(2009·杭州)要了解全校学生的课外作业负方法中比较合理的是()A.调查全体女生B.调查全体男生C.调查九年级全体学生D.调查七，八，九年级各100名学生【分析】利用抽样调查的中样本的代表性即可作出判断.性，故选D.被抽到.3.(3分)(2009·杭州)直四棱柱，长方体和正方体之间的包含关系是()【分析】根据正方体，长方体，直四棱柱的概念和定义即可解.【解答】解：正方体是特殊的长方体，长方体又是特殊的直四棱柱【点评】本题考查了直四棱柱，长方体和正方体之间的包含关系.4.(3分)(2009·杭州)有以下三个说法：①坐标的思想是法国数学家笛卡儿首③平面直角坐标系内的所有点都属于四个象限.其中错误的是()A.只有①B.只有②C.只有③D.①②③【分析】根据极坐标和平面直角坐标系内点的坐标特点来解答.【解答】解：说法①,正确，符合数学史；分为四个不同象限，而在坐标轴上的点是不属于任何象限的.故①②正确，③错误.故选C.属于任何一个象限.5.(3分)(2009·杭州)已知点P(x,y)在函数的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】因为分式有意义的条件是分母不等于0;二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0.从而可以得到x<0,由x²>0,√-x≥0可以得到0,∴y>0,即求出点P所在的象限.【解答】解：∴P应在平面直角坐标系中的第二象限.故选B.纵坐标的符号.6.(3分)(2009·杭州)在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为()概率.【解答】解：正方形的面积=4×4=16cm²,圆的面积=πcm²,针头扎在阴影区域与正方形的面积比.7.(3分)(2013·东营)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值()A.只有1个B.可以有2个C.有2个以上，但有限D.有无数个【分析】两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边利用对应边成比例即可解答.【解答】解：根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，一种是6和8为直角边，那么根据勾股定理可知斜边为10;另一种可能是6是直角边，而8是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直角边为2√7.第一种解得x=5;第二种解得x=√7.所以可以有2个.【点评】本题考查了勾股定理和三角形相似的有关知识.本题学生常常漏掉第二种情况，是一道易错题.8.(3分)(2009·杭州)如图，在菱形ABCD中，∠A=110°,E,F分别是边AB【分析】延长PF交AB的延长线于点G.根据已知可得∠B,∠BEF,∠BFE的度【解答】解：延长PF交AB的延长线于点G.(中点定义),问题的关键.9.(3分)(2009·杭州)两个不相等的正数满足a+b=2,ab=t-1,设S=(a-b)2,则S关于t的函数图象是()A.射线(不含端点)B.线段(不含端点)C.直线D.抛物线的一部分的条件，结合实际意义得到正确的结论.【解答】解：首先根据题意，消去字母a和b,得到S和t的关系式.然后根据题意，因为ab=t-1,所以t=ab+1,又因为ab>0,故t>1;②由①②得1<t<2,故S关于t的函数图象是一条不含端点的线段.故选B.【点评】本题考查了有自变量取值范围的函数的图象.10.(3分)(2009·杭州)某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk(xk,Yk)处，其中x₁=1,y₁=1,当k≥2时，,[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]=2,[0.2]=0.按此方案，第2009棵树种植点的坐标为()A.(5,2009)B.(6,2010)C.(3,401)【分析】解决本题应先求出一部分Pk的值，然后从中找出规律.∴当2≤k≤5时，P2,P₃,P₄,P₅的坐标分别为(2,1)、(3,1)、(4,1)、(5,当7≤k≤10时，P₇,P₈,Pg,P₁0的坐标分别为(2,2)、(3,2)、(4,2)、(5,当12≤k≤15时，P₁,P₁3,P14,P₁5的坐标分别为(2,3)、(3,3)、(4,3)、通过以上数据可以得出：当k=1+5x时，Pk的坐标为(1,x+1);而后面四个点的纵坐标均为x+1,横坐标则分别为2,3,4,5.因为2009=1+5×401+3,所以P₂009的横坐标为4,纵坐标为402.找规律的能力，是一道灵活性很强的题目.注意解决本题应先求出一部分Pk的值，然后再从中找出规律.二、填空题(共6小题，每小题4分，满分24分)11.(4分)(2009·杭州)如图，镜子中号码的实际号码是3265【分析】注意镜面反射与特点与实际问题的结合.【解答】解：根据镜面对称的性质，在镜子中的真实数字应该是：3265.也可以在卷子的反面看.12.(4分)(2009·杭州)在实数范围内因式分解：x⁴-4=符合平方差公式的特点，可以继续分解.=(x²+2)(x+√2)(x-√2).看公式.在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止.13.(4分)(2009·杭州)给出一组数据：23,22,25,23,27,25,23,则这-24)²+(27-24)²].【解答】解：此组数据从小到大排列为22,23,23,23,25,25,27,由中位数的定义知中位数为23;平均数=(22+23+23+23+25+25+27)÷7=24;∴这组数据的中位数是23;方差是2.6.故填23,2.6.【点评】(1)将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数.(2)样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.(2)平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势的一项指标.14.(4分)(2009·杭州)如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是14或16或26【分析】将所有的拼法画出来后再进行求解.第一种情况周长是(12+1)×2=26;第二种是(6+2)×2=16;第三种是(3+4)×2=14.故答案为：14或16或26.要全面不要遗漏.15.(4分)(2013·德阳)已知关于x的方的解是正数，则m的取值范【分析】首先求出关于x的方的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围.【解答】解：解关于x的方得x=m+6,解这个不等式得m>-6且m≠-4.【点评】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于x的方程是关键，解关于x的不等式是本题的一个难点.16.(4分)(2009·杭州)如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心0,且点E在半圆弧上.②若正方形DEFG的面积为100,且△ABC的内切圆半径r=4,则半圆的直径AB=正方形边长为2a,所以可求得半圆的半径与正方形边长的比；②连接EB、AE,OH、Ol,可得OHCI是正方形，且边长是4,可设BD=x,AD=y,理和相似比作为相等关系列方程组求解即可求得半圆的直径AB=21.【解答】解：①如图，根据圆和正方形的对称性可知：正方形边长为2a,②因为正方形DEFG的面积为100,所以正方形DEFG边长为10.连接EB、AE,OI、OJ,设BD=x,AD=y,则BD=Bl=x,即半圆的直径AB=21.BB【点评】本题综合考查了圆、三角形、方程等知识，是一道综合性很强的题目，难度偏上，需要正确理解相关知识点及懂得运用方能很好的解答本题.三、解答题(共8小题，满分66分)这三个数中至少会有几个整数?请利用整数的奇偶性简单说明理由.【分析】首先任何一个整数只有两种可能，不是奇数，就是偶数，所以a,b,c至少会有2个数的奇偶性相同，这样就可以判断至少会有一个整数.【解答】解：至少会有一个整数.两个整数相加除以2可以判定三种情况：奇数+偶数=奇数，如果除以2,不等于整数.奇数+奇数=偶数，如果除以2,等于整数.偶数+偶数=偶数，如果除以2,等于整数.全是奇数：则a+b除以2,b+c除以2,c+a除以2全是整数全是偶数：则a+b除以2,b+c除以2,c+a除以2全是整数一奇两偶：则a+b除以2,b+c除以2,c+a除以2一个整数一偶两奇：则a+b除以2,b+c除以2,c+a除以2一个整数∴综上所述，所以至少会有一个整数.【点评】此题主要考查了整数的奇偶性.注意：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数.18.(6分)(2009·杭州)如图，有一个圆O和两个正六边形T₁,T₂.T₁的6个顶点都在圆周上，T₂的6条边都和圆O相切(我们称T₁,T₂分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形).(2)求正六边形T₁,T₂的面积比S₁:S₂的值.【分析】(1)根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r:a=1:1;在由圆(2)根据相似多边形的面积比是相似比的平方.由(1)可以求得其相似比，再进一步求得其面积比.【解答】解：(1)连接圆心O和T₁的6个顶点可得6个全等的正三角形.连接圆心O和T₂相邻的两个顶点，得以圆0半径为高的正三角形，(2)T₁:T₂的边长比是√3:2,所以S₁:S₂=(a:b)²=3:4.距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算.注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方.19.(6分)(2009·杭州)如图是一个几何体的三视图.(1)写出这个几何体的名称；(2)根据所示数据计算这个几何体的表面积；(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D,请你求出这个线路的最短路程.【分析】考查立体图形的三视图，圆锥的表面积求法及公式的应用.(1)根据三视图的知识，主视图以及左视图都是三角形，俯视图为圆形，故可(2)圆锥的表面积等于扇形的表面积以及圆形的表面积之和；(3)将圆锥的侧面展开，设顶点为B',连接BB',AC.线段AC与BB'的交点为D,线段BD是最短路程.【解答】解：(1)根据三视图的知识，主视图以及左视图都是三角形，俯视图为=16π(平方厘米),即该几何体全面积为16πcm²;(3)如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB',则线段BD为所求的最短路程.∴路线的最短路程为3v3cm.【点评】注意把立体图形转化为平面图形的思维，圆锥表面积的计算公式.20.(8分)(2009·杭州)如图，已知线段a.(1)只用直尺(没有刻度的尺)和圆规，求作一个直角三角形ABC,以AB和a(2)若在(1)作出的Rt△ABC中，AB=4cm,求AC边上的高.【分析】(1)可先画出长为2a的线段，然后作这条线段的垂直平分线，这样就找出了直角三角形的直角，我们把其中的一段叫做AB,那么再在AB上作垂直平(2)有了AB的长，就有了BC的长，根据勾股定理就能得出AC的长，根据三角形面积的表示方法的不同，可得出AC边上的高的值.【解答】解：(1)作图如图，△ABC即为所求的直角三角形；设斜边AC上的高为h,△ABC面积等所以21.(8分)(2009·杭州)学校医务室对九年级的用眼习惯所作的调查结果如表1所示，表中空缺的部分反映在表2的扇形图和表3的条形图中.编号人数比例1经常近距离写字2经常长时间看书3长时间使用电脑45不及时检查视力编号4编号350-编号1编号3编号4编号5(1)请把三个表中的空缺部分补充完整；(2)请提出一个保护视力的口号(15个字以内).【分析】(1)根据编号5的比例为25%,且有240人，即可求出总人数，结合各(2)口号只要积极向上合理即可.【解答】解：(1)编号5的比例为25%,且有240人，则总人数=240÷25%=960编号2的人数为200人，所占比例=200÷960=20.83%,编号3的人数为52人，所占比例=52÷960=5.42%,编号4的比例是11.25%,人数=960×110.25=108人编号人数比例1经常近距离写字2经常长时间看书3长时间使用电脑45不及时检查视力查扇形统计图编号5编号1编号420.83%题.22.(10分)(2009·杭州)如图，在等腰梯形ABCD中，∠B且AD=DC,E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF,AF、BE于点P.(2)请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论.【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，又∵∠BAE=∠ADF(等腰梯形的性质),(2)解：猜想∠BPF=120°.∵由(1)知△BAE≌△ADF(已证),角的有关知识.23.(10分)(2009·杭州)在杭州市中学生篮球赛中，小方共打了10场球.他在第6,7,8,9场比赛中分别得了：22,15,12和19分，他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高，如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分.(1)用含x的代数式表示y;(2)小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少；(3)小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少?【分析】由题意不难看出，前五场的总得分为5x,前9场总得分为9y,所以又因为9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高，即y>x.所以有解不等式即可求出x的最大值，进而求出前5场最高得分，因为10场比赛的平均得分超过18