课件-2.2-控制系统的数学模型

第2章·自动控制理论和应用2.2控制系统的数学模型从物理系统到数学表达——微分方程·拉氏变换·传递函数·动态结构图本节知识链数学模型→微分方程→拉氏变换→传递函数→动态结构图2.2.1数学模型基本知识|2.2.2控制系统微分方程模型|2.2.3拉普拉斯变换|2.2.4传递函数与典型环节的数学模型|2.2.5系统动态数学模型机电系统控制原理及应用·数字教材配套授课课件本节导图2.2控制系统的数学模型·内容与知识主线数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件0201数学模型基本知识为什么要建模、数学模型的定义与两个类型（静态/动态）、四种表达形式（微分方程/传递函数/动态结构图/状态空间）以及解析法与实验法两种建模方法。02控制系统微分方程模型由物理定律列写微分方程：机械系统案例1（转动牛顿第二定律）与机电系统案例2（电枢回路+转子动力学）；消去中间变量得二阶方程；建模五步与模型四查。03拉普拉斯变换定义式与常用函数对照表；线性、微分、积分、位移、延迟、初值、终值、卷积等性质的推导；零初始条件；例2-4~例2-6。04传递函数与典型环节传递函数的定义与成立条件；零点与极点的含义；典型环节传递函数一览；例2-7RC电路、例2-8直流电动机。05系统动态数学模型串联、并联、反馈三种基本连接；闭环传递函数与扰动作用下的输出；一阶机械系统与直流电动机两个案例；常见错误与知识小结。主线·知识链物理系统↓微分方程↓拉氏变换↓传递函数↓动态结构图学习目标学完2.2，你将能够…数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件03知识目标①说出数学模型的定义、四种表达形式与两种建模方法②区分静态数学模型与动态数学模型③说明数学模型在系统分析、性能评价中的作用④记住常用函数的拉氏变换与主要性质⑤理解传递函数的定义及零初始条件的作用⑥说出零点、极点的含义与极点位置的意义⑦记住六种典型环节的微分方程与传递函数⑧掌握串联、并联、反馈三种连接与闭环传递函数技能目标①能由转动形式牛顿第二定律列写机械系统微分方程②能由基尔霍夫电压定律与转矩平衡列写直流电动机方程③能用拉氏变换把微分方程化为代数方程④会用比较系数法与赋值法作部分分式分解⑤能由微分方程求出传递函数并判断系统阶次⑥能由动态结构图写出等效传递函数素质目标①养成“先看物理过程、再选物理定律、最后写方程”的建模习惯②建立量纲、符号、特例、合理性四查意识③体会数学模型是控制理论联系工程实际的桥梁④严谨推导、逐步验证的工程素养⑤主动用仿真的手段验证模型的意识本节关键控制系统的数学模型是一条主线：物理系统→微分方程→拉氏变换→传递函数→动态结构图。掌握这条主线，就掌握了自动控制理论分析系统的入口。2.2.1数学模型基本知识为什么建模·定义、特点与类型·四种表达形式·解析法与实验法作用与地位→定义与类型→四种形式→两种方法机电系统控制原理及应用·数字教材配套授课课件知识储备数学模型的作用：为什么必须建模数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件05被控对象的共同特点在自动控制系统中，被控对象通常是电动机、机器人、机床、液位装置、温度装置等实际物理系统。这些系统内部结构复杂，变量之间存在相互作用，仅通过观察实际设备，很难直接分析其动态特性。因此，需要根据系统的物理规律，建立能够反映其主要特性的数学模型。难点系统太复杂内部结构复杂，变量之间存在相互作用；仅靠观察实际设备，很难直接分析其动态特性；例如直流电动机：电流、转矩、转速同时变化，彼此耦合。出路建立数学模型根据系统的物理规律，建立能够反映其主要特性的数学模型；用数学语言描述系统输入、输出以及内部变量之间的关系；把复杂的物理过程转化为可以分析和计算的数学问题。以直流电动机为例可以建立电枢电压与电动机角速度之间的微分方程或传递函数，从而将复杂的电机运动过程转化为可以分析和计算的数学问题。一句话数学模型是连接实际控制系统与控制理论的桥梁。知识要点数学模型能做什么：分析与设计的基础数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件06预测与分析动态特性判断系统是否稳定；估计响应速度如何；看是否存在超调；计算稳态误差大小。控制器设计与参数整定在模型上设计控制律；整定控制器参数；比较不同方案的可行性；预测闭环性能。计算机仿真验证通过仿真比较不同控制方案的控制效果；提前发现问题；减少实际设备上的反复试验；降低调试成本与风险。数学模型在控制理论中的地位在自动控制理论中，数学模型不仅是描述系统的工具，也是进行系统分析、性能评价、控制器设计和仿真验证的基础。实际控制系统虽然形式各异，但经过数学建模后，可以采用统一的控制理论和方法进行研究。简单来说数学模型把“实际系统”转化为“可以计算、可以分析、可以设计、可以仿真”的控制对象本节主线先会建模，才会分析；模型对了，后面的稳定性、快速性、准确性才有意义。知识要点数学模型的定义、特点与两个类型数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件07定义数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式；其特点可概括为：相似性、通用性、简化性及精确性。静态数学模型系统各变量之间的关系不随时间变化（稳态时）；关注的是“平衡状态”下的关系；主要用于分析稳态误差；不含时间导数项。动态数学模型描述系统各量之间随时间变化而变化的规律；含有微分（导数）项，反映惯性与储能；在自动控制理论中占据核心地位；本节与后续各节研究的都是动态模型。两个类型的关系静态模型是动态模型在稳态（各阶导数为零）时的特例；分析稳态误差用静态模型，分析过渡过程必须用动态模型。记忆带导数的是动态模型，不带导数的是静态模型；控制理论的核心是动态数学模型。知识要点数学模型的四种表达形式数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件08表达形式含义/形式特点微分方程时域基本表达形式，见式(2-3)直接来自物理定律，物理意义清楚；求解与消元较繁琐传递函数零初始条件下，输出Y(s)与输入X(s)的拉氏变换之比：G(s)=Y(s)/X(s)只与系统本身内部结构、参数有关，代表系统的固有特性动态结构图（方块图）将系统各环节用传递函数的框图表示，按信号传递方向联结揭示系统内部各环节的数学关系和信号传递过程状态空间模型以状态变量的一阶微分方程组描述系统：ẋ(t)=Ax(t)+Bu(t)，y(t)=Cx(t)+Du(t)现代控制理论常用的内部描述方法，适合多输入多输出系统及计算机仿真本教材的取舍本教材以微分方程、传递函数和动态结构图为主要内容；状态空间模型仅作简要了解，不作深入讲解。四种形式之间可以相互转换，工程上最常用的是传递函数与动态结构图。知识要点四种表达形式的数学写法数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件09式(2-3)微分方程（时域基本表达形式）传递函数（零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比）状态空间模型（标准形式）状态空间模型的符号含义x(t)为状态向量，u(t)为输入向量，y(t)为输出向量，A、B、C、D为系统矩阵。状态空间模型能同时描述系统内部各变量的动态特性，适合多输入多输出系统及计算机仿真。对照记忆微分方程看“时间t”，传递函数与动态结构图看“复变量s”，状态空间看“状态向量x”。知识要点两种建模方法：解析法与实验法数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件10解析法根据物理、化学、电学等规律推导数学关系式；步骤一：列写原始动态方程式；步骤二：确定输入输出变量；步骤三：消去中间变量；参数都有明确的物理意义，模型结构清楚。实验法（系统辨识）对系统施加典型试验信号（阶跃或脉冲）；测得系统的时间反应曲线；经数据处理得到数学模型；不必深入了解内部机理；适合结构复杂、规律不易解析的对象。两种方法怎么选能按物理规律解析的系统优先用解析法——模型物理意义明确、便于分析各参数的影响；结构复杂或内部规律不清楚时用实验法，用输入—输出数据反推数学模型。工程上也常把两种方法结合：先由解析法确定模型结构，再由实验数据确定参数。本课程重点本课程以解析法为主：先弄清系统中发生了什么物理过程，再选择相应的物理定律，最后把物理规律转换成数学方程。2.2.2控制系统微分方程模型机械系统案例1·机电系统案例2·建模五步·模型四查·高阶方程的由来案例1机械→案例2机电→二阶方程→建模五步→模型检查机电系统控制原理及应用·数字教材配套授课课件知识储备为什么要用微分方程描述系统数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件12一个基本问题在研究机电控制系统时，首先需要回答一个基本问题：如何用数学方法描述系统的输入、内部状态和输出之间的关系？现象：输出不会瞬间变化例如对一台直流电动机施加电压后，电动机的电流、转矩和转速都会随时间发生变化；由于系统具有惯性、储能和能量转换等特性，输出通常不会随着输入瞬间变化，而是表现出一定的动态过程。办法：用物理定律建立微分方程为了描述这种随时间变化的动态规律，可以利用物理学中的基本定律建立微分方程；因此，微分方程是建立控制系统数学模型的一种基本方法。建立控制系统微分方程的一般过程确定研究对象→确定输入和输出→分析系统内部物理规律→建立微分方程→检查和验证模型。下面通过两个典型实例机械系统实例（案例1）与机电系统实例（案例2），说明微分方程模型的建立过程。例题精讲案例1建立直流电动机机械运动的微分方程数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件13【案例1】【题目】某直流电动机受到电磁转矩Tₘ(t)的作用，同时受到负载转矩T_L(t)和摩擦转矩的影响。设电动机转子的转动惯量为J，粘性摩擦系数为B，转子的角速度为ω(t)。试建立电磁转矩Tₘ(t)与电动机角速度ω(t)之间的微分方程。1确定输入和输出输入：电磁转矩Tₘ(t)；输出：转子角速度ω(t)；研究Tₘ(t)→ω(t)之间的动态关系；电动机并不是一个静态系统——施加电磁转矩后，转子需要经过一定时间才能达到相应的转速。动态特性由什么决定这种动态特性主要由转动惯量和机械阻尼等因素决定；转动惯量J体现机械惯性（储能元件）；粘性摩擦系数B体现机械阻尼（耗能元件）；两者共同决定了转速建立的快慢。先明确研究对象研究对象是直流电动机的机械运动部分；把电磁转矩作为输入、角速度作为输出，下一步才能根据物理规律写出方程。提示：案例1只研究机械运动部分，电气部分留到案例2一起考虑。教材图示案例1图直流电动机转子转矩平衡系统示意图数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件14案例1图直流电动机转子转矩平衡系统示意图（电动机轴端带圆盘）Tₘ(t)电磁转矩电动机产生的驱动力矩，图中以逆时针为正方向。T_L(t)负载转矩负载施加的阻力矩，图中以顺时针为正方向，阻碍转子运动。B、J摩擦与惯量B为粘性摩擦系数，J为转动惯量，二者决定转速建立的动态过程。例题精讲案例1根据物理规律建立方程数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件15转动形式的牛顿第二定律摩擦转矩的处理电动机产生的电磁转矩主要用于克服负载转矩、克服摩擦转矩以及使转子产生角加速度；在粘性摩擦模型下，摩擦转矩可以表示为T_f(t)=B·ω(t)。转矩平衡方程整理后：这就是该机械系统的微分方程模型3忽略负载转矩的情况如果暂时不考虑外部负载，即T_L(t)=0，则系统的微分方程变为一阶常微分方程。可以看到：方程的阶次等于系统中独立储能元件的个数——这里只有转动惯量J一个储能元件，故为一阶。知识要点案例1微分方程中各项的物理意义数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件16把微分方程读成物理语言J·dω/dt使转子产生角加速度（惯性项）B·ω克服粘性摩擦（耗能项）Tₘ电动机产生的电磁转矩（输入）电动机产生的电磁转矩并不会全部用于提高转速其中一部分用于克服机械摩擦，剩余部分用于改变转子的运动状态。当转速不再变化（稳态）时，dω/dt=0，电磁转矩全部用于克服摩擦。微分方程的意义并不只是“进行数学计算”而是将系统中的物理规律、动态特性和输入输出关系用数学形式表达出来。方程中每一项都对应一个真实的物理效应，写方程的过程就是梳理系统能量流向的过程。读方程的方法写方程前先规定正方向，再按“与正方向一致取正、相反取负”处理每一项；逐项问三个问题：这一项是什么物理量？它的方向与转向一致还是相反？它是储能项还是耗能项？例题精讲案例1由微分方程得到传递函数数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件17零初始条件下的微分方程进行拉普拉斯变换整理、提取Ω(s)因此（该机械系统的传递函数）由此建立的知识联系机械物理规律→微分方程→拉普拉斯变换→传递函数。这也是后续建立控制系统数学模型的重要基础。对照方程中J·s+B就是“惯量项+摩擦项”在s域中的表达，分母就是一阶系统的特征多项式。例题精讲案例2建立直流电动机的数学模型数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件18【案例2】【题目】考虑一台他励直流电动机，电枢电阻为R，电枢电感为L，反电动势系数为Kₑ，转矩系数为Kₜ，转子的转动惯量为J，粘性摩擦系数为B。以电枢电压uₐ(t)为输入，以电动机角速度ω(t)为输出，忽略其他损耗，建立该直流电动机的微分方程模型。与案例1的差别案例1只研究机械运动部分；实际的机电控制系统通常同时包含电气部分和机械部分；二者相互影响、相互耦合；直流电动机就是一个典型的机电耦合系统。本案例要做什么把电气部分与机械部分都写成微分方程；电气与机械之间通过电枢电流、电磁转矩和反电动势相互联系；最终得到以电枢电压为输入、角速度为输出的完整模型。思路先分别建立电气方程和机械方程，再消去中间变量，把两个一阶方程化为一个关于转速的二阶方程。教材图示案例2图直流电动机的物理系统与数学模型数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件19案例2图电气部分、直流电动机、机械部分及其机电耦合①电气部分（电枢回路）KVL：uₐ=R·iₐ+L·diₐ/dt+e_b；反电动势e_b与uₐ相反。②直流电动机机电能量转换核心：iₐ经转矩系数Kₜ产生电磁转矩Tₘ，电能→机械能。③机械部分（转子动力学）Tₘ驱动转子，B·ω阻碍运动；转子旋转又产生反电动势e_b=Kₑ·ω，返回电枢回路。知识要点案例2系统的输入、输出及内部变量数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件20系统的基本能量传递过程uₐ(t)→iₐ(t)→Tₘ(t)→ω(t)同时ω(t)→e(t)输入uₐ(t)：电动机的电枢电压。输出ω(t)：电动机的角速度。内部变量电枢电流iₐ(t)、电磁转矩Tₘ(t)、反电动势e(t)。为什么说是“电气—机械耦合系统”一方面电枢电压产生电流，电流产生电磁转矩，转矩驱动转子旋转——能量由电气侧流向机械侧；另一方面转子旋转又产生反电动势，反过来影响电枢回路的电流——能量又由机械侧反馈回电气侧。正向通道电气→机械uₐ→iₐ→Tₘ→ω反馈通道机械→电气ω→e（反电动势）提示正因为存在这条反馈通道，直流电动机才必须用联立微分方程来描述。例题精讲案例2建立电气部分的微分方程数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件21根据基尔霍夫电压定律（KVL），电枢回路满足R·iₐ(t)电枢电阻上的电压降L·diₐ/dt电枢电感产生的感应电压e(t)电动机旋转产生的反电动势反电动势与转速的关系对于他励直流电动机，在磁通保持不变的条件下，反电动势与转速成正比：e(t)=Kₑ·ω(t)。因此，电气部分的微分方程为符号约定图中电枢回路方程写作uₐ(t)=R·iₐ(t)+L·diₐ/dt+e_b(t)，其中反电动势e_b(t)的方向与外加电压uₐ(t)的作用方向相反，所以移到等号左边时带正号。例题精讲案例2建立机械部分的微分方程数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件22电磁转矩与电枢电流成正比转动形式的牛顿第二定律代入Tₘ(t)=Kₜ·iₐ(t)机械方程中各项的来源等号左边：使转子产生角加速度的转矩J·dω/dt，克服粘性摩擦的转矩B·ω(t)；等号右边：电磁转矩Kₜ·iₐ(t)减去负载转矩T_L(t)。把两部分写在一起电气方程：L·diₐ/dt+R·iₐ+Kₑ·ω=uₐ机械方程：J·dω/dt+B·ω=Kₜ·iₐ−T_L这两个方程共同构成了直流电动机的机电系统数学模型（含中间变量iₐ）。知识要点案例2直流电动机的完整微分方程模型数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件23电气部分（电枢回路）机械部分（转子动力学）两个方程的相互关系电气部分和机械部分之间通过电枢电流iₐ、电磁转矩Tₘ和反电动势e相互联系，形成一个完整的动态系统。由此可以看出，一个实际机电系统可能需要使用多个微分方程进行描述。耦合在哪iₐ出现在两个方程中——它既是电气方程的变量，又是机械方程中转矩的来源；ω出现在两个方程中——它既是机械方程的输出，又通过反电动势影响电气回路。思考：两个方程里都有iₐ，说明它只是一个“中间变量”——把它消掉，就能得到uₐ与ω的直接关系。例题精讲案例2消去中间变量，得到关于转速的二阶方程数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件24前提：假设负载转矩为零，即T_L(t)=0此时两个方程变为：L·diₐ/dt+R·iₐ+Kₑ·ω=uₐ与J·dω/dt+B·ω=Kₜ·iₐ。由机械方程解出中间变量iₐ将其代入电气方程，把iₐ及其导数一起消去，经过整理可以得到：以电枢电压为输入、角速度为输出的二阶微分方程为什么是二阶方程中出现了d²ω/dt²：电枢电感L储存电磁能量，转动惯量J储存机械动能，系统中有两个独立的储能元件，因此是二阶系统。对照案例1只有转动惯量J一个储能元件，所以是一阶方程；案例2多了一个电感L，所以升为二阶。知识要点从两个案例认识微分方程模型数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件25关键不是“记住某一个公式”建立控制系统微分方程的关键，是掌握从物理系统到数学模型的转换过程。案例1机械系统：转动形式的牛顿第二定律；只含机械运动部分，一个储能元件J，一阶方程案例2机电系统·电气部分：与机械方程联立，两个储能元件L、J，二阶方程案例2机电系统·机械部分对一个新的机电控制对象，可以按以下五步建立数学模型①确定研究对象→②确定输入量和输出量→③分析系统内部的物理过程→④根据物理定律建立微分方程→⑤对模型进行化简、检查和验证结论两个案例的共同点：都从物理定律出发，都先写“原始方程”再整理成标准形式；区别在于案例2有两个子系统，必须联立并消去中间变量。知识要点模型建立时的四种检查方法数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件261检查量纲方程两边的物理量必须具有相同的量纲。例如J·dω/dt的量纲应当与转矩T相同。2检查正负号对于电气系统和机械系统，应根据电流方向、电压方向、转矩方向等规定确定正负号；避免因符号定义不一致导致模型错误。3检查特殊情况例如电动机达到稳定状态时dω/dt=0，机械方程应变为B·ω=Tₘ；此时电磁转矩与摩擦转矩达到平衡，符合实际物理规律。4检查模型的合理性如果模型预测的系统行为与实际物理规律明显矛盾，例如输入增加后输出反而无限制地减小，就需要重新检查模型中的参数、符号和假设条件。为什么必须检查建立微分方程后，不能只检查数学推导是否正确，还应从工程角度检查模型是否合理——模型的目的是认识真实系统，而不是完成一次代数练习。稳态检验的一个例子令dω/dt=0，机械方程退化为B·ω=Tₘ：电磁转矩全部用于克服摩擦，转速不再变化。若模型在稳态下给不出这个结论，说明符号或假设有问题。知识要点知识拓展：为什么机电系统会出现高阶微分方程数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件27阶次从哪里来在控制系统中，微分方程的阶次通常与系统中能够独立储存能量的动态环节有关。电枢电感L能够储存电磁能量；电流不能突变，产生电气动态。转动惯量J能够储存机械动能；转速不能突变，产生机械动态。对应电气时间常数对应机电时间常数两个动态叠加的结果电动机同时具有电气动态和机械动态；将电流变量消去后，就可能得到二阶微分方程。这说明控制系统的数学模型不仅是对输入输出关系的描述，也反映了系统内部的动态特性。后续会用到在后续学习传递函数、状态空间模型和系统动态性能时，还会进一步利用这些数学模型研究系统的稳定性、快速性和准确性。思考练习2.2.2思考带着问题回到物理过程数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件28思考题①如果忽略电枢电感L，直流电动机的数学模型会发生什么变化？②如果负载转矩T_L突然增大，电动机的转速会发生怎样的变化？请结合机械运动方程进行解释。③如果电动机转速升高，为什么电枢电流不会无限增大？请从反电动势的角度进行分析。④对于案例2，如果忽略粘性摩擦，即令B=0，重新写出电动机的数学模型。⑤尝试以“输入—系统—输出”的形式画出直流电动机的控制系统结构图，并标出其中的反馈关系。学习提示建立微分方程时，不要把重点放在“套公式”上。首先要弄清楚系统中发生了什么物理过程，然后选择相应的物理定律，最后将这些物理规律转换成数学方程。会从物理系统建立数学模型，是学习控制原理的重要基础。建议对照案例1与案例2的方程，逐项说出每一项的物理含义。自查标准能独立说出案例1的一阶方程与案例2的二阶方程分别由哪几个储能元件决定，并能解释反电动势在耦合中的作用。2.2.3拉普拉斯变换定义与常用函数表·八条主要性质·零初始条件·例2-4~例2-6为什么用→定义→常用函数→主要性质→三个例题机电系统控制原理及应用·数字教材配套授课课件知识储备为什么控制系统需要拉氏变换数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件30先回顾一个问题在前面已经知道，可以根据系统的物理规律建立微分方程。例如直流电动机的机械运动可以表示为：J·dω(t)/dt+B·ω(t)=Tₘ(t)。微分方程的局限微分方程能够准确描述系统的动态规律；但直接求解微分方程往往比较繁琐；当系统由多个环节组成时，计算过程会变得更加复杂；例如一个机电系统可能同时包含电阻电感等电气环节、电机的机械惯性环节、传感器环节、放大器与执行机构。环节组合后的结果这些环节组合后，系统的数学模型可能成为高阶微分方程；求高阶微分方程的解（尤其是含初始条件时）非常麻烦；为了简化动态系统的分析和计算，可以采用一种重要的数学工具——拉普拉斯变换（LaplaceTransform），简称拉氏变换。拉氏变换的核心作用把以时间t为自变量的微分方程，转换为以复变量s为自变量的代数方程。这样，原来需要进行微分、积分的动态问题，就可以转化为相对容易处理的代数运算。在知识链中的位置这也是控制理论中从微分方程模型进一步建立传递函数模型的关键步骤。知识要点拉氏变换到底改变了什么数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件31一句话概括微分方程——（拉氏变换）——→代数方程时间域微分、积分运算；求解需要初始条件；高阶方程求解繁琐。s域代数运算；乘除、通分、部分分式；把动态问题变成解方程。桥梁拉氏变换是建立传递函数的数学工具；传递函数是控制系统的一种数学模型。两者不可混淆。拉氏变换并没有改变系统本身的物理规律机械系统仍然满足牛顿运动定律，直流电动机仍然满足电路规律和机械运动规律；拉氏变换做的事情是改变描述系统的数学形式，使微分运算转化为代数运算，从而更加方便地研究系统的输入、输出和动态特性。记住拉氏变换是一台“数学转换机”：换的是描述形式，不换物理本质。知识要点拉氏变换的基本概念数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件32对于时间函数f(t)，其单边拉普拉斯变换定义为（积分下限取0⁻，上限取∞）f(t)时间域函数（原函数）F(s)f(t)的拉氏变换（像函数）t时间变量s=σ+jω拉普拉斯变换中的复变量为什么用单边拉氏变换在控制工程中通常采用单边拉氏变换，因为控制系统往往需要考虑系统在t=0时刻的初始状态；积分下限取0⁻可以完整地把t=0时刻可能出现的跳变（如阶跃输入）包含进来。学习的重点对于初学者而言，没有必要一开始深入研究积分定义。学习本课程时更重要的是掌握：常用函数的拉氏变换关系，以及如何利用拉氏变换处理微分方程。后面会用定义式推导单位脉冲、单位阶跃和指数函数三个最常用的变换，以理解公式的来源。知识要点表典型函数的拉普拉斯变换表（一）典型输入信号数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件33单位脉冲δ(t)单位阶跃1(t)单位斜坡t抛物线t²/2这四条的规律单位脉冲的像函数是常数1；单位阶跃、斜坡、抛物线的像函数分母分别是s、s²、s³——时域中积分一次，s域中分母就多乘一个s。怎么用这张表正用：给出f(t)直接查F(s)；反用：给出F(s)查f(t)（拉氏反变换）。前四个是控制系统的典型输入信号，下一张表是常见的时间函数。知识要点表典型函数的拉普拉斯变换表（二）常见时间函数数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件34指数e^(−at)正弦sinωt余弦cosωtt·e^(−at)这四条怎么认分母里出现s+a，原函数就是衰减指数；出现s²+ω²，原函数就是正弦或余弦——分子是ω对应正弦，分子是s对应余弦；t·e^(−at)相当于把1/(s+a)再平方。注意这些像函数都是由定义式积分求得的，下一页以单位脉冲、单位阶跃和指数函数为例演示推导过程。例题精讲用定义（积分）推导三个常用变换数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件35（1）单位脉冲函数δ(t）利用冲激函数的筛选性质∫δ(t)·φ(t)dt=φ(0)，单位脉冲函数的像函数为1。（2）单位阶跃函数u(t）注意：当t→∞时e⁻ˢᵗ→0（s>0），故单位阶跃函数的像函数为1/s。（3）指数函数e^(−at）当a=0时，e⁻ᵃᵗ退化为单位阶跃函数u(t)，像函数1/(s+a)也相应变为1/s，与（2）一致。知识要点单位阶跃函数：控制系统中最重要的输入信号数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件36单位阶跃函数的定义单位阶跃函数的拉氏变换幅值为A的阶跃信号r(t)=A的拉氏变换为什么它最重要单位阶跃函数是控制系统中非常重要的一种输入信号：它模拟“突然给定一个常值指令”的工况，既能考察系统的快速性，也能考察准确性与稳定性。对照记忆单位阶跃↔1/s，幅值为A的阶跃↔A/s：幅值只是把像函数整体放大A倍。时域里“跳一下”的信号，在s域里就是1/s。知识要点表拉普拉斯变换的主要性质（一）线性·微分·积分·位移数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件37线性性质处理复杂函数的叠加微分定理将微分方程转为代数方程积分定理将积分方程转为代数方程位移定理函数平移的方便工具这四条怎么用线性性质是“逐项取拉氏变换”的依据；微分定理把“求导”变成“乘s”；积分定理把“积分”变成“除以s”；位移定理处理e^(at)·f(t)这类函数。前三条正是把微分方程、积分方程变成代数方程的关键。重点八条性质中最常用的是线性性质、微分定理与积分定理——前两条把微分方程变成代数方程，第三条把积分方程变成代数方程。知识要点表拉普拉斯变换的主要性质（二）延迟·初值·终值·卷积数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件38延迟定理处理延迟环节初值定理判断系统初始值终值定理判断系统稳态值卷积定理环节串联的运算简化这四条怎么用延迟定理处理纯延迟环节，与传递函数里的e^(−τs)一一对应；初值定理与终值定理不必求反变换，直接用sF(s)的极限就能得到f(t)的初值与稳态值；卷积定理把时域的卷积变成s域的相乘，是串联环节相乘的数学依据。对照记忆微分定理乘s，积分定理除以s，延迟定理乘e^(−τs)，卷积定理变相乘——八条性质合起来，就是s域里做代数运算的全部依据。例题精讲性质推导（一）：线性性质与微分定理数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件39（1）线性性质的推导：由拉氏变换的定义式直接可得即线性性质成立，其中a、b为常数。这条性质是后面“逐项取拉氏变换”的依据。（2）微分定理的推导：由定义式对f′(t)作拉氏变换，并利用分部积分其中利用了当t→∞时e⁻ˢᵗ→0（s>0）的条件。同理，对二阶导数反复应用微分定理要点微分定理把“求导”变成“乘s”，代价是要减去初始条件项——这正是零初始条件如此重要的原因。例题精讲性质推导（二）：积分定理与线性性质的应用数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件40（3）积分定理的推导：设g(t)为f(t)在0⁻到t上的积分因此（零初始条件下）（4）线性性质应用示例：设f(t)=3·dx(t)/dt+5x(t)，在零初始条件下作拉氏变换这说明什么原来包含微分运算的表达式经过拉氏变换后，已经变成了代数表达式(3s+5)·X(s)——微分运算变成了乘以s，剩下的只是多项式乘法。小结积分定理与微分定理互为逆运算：一个乘s，一个除以s。知识要点为什么微分方程经过拉氏变换后会变成代数方程数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件41这是学习拉氏变换时最重要的内容之一有了前面的微分定理，就可以回答这个问题。一阶导数的拉氏变换二阶导数的拉氏变换三阶导数则为从这些关系可以发现结论在拉氏变换域中，微分运算可以转化为乘以s。这正是拉氏变换能够简化控制系统数学模型的关键原因。知识要点零初始条件下的拉氏变换数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件42什么是零初始条件在控制系统中研究传递函数时，通常采用零初始条件。所谓零初始条件，是指在输入作用开始之前，系统处于规定的初始静止状态，即f(0⁻)=0。零初始条件下一阶导数的拉氏变换零初始条件下二阶导数的拉氏变换可以简单记忆（零初始条件下）需要注意“零初始条件”是建立传递函数时的重要条件，而不是说所有控制系统在任何情况下初始状态都为零。如果需要研究系统的实际初始状态，则必须保留拉氏变换公式中的初始条件项。写传递函数前，先说清楚“采用零初始条件”。例题精讲例2-4典型函数的拉氏变换数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件43例2-4【题目】求以下三个典型函数的拉普拉斯变换：单位阶跃函数1(t)、正弦函数sin(ωt)、指数函数e⁻ᵃᵗ。（1）单位阶跃（2）正弦函数（3）指数函数（4）令a=0用定义式求变换的三步①写出定义式：F(s)=∫f(t)·e⁻ˢᵗdt（下限0⁻，上限∞）。②把f(t)代入，先合并指数项，例如e⁻ᵃᵗ·e⁻ˢᵗ=e⁻⁽ˢ⁺ᵃ⁾ᵗ。③积分并代入上下限；注意t→∞时e⁻ˢᵗ→0（s>0）。把三步用在阶跃、正弦、指数上，就得到三个最常用的结果；三个结果分别代表常值、振荡和衰减三种基本运动形式。其余像函数同样可以由定义式积分得到，不必逐个死记；遇到不熟悉的函数时，回到定义式积分总是可行的办法。怎么记：阶跃1/s、正弦ω/(s²+ω²)、指数1/(s+a)——分母里出现s²+ω²就是振荡，出现s+a就是衰减指数。例题精讲例2-5拉氏反变换（方法一：比较系数法）数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件44例2-5·方法一【题目】求F(s)=(s+3)/(s²+3s+2)的拉普拉斯反变换，即求f(t)=L⁻¹{F(s)}。①因式分解并设待定系数②通分后比较分子③比较系数、解方程组部分分式分解的标准流程①分母因式分解，找出全部极点；②按极点写出待定的分式之和；③通分，比较分子各项系数；④解方程组，求出各待定系数；⑤逐项查表作拉氏反变换。本例的极点为s=−1与s=−2，互不相同且均为一次因子。把分母分解彻底是关键：漏掉一个极点就会少设一个待定系数。最终结果例题精讲例2-5拉氏反变换（方法二：赋值法/遮盖法）数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件45例2-5·方法二【题目】赋值法的基本思想：先消去一个因子，再令s取使另一个因子为零的值，从而直接求出对应的系数。求A：两边乘(s+1)，令s=−1求B：两边乘(s+2)，令s=−2逐项取拉氏反变换赋值法的四个要点①只适用于分母已分解为互不相同一次因子的情形；②求某个系数时，两边同乘该系数对应的分母因子；③再令s取该因子的零点，其余因子照常代入；④与比较系数法结果完全一致，可互相验证。一般地：F(s)=P(s)/[(s+a)(s+b)]，求A令s=−a，求B令s=−b。“遮盖法”这个名字来自操作习惯：用手遮住某个分母因子，把s的取值代入剩下的部分。如果分母出现重根或复根，赋值法不再够用，应回到比较系数法。记忆口诀要求哪个系数，就令对应的那个分母因子为零。知识要点例2-5两种方法对比与一般规律数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件46方法基本思路特点比较系数法通分、展开后比较各项系数，列方程组求解步骤规范，适用于各种情况赋值法（遮盖法）令s取分母因子对应的零点，直接求系数计算快速，特别适合互不相同的一次因子学习建议比较系数法是理解部分分式分解的基础，建议首先掌握；当分母已经分解为互不相同的一次因子时，可进一步使用赋值法快速求系数。一般地求系数的规律求A时令s=−a；求B时令s=−b。即“要求哪个系数，就令对应的那个分母因子为零”。该方法也是留数法在简单有理函数情形下的直接应用；教材中称赋值法或遮盖法，更加直观。口诀要求哪个系数，就令对应的那个分母因子为零。例题精讲例2-6用拉氏变换求解微分方程（方法一）数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件47例2-6·方法一【题目】求方程y″+3y′+2y=1（t>0），且y(0)=y′(0)=0的解。①方程两边取拉氏变换②解出Y(s)并部分分式分解③两边同乘s(s+1)(s+2)④展开整理⑤比较系数本例的三个极点Y(s)=1/[s(s+1)(s+2)]，极点为0、−1、−2。三个极点互不相同，且都对应一次因子。因此既可用比较系数法，也可用赋值法逐个求系数。先用拉氏变换把微分方程变成代数方程，再解出Y(s)，最后逐项反变换。注意零初始条件的作用：y(0)=y′(0)=0使L{y″}=s²Y(s)、L{y′}=sY(s)，不再有附加项。右端的1也要取变换：L{1}=1/s，这一项不要漏掉。⑥结果例题精讲例2-6用拉氏变换求解微分方程（方法二）数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件48例2-6·方法二【题目】赋值法（遮盖法）：基本思想与例2-5相同——先消去一个因子，再令s取使该因子为零的值，直接求出对应系数。①求A：两边乘s，令s=0②求B：两边乘s+1，令s=−1③求C：两边乘s+2，令s=−2两种方法的结果对照比较系数法：A=1/2，B=−1，C=1/2。赋值法（遮盖法）：A=1/2，B=−1，C=1/2。两者结果完全一致，可以互相验证。赋值法更快，适合互不相同的一次因子；比较系数法更通用，能处理重根与复根。最后一步逐项查表：1/s→1，1/(s+1)→e⁻ᵗ，1/(s+2)→e⁻²ᵗ。结果说明：一个二阶微分方程在单位阶跃输入下的解，由常数项与两个衰减指数项叠加而成。最终结果知识要点2.2.3知识小结：拉氏变换的四点收获数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件49（1）拉氏变换的作用将时间域中的函数转换到s域：f(t)→F(s)。（2）微分的拉氏变换完整形式L{df/dt}=s·F(s)−f(0⁻)；零初始条件下L{df/dt}=s·F(s)。（3）微分方程可转换为代数方程例如J·dω/dt+B·ω=Tₘ经过拉氏变换得(J·s+B)·Ω(s)=Tₘ(s)。（4）可以进一步建立传递函数G(s)=Ω(s)/Tₘ(s)=1/(J·s+B)。控制系统数学模型的建立过程可以概括为物理系统→微分方程→拉氏变换→传递函数学习提示学习拉氏变换时，应始终把数学运算与实际控制系统联系起来：看到一个微分方程，要想到“这是系统的动态规律”；看到s，要想到“这是转换到s域后的数学表达”；看到传递函数，就要想到输入经过系统后输出将如何变化。记住拉氏变换换的是形式，不换物理规律；只有把数学与实际系统对应起来，才算真正掌握。思考练习2.2思考与练习（一）拉氏变换数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件50基础题①为什么控制系统分析中常用拉氏变换，而不是直接求解微分方程？②写出以下函数的拉氏变换：1、t、e⁻ᵃᵗ、sinωt。③在零初始条件下，求下列微分方程的s域表达式：3·dy(t)/dt+2y(t)=x(t)。④已知某机械系统的运动方程为2·dω(t)/dt+5ω(t)=T(t)，在零初始条件下，求系统的传递函数G(s)=Ω(s)/T(s)。提高题⑤已知某系统的传递函数为G(s)=5/(2s+1)，当输入为单位阶跃信号时，求输出Y(s)，并进一步分析系统的稳态输出。⑥对直流电动机模型进行思考：为什么电枢电压与转速之间的传递函数通常包含二阶多项式？试从电枢电感和转动惯量两个方面解释。⑦用赋值法求F(s)=(s+3)/[(s+1)(s+2)]的系数，并与比较系数法的过程对照。自查标准能写出常用函数的拉氏变换、会用微分定理处理微分方程、能用两种方法完成部分分式分解，并能说明“零初始条件”在建立传递函数中的作用。2.2.4传递函数与典型环节的数学模型传递函数的概念·零点与极点·求系统响应·典型环节一览·例2-7/例2-8概念辨析→零点极点→求响应→典型环节→两个例题机电系统控制原理及应用·数字教材配套授课课件知识要点传递函数的概念：与拉氏变换的区别数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件52拉氏变换是一种数学变换方法f(t)——（L）——→F(s)它可以将时间域函数转换到s域；它是一种工具，本身不是系统的模型；任何满足条件的函数都可以做拉氏变换。传递函数是一种数学模型对于线性定常系统，在零初始条件下，传递函数定义为G(s)=Y(s)/X(s)；其中X(s)为输入信号的拉氏变换，Y(s)为输出信号的拉氏变换。线性定常系统在零初始条件下的传递函数两个概念不能混为一谈拉氏变换是建立传递函数的重要数学工具，而传递函数是控制系统的一种数学模型。换句话说：传递函数必须借助拉氏变换才能定义，但拉氏变换并不等于传递函数。辨一辨问“f(t)的拉氏变换是什么”——这是数学题；问“系统的传递函数是什么”——这是模型题。一个只与f(t)有关，一个只与系统本身的结构和参数有关。知识要点传递函数的零点与极点数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件53传递函数是s的有理分式，分子与分母都可以分解为因式的乘积零点使N(s)=0的根记作z₁,z₂,…,z_m，称为系统的零点；零点使输出为零；主要影响系统的稳态和动态过程的形状；零点的个数m与极点的个数n共同决定分子分母多项式的阶次关系。极点使D(s)=0的根记作p₁,p₂,…,p_n，称为系统的极点；极点也就是系统的特征根；极点决定了系统自由运动的形态；直接决定系统的稳定性和动态响应特性；是分析控制系统时最需要关注的量。零点与极点的共同点极点与零点都是传递函数本身固有的属性，只取决于系统内部的结构和参数，与输入信号无关。记住极点决定“系统自己怎么动”（稳定性、单调还是振荡、快还是慢），零点决定“输出怎么起变化”（形状）。知识要点极点位置的作用：以一阶惯性环节为例数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件54一阶惯性环节的传递函数（例）极点在哪里极点位于s=−1/T，落在s平面的负实轴上；该传递函数没有零点；极点只有一个，故系统为一阶系统；时间常数T越大，极点离虚轴越近。极点带来什么正是这个负实轴上的极点，决定了系统阶跃响应y(t)=1−e^(−t/T)按指数规律衰减；衰减快慢由时间常数T（即极点位置）决定：T越小，极点越靠左，衰减越快、响应越快。极点位置是分析控制系统时最需要关注的量极点位于s平面的什么位置，决定了系统是否稳定、响应是单调还是振荡、响应快还是慢。后续2.3节将详细讨论极点位置与阶跃响应曲线的关系。读图方法把分母写成s+1/T的形式，极点就是−1/T；极点越靠左，指数衰减越快，系统响应越快。知识要点利用拉氏变换求系统响应数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件55拉氏变换的第二个用途拉氏变换不仅可以用于建立传递函数，还可以用于求系统在特定输入下的输出响应。某一阶系统的传递函数施加单位阶跃输入r(t)=1根据Y(s)=G(s)·R(s)部分分式展开+拉氏反变换知识链系统模型→G(s)→输入R(s)→Y(s)→y(t)；这将为后续学习系统动态响应、稳定性和性能指标奠定基础。知识要点表典型环节传递函数一览（一）比例·积分·微分数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件56比例环节电阻分压器、比例运放、齿轮减速器积分环节水箱水位、电容电量微分环节理想微分运放（具有超前作用）看这张表的三个角度（一）看微分方程：判断这个环节里有没有储能元件、有没有惯性；看传递函数：分子分母的s次幂决定它是比例、积分还是微分环节。提示比例环节只放大不改变形状；积分环节把输入“累加”起来，s域中分母多一个s；微分环节对输入的变化率敏感，具有超前作用。知识要点表典型环节传递函数一览（二）一阶惯性·二阶振荡·延迟数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件57一阶（惯性）环节RC电路、弹簧阻尼系统二阶（振荡）环节RLC串联电路、质量-弹簧-阻尼系统延迟环节传感器检测、传输通道延迟看这张表的三个角度（二）看实例：把抽象环节与具体物理对象对应起来，便于识别；看阶次：分母出现Ts+1是一阶惯性，出现s²+2ξωₙs+ωₙ²是二阶振荡，出现e^(−τs)是纯延迟。提示典型环节是把复杂系统拆开分析的基本“积木”：任何复杂传递函数都可以看成这些环节的组合。例题精讲例2-7RC电路传递函数（解析法建模实例）数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件58例2-7【题目】RC电路原理图：输入U₁(t)，输出U₂(t)（电容两端电压）。试求该电路的传递函数。列方程消去中间变量i(t)零初始条件下作拉氏变换传递函数（T=RC）例2-7图RC电路原理图读图要点输入U₁(t)加在R与C的串联电路两端；输出U₂(t)取电容两端电压。电容上的电流与电压关系为i=C·dU₂/dt，它不是代数关系，所以必须用微分方程描述。结论：RC电路是一个典型的一阶惯性环节，时间常数T=RC决定了充放电的快慢。例题精讲例2-8直流电动机传递函数（建模与化简）数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件59例2-8·建模【题目】直流电动机的电路原理图如图所示，试确定电动机转速与电枢电压之间的传递函数。电枢电路与反电动势电磁转矩与运动方程建模思路分析：需要分析改变电枢电压对电动机转速的影响，因此以电枢电压为输入量、电动机转速为输出量列写数学模型，负载转矩为扰动量。消去中间变量（iₐ、M、E），并将微分方程整理成标准形式，即可得到含扰动量M_L的标准形式微分方程（见下一页）。例2-8图直流电动机电路原理图读图要点电枢回路中含有电枢电阻Rₐ、电枢电感Lₐ与反电动势E；M为电磁转矩，M_L为负载转矩（扰动量）；输入是电枢电压uₐ，输出是电动机转速ω。方法：先列写全部原始关系式，再消去中间变量，最后整理成标准形式——这是解析法建模的标准三步。例题精讲例2-8标准形式与传递函数数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件60消去中间变量，并将微分方程整理成标准形式Tₘ机电时间常数（由电枢电阻、转动惯量与两个系数共同决定）T_l电磁时间常数（由电枢电感与电枢电阻之比决定）如不考虑负载转矩，即设M_L=0，上述微分方程简化为对上式进行拉氏变换，得到直流电动机的传递函数（二阶系统）结论直流电动机以电枢电压为输入、以角速度为输出时，是一个二阶系统，分母由两个时间常数Tₘ、T_l构成。2.2.5系统动态数学模型串联/并联/反馈·闭环传递函数·两个案例·常见错误与小结三种连接→闭环传递→交互工具→两个案例→常见错误机电系统控制原理及应用·数字教材配套授课课件知识储备动态结构图的基本连接数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件62什么是动态结构图动态结构图（方块图）把系统各环节用传递函数的框图表示，并按信号传递方向联结起来；它揭示系统内部各环节的数学关系和信号传递过程。①串联连接前一个环节的输出即为后一环节的输入。②并联连接各环节输入相同，总输出为各环节输出的代数和。③反馈连接输出经过反馈环节后与输入相加减，再作用到前向通道环节。①串联等效传递函数②并联等效传递函数③负反馈闭环传递函数三种连接的作用任何复杂的动态结构图都可以通过环节的等效变换化简为这三种基本连接的组合；串联求积、并联求和、反馈求闭环——这是结构图化简的三条基本规则。接下来先分别看三种连接的结构图与传递函数，再讨论给定输入与扰动同时作用时的闭环传递函数。教材图示动态结构图的基本连接①串联连接数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件63串联连接动态结构图连接方式前一个环节的输出即为后一环节的输入。等效传递函数G(s)=G₁(s)·G₂(s)——串联相乘。工程含义多个环节依次作用，总效果等于各环节传递函数的乘积。要点串联相乘：信号依次经过每个环节，s域的乘法对应时域的卷积。教材图示动态结构图的基本连接②并联连接数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件64并联连接动态结构图连接方式各环节的输入相同，总输出为各环节输出的代数和。等效传递函数G(s)=G₁(s)±G₂(s)——并联相加（减）。符号注意相加还是相减由比较点的符号决定，与串联的“相乘”形成对照。要点并联相加：同一个输入同时送入各环节，输出在汇合点代数相加。教材图示动态结构图的基本连接③反馈连接数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件65反馈连接动态结构图连接方式输出经过反馈环节H(s)后与输入相加减，再作用到前向通道环节G(s)。负反馈公式Φ(s)=G(s)/[1+G(s)H(s)]。物理意义反馈把输出“送回来”与输入比较，用偏差驱动前向通道，是闭环控制的骨架。要点反馈求闭环：分母1+G(s)H(s)就是闭环特征多项式，它的根决定闭环系统的稳定性。知识要点闭环传递函数：给定输入与扰动同时作用数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件66典型反馈系统的总输出是输入量和扰动量各自作用的叠加扰动加入在G₁(s)与G₂(s)之间，因此需要分别求出两条通道的传递函数再叠加。系统总输出系统误差传递函数两条通道R(s)经前向通道直接产生输出；N(s)从中间加入，只经过G₂(s)。共同的分母两条通道共用1+G₁(s)G₂(s)H(s)，即闭环特征多项式。结论闭环传递函数的分母与扰动无关——它由系统结构决定，因而决定了整个闭环系统的动态特性。教材图示典型反馈系统结构图给定输入R(s)与扰动N(s)同时作用数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件67典型反馈系统结构图——给定输入R(s)与扰动N(s)同时作用，扰动加入在G₁(s)与G₂(s)之间R(s)的作用经G₁(s)、G₂(s)前向传递到输出，并受H(s)反馈比较。N(s)的作用扰动从G₁与G₂之间加入，只经过G₂(s)影响输出。叠加原理线性系统的总输出等于各输入单独作用时输出的代数和。交互工具配套交互工具推荐数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件68拉普拉斯变换可视化工具laplace_visualizer.html作用：可直观观察拉普拉斯变换过程——把时间域函数与s域的像函数对应起来看，帮助理解“微分方程变代数方程”这件事到底发生了什么。零极点绘制工具pole_zero_plotter.html作用：可分析系统零极点分布——把零点、极点画在s平面上，直观看到极点位置与系统响应快慢、是否振荡之间的关系。怎么用这两个工具学完变换表与性质后，用可视化工具验证1/s、1/(s+a)等典型像函数的形状；学完零点与极点后，用零极点工具改一改极点位置，观察响应曲线的变化。提示两个工具位于教材网页版2.2节对应位置的“交互工具推荐”栏目中（分章节AI生课件与教案讲稿/交互工具/），在教材网页版中打开即可使用，无需安装。例题精讲案例1由机械系统微分方程建立传递函数数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件69案例1【题目】某机械系统的运动方程为J·dω(t)/dt+B·ω(t)=Tₘ(t)；其中J为转动惯量，B为粘性摩擦系数，Tₘ(t)为输入转矩，ω(t)为输出角速度。在零初始条件下，求系统从输入转矩Tₘ(t)到输出角速度ω(t)的传递函数。已知微分方程零初始条件下取拉氏变换提取Ω(s)用到的两条规则零初始条件：L{dω(t)/dt}=s·Ω(s)，不需要减初始条件项；线性性质：每一项分别取拉氏变换再相加；最后把结果写成输出比输入的形式，即G(s)=Ω(s)/Tₘ(s)。写成标准形式后可以看出：分母J·s+B就是该系统的一阶特征多项式。把2.2.2节与本案例接起来看：那里是“机械物理规律→微分方程”，这里是“微分方程→传递函数”。传递函数例题精讲案例2直流电动机传递函数的建立（电气与机械方程）数字教材第2章·2.2控制系统的数学模型配套授课课件70案例2·第一步【题目】直流电动机的微分方程模型为：L·diₐ(t)/dt+R·iₐ(t)+Kₑ·ω(t)=uₐ(t)与J·dω(t)/dt+B·ω(t)=Kₜ·iₐ(t)−T_L(t)。为了研究电枢电压与电动机转速之间的关系，假设T_L(t)=0，并采用零初始条件。求电枢电压uₐ(t)到电动机角速度ω(t)的传递函数。电气方程取拉氏变换机械方程取拉氏变换由机械方程解出Iₐ(s)两个方程→两个代数方程电气方程：(L·s