2027届吉林省松原第五中学九年级数学第一学期期末达标测试试题含解析

2027届吉林省松原第五中学九年级数学第一学期期末达标测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．已知a≠0，下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a3÷a2＝a D．（a2）3＝a52．下列各式与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．3．能判断一个平行四边形是矩形的条件是（）A．两条对角线互相平分 B．一组邻边相等C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等4．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点顺时针旋转一定角度所得，点A′与点A是对应点，则这个旋转的角度大小可能是（）A．45° B．60° C．90° D．135°5．已知点关于轴的对称点在反比例函数的图像上，则实数的值为（）A．-3 B． C． D．36．抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为A．b=2，c=﹣6 B．b=2，c=0 C．b=﹣6，c=8 D．b=﹣6，c=27．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．m C．m D．4m8．如图，在△ABC中，过点A作射线AD∥BC，点D不与点A重合，且AD≠BC，连结BD交AC于点O，连结CD，设△ABO、△ADO、△CDO和△BCO的面积分别为S1、S2、SA．S1=C．S1+9．如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知AB=1，BC=3，DE=1.2，则DF的长为（）A． B． C． D．10．如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF:FC等于（）A．3:2 B．3:1 C．1:1 D．1:211．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为1．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为()A．1π﹣ B．1π﹣9 C．12π﹣ D．12．若点，是函数上两点，则当时，函数值为（）A．2 B．3 C．5 D．10二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，AB是⊙Ｏ的直径，BC与⊙Ｏ相切于点B，AC交⊙Ｏ于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD=______度．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosB=，BC=4，那么AB的长为________．15．一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率为_______．16．___________17．方程的根是________．18．方程的解是．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点F是上一点，连接AF交CD的延长线于点E．（1）求证：△AFC∽△ACE；（2）若AC＝5，DC＝6，当点F为的中点时，求AF的值．20．（8分）小明同学解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的过程如图所示．解：x2﹣6x＝1…①x2﹣6x+9＝1…②（x﹣3）2＝1…③x﹣3＝±1…④x1＝4，x2＝2…⑤（1）小明解方程的方法是．（A）直接开平方法（B）因式分解法（C）配方法（D）公式法他的求解过程从第步开始出现错误．（2）解这个方程．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，.动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，设运动的时间为秒，.（1）直接写出关于的函数解析式及的取值范围：_______；（2）当时，求的值；（3）连接交于点，若双曲线经过点，问的值是否变化？若不变化，请求出的值；若变化，请说明理由.22．（10分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB=°，AB=．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．23．（10分）某小区为改善生态环境，实行生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分成三类：厨房垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为，并且设置了相应的垃圾箱“厨房垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为．（1）为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了小区三类垃圾箱中总共吨生活垃圾，数据统计如下图(单位：吨)：请根据以上信息，估计“厨房垃圾”投放正确的概率；（2）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图或列表格的方法求出垃圾投放正确的概率．24．（10分）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴和轴正半轴上，点的坐标是，点是边上一动点（不与点、点重合），连结、，过点作射线交的延长线于点，交边于点，且，令，.（1）当为何值时，？（2）求与的函数关系式，并写出的取值范围；（3）在点的运动过程中，是否存在，使的面积与的面积之和等于的面积.若存在，请求的值；若不存在，请说明理由.25．（12分）如图，在△ABF中,以AB为直径的圆分别交边AF、BF于C、E两点，CD⊥AF．AC是∠DAB的平分线，(1)求证：直线CD是⊙O的切线．(2)求证：△FEC是等腰三角形26．数学活动课上老师带领全班学生测量旗杆高度.如图垂直于地面的旗杆顶端A垂下一根绳子.小明同学将绳子拉直钉在地上，绳子末端恰好在点C处且测得旗杆顶端A的仰角为75°；小亮同学接着拿起绳子末端向前至D处，拉直绳子，此时测得绳子末端E距离地面1.5m且与旗杆顶端A的仰角为60°根据两位同学的测量数据，求旗杆AB的高度.（参考数据:sin75°≈0.97，cos75°≈0.26,sin60°≈0.87,结果精确到1米）

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算，选出正确答案．【详解】A、a2和a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、a2•a3＝a5，原式计算错误，故本选项错误；C、a3÷a2＝a，计算正确，故本选项正确；D、（a2）3＝a6，原式计算错误，故本选项错误．故选：C．本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方等运算，掌握运算法则是解答本题的关键．2、A【分析】根据同类二次根式的概念即可求出答案．【详解】解：（A）原式＝2，故A与是同类二次根式；（B）原式＝2，故B与不是同类二次根式；（C）原式＝3，故C与不是同类二次根式；（D）原式＝5，故D与不是同类二次根式；故选：A．此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．3、D【分析】根据矩形的判定进行分析即可；【详解】选项A中，两条对角线互相平分是平行四边形，故选项A错误；选项B中，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项B错误；选项C中，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C错误；选项D中，两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项D正确；故选D.本题主要考查了矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键.4、C【分析】如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角．【详解】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角，∴旋转角为90°故选：C．本题考查了图形的旋转，掌握作图的基本步骤是解题的关键5、A【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为，然后把A′的坐标代入中即可得到k的值．【详解】解：点关于x轴的对称点A'的坐标为，

把A′代入，得k=-1×1=-1．

故选：A．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．6、B【详解】函数的顶点坐标为（1，﹣4），∵函数的图象由的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，即平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．∴平移前的抛物线为，即y=x2+2x．∴b=2，c=1．故选B．7、B【解析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．【详解】解：∵sin∠CAB＝∴∠CAB＝45°．∵∠C′AC＝15°，∴∠C′AB′＝60°．∴sin60°＝，解得：B′C′＝3．故选：B．此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．8、D【解析】根据同底等高判断△ABD和△ACD的面积相等，即可得到S1+S2=S3+S2，即【详解】∵△ABD和△ACD同底等高，∴SS1即S△ABC和△DBC同底等高，∴S△ABC∴S故A,B,C正确，D错误.故选：D.考查三角形的面积，掌握同底等高的三角形面积相等是解题的关键.9、B【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：，，即，，，故选．本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10、D【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出，利用点E是边AD的中点得出答案即可．【详解】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴．故选D．11、A【分析】连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，AC=OC，则OD=2OC=1，CD=3，从而得到∠CDO=30°，∠COD=10°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD-S△COD，进行计算即可．【详解】解：连接OD，如图，∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，∴AC＝OC，∴OD＝2OC＝1，∴CD＝，∴∠CDO＝30°，∠COD＝10°，∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝﹣＝1π﹣，∴阴影部分的面积为1π﹣.故选A．本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．也考查了折叠性质．12、B【分析】根据点A(x1，5)，B(x2，5)是函数y=x2﹣2x+1上两对称点，可求得x=x1+x2=2，把x=2代入函数关系式即可求解．【详解】∵点A(x1，5)，B(x2，5)是函数y=x2﹣2x+1上两对称点，对称轴为直线x=1，∴x1+x2=2×1=2，∴x=2，∴把x=2代入函数关系式得y=22﹣2×2+1=1．故选：B．本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，以及二次函数的性质．求出x1+x2的值是解答本题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、80【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵BC是⊙O的切线，

∴∠ABC=90°，

∴∠A=90°-∠ACB=40°，

由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°.本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．14、6【分析】根据题意cosB=,得到AB=,代入计算即可.【详解】解：Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=，可知cosB=得到AB=，又知BC=4，代入得到AB=故填6.本题考查解直角三角形相关，根据锐角三角函数进行分析求解.15、【解析】试题分析：列表得：

黑1

黑2

白1

白2

黑1

黑1黑1

黑1黑2

黑1白1

黑1白2

黑2

黑2黑1

黑2黑2

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白2黑2

白2白1

白2白2

共有16种等可能结果总数，其中两次摸出是白球有4种.∴P（两次摸出是白球）=.考点：概率.16、【分析】代入特殊角度的三角函数值计算即可．【详解】故答案为：．本题考查了特殊角度的三角函数值计算，熟记特殊角度的三角函数值是关键．17、x1＝0，x1＝1【分析】先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】解：∵，∴，∴x(x-1)=0，x1＝0，x1＝1．故答案为：x1＝0，x1＝1．本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．18、【解析】解：，．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）【分析】（1）根据条件得出＝，推出∠AFC＝∠ACD，结合公共角得出三角形相似；（2）根据已知条件证明△ACF≌△DEF，得出AC＝DE，利用勾股定理计算出AE的长度，再根据（1）中△AFC∽△ACE，得出＝，从而计算出AF的长度.【详解】（1）∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径∴＝∴∠AFC＝∠ACD．∵在△ACF和△AEC中，∠AFC＝∠ACD，∠CAF＝∠EAC∴△AFC∽△ACE（2）∵四边形ACDF内接于⊙O∴∠AFD＋∠ACD＝180°∵∠AFD＋∠DFE＝180°∴∠DFE＝∠ACD∵∠AFC＝∠ACD∴∠AFC＝∠DFE．∵△AFC∽△ACE∴∠ACF＝∠DEF．∵F为的中点∴AF＝DF．∵在△ACF和△DEF中，∠ACF＝∠DEF，∠AFC＝∠DFE，AF＝DF∴△ACF≌△DEF．∴AC＝DE＝1．∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径∴CH＝DH＝2．∴EH＝8在Rt△AHC中，AH2＝AC2－CH2＝16，在Rt△AHE中，AE2＝AH2＋EH2＝80，∴AE＝4．∵△AFC∽△ACE∴＝，即＝，∴AF＝.本题属于圆与相似三角形的综合，涉及了圆内接四边形的性质，勾股定理，等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定定理等，解题的关键是灵活运用所学知识，正确寻找全等三角形.20、（1）C，②；（2）x1＝+1，x2＝﹣+1．【分析】（1）认真分析小明的解答过程即可发现其在第几步出现错误、然后作答即可；（2）用配方法解该二元一次方程即可.【详解】解：（1）由小明的解答过程可知，他采用的是配方法解方程，故选：C，他的求解过程从第②步开始出现错误，故答案为：②；（2）∵x2﹣6x＝1∴x2﹣6x+9＝1+9∴（x﹣1）2＝10，∴x﹣1＝±∴x＝±+1∴x1＝+1，x2＝﹣+1．本题考查解一元二次方程的解法，解答本题的关键是掌握一元二次方程的解法，主要方法有直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法.21、（1）；（2），；（3）经过点的双曲线的值不变.值为.【分析】（1）过点P作PE⊥BC于点E，依题意求得P、Q的坐标，进而求得PE、EQ的长，再利用勾股定理即可求得答案，由时间＝距离速度可求得t的取值范围；（2）当，即时，代入（1）求得的函数中，解方程即可求得答案；（3）过点作于点，求得OB的长，由，可求得，继而求得OD的长，利用三角函数即可求得点D的坐标，利用反比例函数图象上点的特征即可求得值.【详解】（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1：∵点B、C纵坐标相同，∴BC⊥y轴，∴四边形OPEC为矩形，∵运动的时间为秒，∴，在中，，，，∴，即，点Q运动的时间最多为：(秒)，点P运动的时间最多为：(秒)，∴关于的函数解析式及的取值范围为：；（2）当时，整理，得，解得：，.（3）经过点的双曲线的值不变.连接，交于点，过点作于点，如下图2所示.∵，，∴.∵，∴，∴，∴.∵，∴.在中，，，∴，，∴点的坐标为，∴经过点的双曲线的值为.本题考查了二次函数的应用－动态几何问题，解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，构造正确的辅助线是解题的关键.22、（1）75；4；（2）CD=4．【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=4，此题得解；（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．【详解】解：（1）∵BD∥AC，∴∠ADB=∠OAC=75°．∵∠BOD=∠COA，∴△BOD∽△COA，∴．又∵AO=3，∴OD=AO=，∴AD=AO+OD=4．∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，∴AB=AD=4．（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC=∠BEA=90°．∵∠AOD=∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴．∵BO：OD=1：3，∴．∵AO=3，∴EO=，∴AE=4．∵∠ABC=∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，AB=AC，∴AB=2BE．在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE）2，解得：BE=4，∴AB=AC=8，AD=1．在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+12=CD2，解得：CD=4．本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．23、（1）；（2）．【分析】（1）利用频率估计概率，通过计算“厨房垃圾”投放正确的百分比估计“厨房垃圾”投放正确的概率．（2）先画树状图展示所有9种可能的结果数，再找出垃圾投放正确的结果数，然后根据概率公式计算；【详解】解：（1）∵∴估计“厨房垃圾”投放正确的概率为；画树状图如下∵共有种等可能的结果数，其中垃圾投放正确的结果数为，∴垃圾投放正确的概率为故答案是：（1）；（2）本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件的结果数目，求出概率．24、（1）当时，；（2）（）；（3）存在，.【分析】（1）由题意可知，当OP⊥AP时，∽，∴，即，于是解得x值；（2）根据已知条件利用两角对应相等两个三角形相似，证明三角形OCM和三角形PCO相似,得出对应边成比