广西壮族自治区贺州市部分校2027届高三上学期开学考试数学试卷（含答案）

广西贺州市部分校2027届高三上学期开学考试数学试卷(考试时间:120分钟试卷满分:150分)注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若复数z满足，则(

)A.1 B. C. D.2．已知m，，集合，集合，若，则(

)A.1 B.2 C.4 D.83．等腰直角中，，，点D，E分别是边，的中点，则的值为(

)A.-1 B.1 C. D.4．在三棱锥中，，，则三棱锥的体积是(

)A. B. C. D.5．已知双曲线C：（，）的左焦点为F，O为坐标原点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于点D，E，若为等腰直角三角形，则C的离心率为(

)A. B. C. D.6．甲乙丙丁等6人，每3人站一排，第一排甲乙必须站在一起，第二排丙丁必须站在一起，则不同的站位方法是(

)A.10 B.16 C.32 D.647．已知，则(

)A. B. C. D.8．定义在R上的函数对任意，（），都有，且关于中心对称，若，则的取值范围为(

)A. B. C. D.二、多选择题：本题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知圆与圆，则下列说法正确的有(

)A.若，则两圆外离B.若两圆相交，则C.若，则两圆的公共弦所在直线方程为D.若，则直线为两圆的公切线10．设为等差数列的前n项和，已知，，则(

)A.数列的公差为-2 B.与的等比中项为C. D.当取得最大值时，或611．抛物线E：（）的焦点为F，直线l：过点F且与抛物线E交于A，B两点，点A在第一象限，则(

)A.抛物线E的焦点F到准线的距离为4B.若点H的坐标为，则周长的最小值为9C.当时，D.以线段为直径的圆交y轴于M、N两点，设线段的中点为P，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12．已知，则____________.13．已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为____.14．在正三棱台中，，，且该三棱台的高是，若以C为球心，4为半径作一个球，则该球与底面的交线长是_____.四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在频率分布直方图中，如果一组数据的众数>中位数>平均数，我们称这组数据呈左偏分布；如果一组数据的众数<中位数<平均数，我们称这组数据呈右偏分布.在某市的教师招聘考试中，随机抽取50名考生对他们的笔试成绩进行统计，将结果绘制成如下的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，请判断这50名考生笔试成绩的分布情况；(2)若考生的笔试成绩不低于130分视为优秀，用频率估计概率，现从该市所有参加教师招聘考试的考生中随机抽取5名考生，笔试成绩优秀的人数用X表示，求X的数学期望与方差.16．（15分）如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，D为中点，点E在棱上，且，.(1)当时，求证：平面；(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值.17．（15分）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若且.(1)求A；(2)设角A的平分线交边于点D，求长度最大值.18．（17分）已知椭圆的离心率为，焦距为4.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在上且位于x轴上方.射线，分别交于点R，S，直线交于另一点Q.(i)求直线与的斜率之比(ii)若与的面积相等，求直线的斜率.19．（17分）若函数满足：对任意正数s，t，都有，则称函数为“H函数”.(1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由；(2)若函数是“H函数”，求实数a的取值范围；(3)若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有.参考答案1．答案：C2．答案：A3．答案：B4．答案：D5．答案：B6．答案：C7．答案：A8．答案：C9．答案：BD10．答案：ACD11．答案：ABD12．答案：113．答案：14．答案：15．答案：(1)50名考生笔试成绩呈左偏分布(2)，16．(1)取的中点，连接，因为三棱柱为直棱柱，且为正三角形，以、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，

根据已知条件得、、、、，当时，，则，所以，，，所以，，所以，，又，、平面，所以平面.(2)易知，则，当时，点，，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，故当时，直线与平面所成角的正弦值为.17．(1)由题意，，，整理得：，，，，又，，由正弦定理得：，，，，即，，.(2)由余弦定理，，即，当且仅当时，等号成立.又，化简可得，.所以，当且仅当时等号成立.故长度的最大值为.18．(1)由题意得，，解得，，，故椭圆的方程为.(2)(i)，设直线的方程为，与联立得：.设，，则，，于是又，故.(ii)由与的面积相等，得与的面积相等，故有.延长交于点T，因为，由椭圆的对称性知，四边形ATBR为平行四边形，故.设直线方程为，与椭圆方程联立得：，，设，，则，，故，得，得，得，解得，.19．(1)是“H函数”，不是“H函数”，理由如下：对于任意，，，所以，即成立，故是“H函数”；对于，取，则，.因为，故不是“H函数”(