高三数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第9讲函数的对称性及其应用课件

第9讲函数的对称性及其应用第二章函数与基本初等函数课程标准1.能通过平移，分析得出一般的中心对称和轴对称公式和推论.

2.会利用对称公式解决问题.教材梳理夯实基础1.两个函数图象的对称性(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于_____对称.(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于_____对称.(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于______对称.y轴x轴原点2.函数自身的对称性(1)轴对称①偶函数关于_____对称.②若f(x＋2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为______，一般地，若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线______对称.③若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线______对称.y轴x＝2x＝ax＝a(2)中心对称①奇函数关于______对称.②若f(x＋2)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为________，一般地，若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点________对称.③若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点______对称.微提醒

函数自身对称性的表达式与周期性表达式外表很像，应注意区别，为避免混淆出错，可以用口诀“和定对称，差定周期”来判断是对称性还是周期性.

原点(2，0)(a，0)(a，0)常用结论

(3)[教材知识纵向延伸]①若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.②若y＝f(x)与y＝g(x)关于x＝a对称，则g(x)＝f(2a－x)；若y＝f(x)与y＝g(x)关于点(a，b)对称，则g(x)＝2b－f(2a－x).2.函数对称性与周期性的关系(双对称问题求周期)(1)若函数f

(x)的图象关于x＝a和x＝b(a≠b)对称，则y＝f

(x)的一个周期为2｜b－a｜.(2)若函数f

(x)的图象关于(a，0)和(b，0)(a≠b)对称，则y＝f

(x)的一个周期为2｜b－a｜.(3)若函数f

(x)的图象关于x＝a和(b，0)(a≠b)对称，则y＝f

(x)的一个周期为4｜b－a｜.可以简记为：双对称见周期，周期为同类对称2倍差，异类对称4倍差.自测诊断1.(多选)下列结论正确的是A.函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称B.函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称C.若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称D.若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称√√

√由题图可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0.又f(x)是偶函数，所以当－2＜x＜0时，f(x)＞0；当－5≤x＜－2时，f(x)＜0.综上，不等式f(x)＜0的解集为[－5，－2)∪(2，5].3.(链接人教A必修一P85练习T1)设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为____________________.[－5，－2)∪(2，5]返回4.偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝_____.因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，所以f(－1)＝5.5考点探究

能力提升考点一两个函数图象的对称

自主练透1.函数y＝ex与函数y＝e－x的图象A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线y＝x对称√

2.下列函数与y＝2x－cosx的图象关于原点对称的是A.y1＝－2x＋cosx B.y1＝2－x－cos(－x)C.y1＝－2－x＋cos(－x) D.y1＝－2－x－cos(－x)√设所求函数的图象上任意一点P(x，y)，则点P关于x＝2对称的点为Q(4－x，y).由题意知点Q在y＝log2x的图象上，可得y＝log2(4－x)，即函数y＝log2x关于x＝2对称的函数解析式为y＝log2(4－x).故选D.3.下列函数中，其图象与函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的是A.y＝log2(2＋x) B.y＝log2(2－x)C.y＝log2(4＋x) D.y＝log2(4－x)√设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.故选A.4.已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3，0)对称√

规律方法考点二函数自身轴对称(高考超重点) 师生共研

典例1(1)(一题多解)已知函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则ab＝_____.120

试求函数f(x)的最大值？教师备选解：把a＝8，b＝15代入f(x)得，f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)，所以f(x)＝－(x2－1)(x2＋8x＋15)＝－(x＋1)(x－1)(x＋3)(x＋5)＝－[(x＋1)(x＋3)][(x－1)(x＋5)]＝－(x2＋4x＋3)(x2＋4x－5).令t＝x2＋4x＝(x＋2)2－4≥－4，所以h(t)＝－(t＋3)(t－5)＝－(t2－2t－15)＝－(t－1)2＋16，所以t＝1∈[－4，＋∞)时，函数f(x)的最大值为16.

规律方法由｜x－2｜＞0，得x≠2，所以f(x)的定义域是(－∞，2)∪(2，＋∞).因为f(2－x)＝log2｜x｜＋(2－x)2－4(2－x)＝log2｜x｜＋x2－4，f(2＋x)＝log2｜x｜＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log2｜x｜＋x2－4，所以f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称.对点练1.已知函数f(x)＝log2｜x－2｜＋x2－4x，则函数f(x)关于直线______对称.x＝2

教师备选

对点练2.已知函数f(x)＝32－x＋3x＋a，其中a为常数，若存在x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝A.0 B.1C.2 D.2a因为f(2－x)＝3x＋32－x＋a＝f(x)，所以f(x)关于直线x＝1对称.又f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x2＝2.故选C.√函数f(x)＝ex＋e－x－2图象的对称轴方程是__________.由f(x)＝ex＋e－x－2，得f(x)＝e－1(ex＋1＋e－x－1).因为函数y＝ex＋1＋e－x－1是由偶函数y＝ex＋e－x向左平移一个单位长度得到[破题点：利用奇偶性判断函数对称性是首选策略]，所以函数f(x)＝e－1(ex＋1＋e－x－1)图象的对称轴是直线x＝－1.教师备选x＝－1

√考点三函数自身中心对称(高考超重点) 师生共研典例2

√√√

溯源教材5溯源(人教A必修一P87习题T13)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数.(1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心；(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论.透视该高考题是教材习题结论的直接应用，只有掌握了教材习题，本高考题(含典例1(2))的解题思路就非常清晰.从本高考题可以看出，一是函数与导数中的解答题不再局限于导数问题，纯函数问题成为新的命题方向；二是函数图象的对称性问题体现了高考“反套路”的命题导向，在近三年高考试题解答题中多次出现.所以高三备考中在立足基础复习的策略下，还要强调融会贯通，增强同一主题必修模块与选择性必修模块间的联系，将各个模块的知识有机结合并综合应用预测(1)函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心是__________.(1，－2)

预测

规律方法因为函数y＝f(x＋2)为奇函数，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)，所以函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以函数y＝f(x)＋2

026的图象关于点(2，2

026)对称.故选A.对点练4.已知函数y＝f(x＋2)为奇函数，则函数y＝f(x)＋2026的图象A.关于点(2，2026)对称B.关于点(2，－2026)对称C.关于点(－2，2026)对称D.关于点(－2，－2026)对称√

(1，3)

返回6课时分层测评

√

2.(一题多解)已知函数f(x)＝2｜2x－a｜的图象关于直线x＝2对称，则a等于A.2 B.4C.－2 D.－4√

3.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1，0)对称，则b等于A.1 B.－1C.3 D.－3√

4.函数f(x)＝ex－2－e2－x的图象关于A.点(－2，0)对称 B.点(2，0)对称C.直线x＝－2对称 D.直线x＝2对称√因为f(x)＝ex－2－e2－x，所以f(2＋x)＝e2＋x－2－e2－(2＋x)＝ex－e－x，f(2－x)＝e2－x－2－e2－(2－x)＝e－x－ex，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，所以函数f(x)的图象关于点(2，0)对称.故选B.5.已知函数f(x)的定义域为R，则下列说法不正确的是A.若f(x＋2)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于(1，0)对称B.函数y＝－f(2－x)与函数y＝f(x)的图象关于(1，0)对称C.函数y＝f(－1＋x)－f(1－x)的图象关于(1，0)对称D.函数y＝f(1＋x)－f(1－x)的图象关于(1，0)对称√若f

(x＋2)＝－f

(－x)，即f

(x＋2)＋f(－x)＝0，则函数y＝f

(x)的图象关于(1，0)对称，故A正确；若点(x，y)在y＝f

(x)上，则点(2－x，－y)在y＝－f

(2－x)的图象上，且点(x，y)与点(2－x，－y)关于点(1，0)对称，则函数y＝－f

(2－x)与函数y＝f

(x)的图象关于(1，0)对称，故B正确；设g(x)＝f

(－1＋x)－f

(1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f

(1－x)－f

(x－1)＋f

(－1＋x)－f

(1－x)＝0，故函数y＝f

(－1＋x)－f

(1－x)的图象关于(1，0)对称，故C正确；令g(x)＝f

(1＋x)－f

(1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f

(3－x)－f

(x－1)＋f

(1＋x)－f

(1－x)不恒为0，故函数y＝f

(1＋x)－f

(1－x)的图象不关于(1，0)对称，故D错误.故选D.6.(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，则下列说法正确的是A.f(x)＝f(－x)B.f(2＋x)＋f(2－x)＝0C.f(3)＝f(5)D.f(x＋2)＝f(x－2)√√√因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；因为f(x)的图象关于点(2，0)对称，对于f(x)的图象上的点(x，y)关于点(2，0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x得到，f[4－(2＋x)]＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝1，则f(3)＝－f(1)，令x＝3，则f(5)＝－f(－1)＝－f(1)，则f(3)＝f(5)，故C正确；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误.故选ABC.

√√

1

(答案不唯一)x2－2x10.已知函数y＝f(x)的定义域为R，且函数y＝f(x＋1)为偶函数，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，则f(0)＝____.因为函数y＝f(x＋1)为偶函数，所以y＝f(x)