第3章 一元二次方程 复习题 课件 湘教版数学九年级上册

湘教·九年级上册复习题31.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)6x2－7x2=3x+5；(2)(2y－1)(2y+5)=6y+4.解：(1)原方程化为一般式x2+3x+5=0.所以该方程的二次项系数是1、一次项系数是3、常数项是5.学而时习之1.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)6x2－7x2=3x+5；(2)(2y－1)(2y+5)=6y+4.解：(2)原方程可化为4y2+2y－9=0所以该方程的二次项系数是4、一次项系数是2、常数项是－9.2.解下列方程：(1)49x2－144=0；

(2)(1－x)2=1；(3)x(x+1)+2(x－1)=0；

(4)(x－3)2+2x(x－3)=0；(5)3(x－2)2=x(x－2). 解：原方程经过移项，左右两边同除以49，得根据平方根的意义，得因此，原方程的根为(1)49x2－144=0；

解：根据平方根的意义，得因此，原方程的根为(2)(1－x)2=11－x=1或1－x=－1x1

=0或x2

=2这里a=1，b=3，c=－2，(3)x(x+1)+2(x－1)=0；

解：原方程化为一般式为x2+3x－2=0因而，b2－4ac=32－4×1×(－2)=17>0因此，原方程的根为(4)(x－3)2+2x(x－3)=0；解：把方程左边的多项式因式分解，得(x－3)

(x－3+2x)=0即(x－3)

(3x－3)=0由此得x－3=0或

3x－3=0解得x1=3，

x2=1.(5)3(x－2)2=x(x－2).把方程左边的多项式因式分解，得(x－2)

[3(x－2)

－x]=0即(x－2)

(2x－6)=0由此得x－2=0或

2x－6=0解得x1=2，

x2=3.解：移项，得3(x－2)2－x(x－2)=0.3.不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.(1)4x2+6x+9=0；

(2)y2=y+5.解：(1)因为Δ=b2－4ac=62－4×4×9

=36－144=－108<0，所以，原方程没有实数根.解：(2)将原方程化为一般形式，得y2－y－5=0因为Δ=b2－4ac=(－1)2－4×1×(－5)=1+20=21>0，所以，原方程有两个不相等的实数根.3.不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.(1)4x2+6x+9=0；

(2)y2=y+5.4.设x1，x2，是方程2x2－6x＋3=0的两根，不解方程，求下列各式的值:(1)x1+x2；

(2)x1x2；

(3)x12+x22.解：5.求方程x2－5x

+2=0与方程x2+2x+6=0的所有实数根的和.解：对于方程x2－5x+2=0，两根之和对于方程x2+2x+6=0，两根之和6.已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数.解：设三个连续奇数中间的奇数为x.由题意得(x－2)2+x2+(x+2)2=371整理，得x2=121解得

x1=11，x2=－11.所以这三个奇数为9，11，13或－13，－11，－9.7.机动车尾气污染是导致城市空气质量恶化的重要原因之一，为解决这个问题，某市打算将现有的燃油公交车换成电动公交车.按照计划，该市今后两年内将使全市的电动公交车由目前的3250辆增加到6370辆，求电动公交车平均每年增加的百分率.解：设电动公交车平均每年增加的百分率为x，可列出方程:3250(1+x)2=6370.整理，得

(1+x)2=1.96.解得

x1=0.4=40%，x2=－2.4(舍去).答：电动公交车平均每年增加的百分率为40%.8.将一块矩形桌布铺在长为1.5m、宽为1m的矩形桌面上，各边下垂的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的2倍.求桌布下垂的长度.解：设桌布下垂的长度为xm，则根据等量关系得(2x+1.5)(2x+1)=1.5×1×2整理，得 8x2+10x－3=0，解得

x1=0.25，x2=－1.5(不合题意，舍去).答：桌布下垂的长度为0.25m.9.如图为一张方格纸，纸上有一三角形(阴影部分)，其顶点均位于网格线的交点上.若阴影部分的三角形面积为15.75cm2，则此方格纸的面积为多少？解：设每个小方格的边长为xcm.根据题意得整理，得

x2=2.25解得

x1=1.5，x2=－1.5(不合题意，舍去).所以此方格纸的面积为4×1.5×4×1.5=36cm2.10.现有一块矩形钢板ABCD，在这块钢板上截去两个正方形得到一个模具.已知AD=7.5m，AB=5m.BE=DF，且模具的面积等于原矩形面积的一半，如图所示，求DF的长(精确到0.1m).ADFCPEB解：设DF长为xm.因为DF+FC=DC=AB=5m，所以PC=FC=(5－x)m.因为BE+EP+PC=BC=AD=7.5m，所以EP=2.5m.即 2x2－20x+25=0.依题意得解得答：DF的长约为1.5m.ADFCPEB11.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm.现有两点P，Q分别从点A和点C同时出发，沿边AB，CB向终点B移动.已知点P，Q的速度分别为2cm/s，1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.设P，Q两点移动时间为xs，问：是否存在这样的x，使得四边形APQC的面积等于16cm2？若存在，求出此时x的值；若不存在，试说明理由.解：根据题意，得AP=2xcm，CQ=xcm，假设存在这样的x，使得四边形APQC的面积等于16cm2.因为∠B=90°，AC=10，BC=6，

所以AB=8，BQ=(6－x)cm，BP=(8－2x)cm.整理，得

x2－10x+16=0解得

x1=2，x2=8(舍去).答：当x=2时，正好四边形APQC的面积等于16cm2.12.解下列方程:(1)(3x+5)2－6(3x+5)+9=0；(2)x2+ax－2a2=0(a为常数).温故而知新解：(1)把方程左边因式分解，得[(3x

+5)－3]2=0，由此得

(3x

+5)－3=0，解得

x1=x2=

.解：把方程左边的多项式因式分解，得(x－a)(x+2a)=0，由此得

x－a=0或x

+2a

=0，解得

x1=a，x2=－2a.12.解下列方程:(1)(3x+5)2－6(3x+5)+9=0；(2)x2+ax－2a2=0(a为常数).13.已知a，b，c分别是△ABC的三边，其中a=1，c=4，且关于x的方程x2－4x+b=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状.解：依题意得关于x的方程x2－4x+b=0的判别式Δ=b2－4ac=(－4)2－4×1×b=0即 16－4b=0所以b=4=c≠a.所以△ABC是等腰三角形.14.设x1，x2是关于x的方程x2－4x+k＋1=0的两个实数根.请问：是否存在实数k，使得x1x2>x1+x2成立？试说明理由.解：因为方程x2－4x+k+1=0有两个实数根，所以Δ=16－4(k+1)≥0，所以k≤3，又x1x2＞x1+x2，而x1+x2=4，x1x2=k+1，所以k+1＞4，所以不存在实数k，使得x1x2>x1+x2成立.即k＞3，与k≤3矛盾15.已知□ABCD的两邻边AB，AD的长是关于x的方程

的两个实数根.(1)当m为何值时，□ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；(2)若AB的长为2，那么□ABCD的周长是多少？解：因为平行四边形ABCD是菱形，所以AB=AD，因为AB、AD的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，解得m=1，(1)当m为何值时，□ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；关于x的一元二次方程为所以当m为1时，平行四边形ABCD是菱形，且菱形的边长为.解：将x=2代入中，得解得因为AB、AD的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，(2)若AB的长为2，那么□ABCD的周长是多少？16.已知线段AB的长为1.(1)线段AB上的点C满足关系式AC2=BC·AB，求线段AC的长度；ABC解：设AC=x，则BC=1－

x.所以x2

=(1－

x)×1.16.已知线段AB的长为1.(2)线段AC上的点D满足关系式AD2=CD·AC，求线段AD的长度；ABCD解：设AD=y，则CD=16.已知线段AB的长为1.(3)线段AD上的点E满足关系式AE2=DE·AD，求线段AE的长度；ABCDE解：设AE=z，则DE=16.已知线段AB的长为1.上面各小题的结果反映了什么规律？ABCDE17.已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx+k+1=0的两个实数根，求使的值为整数的实数k的整数值.解：对于方程4kx2－4kx+k+1=0，有两个实数根所以(－4k)2－4×4k×(k+1)≥0且k

≠0

解得k<0

对于方程4kx2－4kx+k+1=0，设根为x1，x2.则要使为整数，k的值为－5，－3，－2，0，1，3.又因为k<0

所以k的值为－5，－3，－2.18.数学上称为二阶行列式，并规定其运算法则为解：由题意得化简后，得x2+x－2=0解得x1

=－2，x2

=1(舍去).所以x

=－2.上下而求索19.已知平面上有n个点，其中任意3个点都不在一条直线上.小王经过每两点画一条直线，共画了171条直线，则该平面上共有多少个点？解：由得n2－n－342=0.解得

n1=19，n2=－18(舍去).所以平面上共有19个点.20.如图，把矩形纸片ABCD折叠，使点C落在AB边上的C′处(与点A，B不重合)，点D落在点D′处，C′D′交AD于点E，折痕为MN.(1)已知AB=7，BC