人教版九年级数学 秋季培优讲义 第02讲-一元二次方程2-讲义

66.7％二次方程一元二次方程2第六讲

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判别式：一般地，我们把________________叫做一元二次方程根的判别式．通常用希腊字母“”（读作delta）来表示．记作．判别式与方程的根的关系：

对一元二次方程来说，

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根；

（3）方程没有实数根．

判别式的应用：

（1）运用判别式，判定方程实数根的个数；

（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中的参数值或取值范围；

（3）通过判别式证明与方程相关的代数问题或几何存在性问题．点点精讲点点精讲题型一题型一判定根的情况例1．（1）已知a是实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．根据a的值来确定

（2）下列方程有两个相等的实数根的是（）

A． B．

C． D．

（3）等腰三角形边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程的两根，则n的值为（）

A．9 B．10 C．9或10 D．8或10例2．求证：不论m取何值，关于x的方程总有实数根．

例3．求证：不论m取何实数，关于x的方程都有两个不相等的实数根．

例4．已知一直角三角形的三边为a、b、c，，判断关于x的方程的根的情况．

题型二题型二根据根的情况求参数例5．（1）若关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则c的值是（）

A． B．1 C． D．4

（2）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（）

A． B． C．且 D．且

例6．已知关于x的方程，

（1）如果方程有两个不等的实数根，求a的范围；

（2）如果方程有两个相等的实数根，求a的范围；

（3）如果方程没有实数根，求a的范围．

例7．已知关于x的方程有相等的两实数根，求整数m的值．

例8．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值．

例9．（1）关于x的方程有两个不同的实根，求实数a的取值范围．

（2）已知关于x的方程，求证：无论k取何值，此方程总有实数根．

点点精练点点精练方程的根的情况是（）

A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根

C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根

关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值为（）

A． B．0 C．1 D．2

已知关于x的方程．

（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；

（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．

已知关于x的一元二次方程，求证：此方程总有两个实数根．

板块二根与系数的关系板块二根与系数的关系根与系数的关系根与系数的关系韦达定理的应用韦达定理韦达定理的应用韦达定理韦达定理：如果一元二次方程的有两实根、，那么有：

，．

应用韦达定理时的注意事项：（1）一元二次方程一定要化成一般形式；

（2）一元二次方程的根与系数的关系成立的前提条件是方程有两个实数根、，也就是说，在使用一元二次方程根与系数关系时，要以判别式为前提条件．

一些常用代数式的重要变形：

（1）；

（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）．

点点精讲点点精讲题型一题型一韦达定理（1）若关于x的方程有一个根为，则另一个根为（）

A． B．2 C．4 D．

（2）一元二次方程的两根为、，则的值为（）

A．4 B． C．3 D．

（3）已知关于x的方程有一个根为零，则________．

（1）已知，是方程的两个不同的根，则_______，______．

（2）已知，是方程的两个不同的根，则_______，______．

（1）已知方程的两个根为4和9，则______、_________．

（2）已知方程有两个负实数根，则a______0，b_______0．

题型二题型二利用韦达定理求解常见代数式的变形（1）设、是一元二次方程的两根，则（）

A．6 B．8 C．10 D．12

（2）已知a、b是一元二次方程的两根，那么的值为（）

A． B． C． D．

已知方程的两根为、，其中，求的值．

已知a、b是关于x的一元二次方程的两个实数根，且．

（1）求k的值；

（2）求的值．

已知一元二次方程的两根分别为a、b，请构造一个以、为根的一元二次方程．

点点精练点点精练两个实根之和为3的一元二次方程是（）

A． B．

C． D．

如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么p、q的值分别是（）

A．1， B． C．，6 D．1,6

已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是（）

A． B． C． D．6

已知方程的两根为、，其中，求的值．