人教A版高中数学选择性必修一2.2.2　直线的两点式方程

2.2.2直线的两点式方程学习目标1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的两点式方程.2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围.【引入】斜拉桥又称斜张桥,桥身简约刚毅,力感十足.若以桥面所在直线为x轴,桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系,那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线.如何建立这条直线的方程?这样的两个点有什么特别之处吗?一、直线的两点式方程探究1如图,给定直线l上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,试用点斜式写出l的方程.提示y-y1=y2-y1x2探究2给定直线l上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,y1≠y2,任选直线上一点P(x,y),其中P不与P1,P2重合,那么kPP1与提示kPP1=kP1P2,即y-y1x-x1=y2-y11.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线方程y-y1y2-y12.当x1=x2时,直线P1P2垂直于x轴,直线方程为x-x1=0,即x=x1;当y1=y2时,直线P1P2垂直于y轴,直线方程为y-y1=0,即y=y1.温馨提示(1)对于两点式中的两点,只要是直线上的两个不同点即可,两点式方程与这两个点的顺序无关.(2)把直线的两点式方程化为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),则该方程表示过平面内任意不同两点(x1,y1),(x2,y2)的直线.例1(链接教材P63例4)已知A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2),在△ABC中,求:(1)BC边所在的直线方程;(2)BC边上的中线所在直线的方程.解(1)BC边过两点B(5,-4),C(0,-2),由两点式,得y-(-4)-2-(-4)=即2x+5y+10=0,故BC边所在的直线方程为2x+5y+10=0.(2)设BC的中点为M(a,b),则a=5+02=52,b=-4+(-2)所以M52又BC边的中线过点A(-3,2),所以y-2-3-2=即10x+11y+8=0,所以BC边上的中线所在直线的方程为10x+11y+8=0.思维升华1.利用两点式求直线方程(1)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件,若满足即可考虑用两点式求方程.(2)书写结果要进行化简.2.中点坐标公式:若P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P1P2的中点为x1训练1已知三角形的顶点是A(1,3),B(-2,-1),C(1,-1),求这个三角形三边所在直线的方程.解直线AB过A(1,3),B(-2,-1),其两点式方程为y-3-1-3=x-1-2-1,整理,得4x-3y+5=0,直线AC垂直于x轴,故AC边所在直线的方程为x=1.直线BC平行于x轴,故BC边所在直线的方程为y=-1.二、直线的截距式方程探究3如图,若给定直线上两点A(a,0),B(0,b)(a≠0,b≠0),你能否得出直线的方程?提示根据两点式,y-0b-0整理得xa+y我们把直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距,此时直线l在y轴上的截距是b.方程xa+yb=1由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定,所以把此方程叫做直线的截距式方程,简称温馨提示(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距,可以直接代入截距式求直线的方程.(2)将直线的方程化为截距式后,可以观察出直线在x轴和y轴上的截距,这一点常被用来作图.(3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示;过原点的直线的横、纵截距都为零.例2(链接教材P64T3)求过点A(3,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.解(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时,可设直线l的方程为xa+y又l过点A(3,4),所以3a+4-a=1,所以直线l的方程为x-1+y1=1,即x-(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时,即直线l过原点时,设直线l的方程为y=kx,因为l过点A(3,4),所以4=k·3,解得k=43,直线l的方程为y=43x,即4x-3综上,直线l的方程为x-y+1=0或4x-3y=0.思维升华截距式方程应用时的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,则可考虑选用截距式方程,用待定系数法确定其系数即可.(2)选用截距式方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.(3)要注意截距式方程的逆向应用.训练2(1)(链接教材P64T2)在x轴、y轴上的截距分别是-3,4的直线的方程是()A.x-3+y4=1 B.x3C.x-3-y4=1 D.x4(2)过点A(3,-1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有()A.2条 B.3条C.4条 D.无数多条答案(1)A(2)B解析(1)由题知a=-3,b=4代入xa+yb=1(2)当截距都为零时满足题意要求,直线方程为y=-13x当截距不为零时,设直线方程为xa+yb∴3∴a=2,即直线方程为x2+y2=1或x4+∴满足条件的直线共有3条.故选B.三、截距式方程的应用例3直线l过点P43,2,且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,(1)当△AOB的周长为12时,求直线l的方程;(2)当△AOB的面积为6时,求直线l的方程.解(1)设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b由题意知,a+b+a2+因为直线l过点P43所以43a+2联立①②,解得a=4,所以直线l的方程为3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.(2)设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b由题意知,12ab=6即ab=12,联立②③,解得a=4,所以直线l的方程为3x+4y-12=0或3x+y-6=0.思维升华与面积、周长有关的问题中常用截距式方程形式,除此外,也可以在方程中分别赋值x=0和y=0,求出纵截距与横截距.训练3已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.解设直线方程为xa+yb=1(a>0,b把点P(3,2)代入得3a+2b=1≥2得ab≥24,从而S△AOB=12ab≥12,当且仅当3a=2这时k=-ba=-2从而所求直线方程为2x+3y-12=0.【课堂达标】1.经过两点(5,0),(2,-5)的直线的方程为()A.5x+3y-25=0 B.5x-3y-25=0C.3x-5y-25=0 D.5x-3y+25=0答案B解析经过两点(5,0),(2,-5)的直线方程为:y-0-5-0=x-52-5,整理,得5x-32.(多选)下列命题中正确的是()A.经过点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示B.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示C.经过任意两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可用方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)·(x-x1)表示D.不经过原点且与两坐标轴不垂直的直线都可以用方程xa+yb答案CD解析A中当直线的斜率不存在时,其方程只能表示为x=x0;B中经过定点A(0,b)的直线x=0无法用y=kx+b表示;C,D正确,故选CD.3.直线x2-y3=1与坐标轴围成的图形的面积为答案3解析化为截距式x2+y-3=1,a=2,bS=12|a|·|b|=12×24.直线l过点(-4,-1),且横截距是纵截距的两倍,则直线l的方程为.

答案x+2y+6=0或x-4y=0解析当横、纵截距都是0时,设直线的方程为y=kx.∵直线过点(-4,-1),∴-1=k×(-4),∴k=14即直线的方程为x-4y=0.当截距均不为0时,设直线的方程为x2a+∵直线过点(-4,-1),∴-42a+-1a=1,解得即直线方程为x+2y+6=0.综上,所求直线方程为x+2y+6=0或x-4y=0.课时精练一、基础巩固1.过点(1,2),(5,3)的直线的方程是()A.y-25-1=x-13-1C.y-15-1=x-32-3答案B解析∵所求直线过点(1,2),(5,3),∴所求直线方程是y-23-2=2.经过点A(2,5),B(-3,6)的直线在x轴上的截距为()A.2 B.-3C.-27 D.27答案D解析由两点式得直线方程为y-65-6=即x+5y-27=0,令y=0,得x=27.3.已知直线l的两点式方程为y-0-3-0=x-(-5)3-(-5),则lA.-38 B.C.-32 D.答案A解析由两点式方程y-0-3-0=x-(-5)3-(-5),知直线l过点(-5,0),所以l的斜率为0-(-3)(-5)-3=-34.(多选)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程可以为()A.x+y-5=0 B.x-y-5=0C.x-4y=0 D.x+4y=0答案AC解析当直线过点(0,0)时,直线方程为y=14x即x-4y=0;当直线不过点(0,0)时,可设直线方程为xa+ya把(4,1)代入,解得a=5,所以直线方程为x+y=5.综上可知,直线方程为x+y-5=0或x-4y=0.5.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线满足()A.2x+y-8=0 B.2x-y+8=0C.2x+y-12=0 D.2x-y-12=0答案A解析由中点坐标公式可得M(2,4),N(3,2),再由两点式可得直线MN的方程为y-42-4=x-23-2,即26.两条直线l1:xa-yb=1和l2:xb-ya=1答案A解析将两方程化为截距式l1:xa+y-b=1,l2:x假定l1的位置,判断a,b的正负,从而确定l2的位置,知A项符合.7.某地汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系如图所示,则旅客最多可免费携带行李的重量为()A.20kg B.25kg C.30kg D.80kg答案C解析由图知点A(60,6),B(80,10),由直线方程的两点式,得直线AB的方程是y-610-6=x-6080-60,即y依题意,令y=0,得x=30,即旅客最多可免费携带30kg行李.8.已知点P(x,2)在过M(-2,1)和N(3,-4)两点的直线上,则x的值是.

答案-3解析过M,N两点的直线方程为y-1-4-1=又P(x,2)在此直线上,所以当y=2时,x=-3.9.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线的方程为.

答案2x-y=0或x-y+1=0解析当直线过原点即在坐标轴上的截距均为零时,得直线方程为2x-y=0;当在坐标轴上的截距不为零时,可设直线方程为xa-ya将x=1,y=2代入方程可得a=-1,得直线方程为x-y+1=0.∴直线方程为2x-y=0或x-y+1=0.10.若直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是.

答案-∞,解析设直线的斜率为k,如图,过定点A的直线经过点B(3,0)时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;过定点A的直线经过点C(-3,0)时,直线l在x轴的截距为-3,此时k=12满足条件的直线l的斜率范围是(-∞,-1)∪1211.已知直线l过点P(4,1).(1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程;(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程.解(1)∵直线l过点P(4,1),Q(-1,6),∴直线l的方程为y-16-1=即x+y-5=0.(2)由题意知,若直线过原点,则有y-10-1=x-40-4,即若直线不过原点,则直线l的斜率存在且不为0,故设直线l在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为2a,∴该直线的方程可设为xa+y2即4a+12解得a=92,即2x+y-9=0综上,直线l的方程为x-4y=0或2x+y-9=0.二、综合运用12.(多选)光线自点(2,4)射入,经y轴反射后经过点(5,0),则下列选项中反射光线所在的直线经过的点有()A.(-9,8) B.(3,1)C.(7,-1) D.(12,-4)答案AD解析点(2,4)关于y轴的对称点为(-2,4),则反射光线所在的直线经过点(-2,4)和点(5,0),则反射光线所在直线的方程为y-04-0=x-5-2-5,即4将四个选项中的点的坐标分别代入直线方程进行验证可知A,D选项符合题意.13.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若使截距之和最小,则该直线的方程为.

答案2x+y-6=0解析设直线的方程为xa+yb=1(a>0,b因为直线过点P(1,4),所以1a+4则截距之和a+b=(a+b)1a+4b=5+ba+4当且仅当ba=4ab,即2a=所以1a+42a=1,解得a=3,则所以直线的方程为x3+y6即2x+y-6=0.14.过点P(1,4)作直线l,直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为原点.(1)若△ABO的面积为9,求直线l的方程;(2)若△ABO的面积为S,求S的最小值,并求出此时直线l的方程.解设A(a,0),B(0,b),其中a>0,b>0,则由直线的截距式方程得直线l的方程为xa+y将P(1,4)代入直线l的方程得,1a+4b=1.((1)依题意得,12ab=9,即ab=18由(*)式得,b+4a=ab=18,从而b=18-4a,∴a(18-4a)=18,整理得2a2-9a+9=0,解得a1=3,a2=32,则b1=6,b2因此直线l的方程为x3+y6=1或x32整理得,2x+y-6=0或8x+y