北京市北师大版高中数学必修第一册三角函数习题

2026年北京市北师大版高中数学必修第一册三角函数习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，已知角A的终边经过点P(3，-4)，则sinA的值为（）A.-4/5B.3/5C.-3/5D.4/5解析：由题意，点P(3，-4)在角A的终边上，根据任意角的三角函数定义，sinA=对边/斜边。斜边r=√(3²+(-4)²)=5，对边为-4，故sinA=-4/5。选项A正确。2.函数y=2sin(3x+π/6)的最小正周期为（）A.2π/3B.2πC.3π/2D.π解析：正弦函数y=sinx的周期为2π，对于函数y=Asin(ωx+φ)，周期T=2π/|ω|。此处ω=3，故T=2π/3。选项A正确。3.若sinα=1/2，且α是第二象限角，则cosα的值为（）A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2解析：由sin²α+cos²α=1，sinα=1/2，得cos²α=1-(1/2)²=3/4。因α为第二象限角，cosα<0，故cosα=-√3/2。选项B正确。4.函数y=cos(2x-π/4)在区间[0，π/2]上的值域为（）A.[-1，1]B.[-√2/2，1]C.[0，1]D.[-√2/2，√2/2]解析：令t=2x-π/4，则x∈[0，π/2]时，t∈[-π/4，3π/4]。cos(2x-π/4)在[-π/4，3π/4]上的值域为[-√2/2，1]。选项B正确。5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4处取得最大值，则φ的值为（）A.π/4B.3π/4C.π/2D.0解析：sin函数在x=π/4时取得最大值1，需满足2x+φ=π/2+kπ（k∈Z）。当x=π/4时，2(π/4)+φ=π/2+kπ，解得φ=kπ。取k=0，φ=0。选项D正确。6.若sin(α+β)=1/2，sin(α-β)=-1/2，且α，β均为锐角，则cosα的值为（）A.√3/2B.1/2C.-√3/2D.-1/2解析：由sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ=1/2，sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ=-1/2。两式相除得tanα=-1，因α为锐角，α=3π/4，cosα=-√2/2。选项C正确。7.函数y=3sin(2x-π/3)+1的图像可由y=sinx的图像经过以下哪个变换得到？（）A.向右平移π/3个单位，再向上平移1个单位B.向左平移π/3个单位，再向上平移1个单位C.向右平移π/6个单位，再向上平移1个单位D.向左平移π/6个单位，再向上平移1个单位解析：函数y=3sin(2x-π/3)+1可看作y=sinx的图像：横坐标缩为原来的1/2（周期变为π），向右平移π/6个单位，再向上平移1个单位。选项C正确。8.已知cosθ=-4/5，θ为第三象限角，则tanθ的值为（）A.3/4B.-3/4C.4/3D.-4/3解析：由cosθ=-4/5，θ为第三象限角，得sinθ=-3/5。tanθ=sinθ/cosθ=-(-3/5)/(-4/5)=-3/4。选项B正确。9.函数y=2cos²x-3cosx+1的最小值为（）A.-2B.-1C.0D.1解析：令t=cosx，则y=2t²-3t+1=2(t-3/4)²-1/8。当t=3/4时，y取得最小值-1/8。选项B正确。10.若sinα+cosα=√2，则sin(α+π/4)的值为（）A.1B.√2/2C.√3/2D.0解析：sinα+cosα=√2等价于√2sin(α+π/4)=√2，故sin(α+π/4)=1。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知点P(x，-1)在角α的终边上，且cosα=-√3/2，则x的值为________。解析：cosα=x/√(x²+1)=-√3/2，解得x=-√3。2.函数y=4sin(π/3-x)的周期为________。解析：周期与ω无关，y=4sin(π/3-x)=4sin(π/3+x)，周期为2π。3.若sin(α-β)=1/2，cosα=1/2，α为锐角，则β的值为________。解析：cosα=1/2，α=π/3。sin(π/3-β)=1/2，β=π/18。4.函数y=3sin(2x+π/4)在区间[0，π]上的零点个数为________。解析：令2x+π/4=kπ，x=(kπ-π/4)/2。k=0时x=-π/8（舍），k=1时x=3π/8，k=2时x=7π/8，共2个零点。5.若sinα=1/3，α为锐角，则cos(α/2)的值为________。解析：cosα=√(1-sin²α)=√8/3。cos(α/2)=√(1+cosα)/2=√(1+√8/3)/2=√(3+√8)/4。6.函数y=cos(3x-π/6)的图像关于直线x=π/4对称的点的坐标为________。解析：令3x-π/6=π/2+kπ，x=(π/2+kπ+π/6)/3=(2π+6kπ)/18=(π+3kπ)/9。取k=0，x=π/4，对应y=cos(π/2)=0，坐标为(π/4，0)。7.若sinα+cosα=1，则sin²α+cos²α的值为________。解析：sinα+cosα=1平方得1+2sinαcosα=1，sinαcosα=0。sin²α+cos²α=1。8.函数y=2sin(x+π/3)-1在区间[-π，π]上的最大值为________。解析：最大值为2-1=1。9.已知cos(α+β)=1/2，cos(α-β)=-1/2，则cosαcosβ的值为________。解析：cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ=1/2，cosαcosβ=1/4。10.函数y=3sin(2x-π/4)+1的图像向左平移π/2个单位后，得到的函数解析式为________。解析：y=3sin[2(x+π/2)-π/4]+1=3sin(2x+5π/4)+1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若sinα=sinβ，则α=β。（×）解析：sin函数具有周期性，sinα=sinβ等价于α=β+2kπ或α=π-β+2kπ（k∈Z）。2.函数y=cos(2x+π/3)的最小正周期为π。（√）解析：周期T=2π/|ω|=2π/2=π。3.若α为锐角，且sinα=1/2，则α=π/6。（√）解析：sin函数在[0，π/2]上单调递增，sinα=1/2等价于α=π/6。4.函数y=2sin(3x-π/4)的图像关于原点对称。（√）解析：sin函数图像关于原点对称，且3x-π/4为奇函数，故y=2sin(3x-π/4)关于原点对称。5.若cosα=1/2，则α=π/3或α=-π/3。（×）解析：α=π/3为第一象限角，-π/3为第四象限角，但cos函数在第二象限也有正值，α=2π-π/3=5π/3。6.函数y=sin(x+π/2)的图像与y=sinx的图像完全重合。（√）解析：sin(x+π/2)=cosx，但cosx与sinx图像重合（平移π/2个单位）。7.若sin(α+β)=sin(α-β)，则α=β。（×）解析：sin(α+β)=sin(α-β)等价于α+β=α-β+2kπ或α+β=π-(α-β)+2kπ，解得β=0或α=β+2kπ。8.函数y=3sin(2x-π/3)+1的图像可由y=sinx的图像先向右平移π/3个单位，再向上平移1个单位得到。（×）解析：y=3sin(2x-π/3)+1可由y=sinx的图像：横坐标缩为1/2，向右平移π/6，再向上平移1。9.若sinα=cosα，则α=π/4。（√）解析：sinα=cosα等价于tanα=1，α=π/4+kπ（k∈Z），但α为锐角时α=π/4。10.函数y=cos(2x-π/4)在区间[0，π]上的值域为[-√2/2，1]。（√）解析：令t=2x-π/4，x∈[0，π]时，t∈[-π/4，3π/4]，cos(2x-π/4)在[-π/4，3π/4]上的值域为[-√2/2，1]。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知sinα=3/5，α为锐角，求cosα和tanα的值。解：cosα=√(1-sin²α)=√(1-9/25)=4/5，tanα=sinα/cosα=3/4。2.函数y=2sin(3x+π/6)的最小正周期是多少？解：周期T=2π/|ω|=2π/3。3.若sin(α+β)=1/2，sin(α-β)=-1/2，求cosαcosβ-sinαsinβ的值。解：cosαcosβ-sinαsinβ=sin(α+β)=1/2。4.函数y=3sin(2x-π/4)+1的图像关于y轴对称，求k的值。解：若图像关于y轴对称，需满足2x-π/4=kπ+π/2，即x=(kπ+3π/8)/2。取k=0，x=3π/8，需满足x=π/8，矛盾。故无解。5.若sinα=1/3，α为锐角，求cos(α/2)的值。解：cosα=√(1-sin²α)=√8/3。cos(α/2)=√(1+cosα)/2=√(1+√8/3)/2=√(3+√8)/4。6.函数y=cos(2x-π/3)在区间[0，π]上的最大值和最小值分别是多少？解：令t=2x-π/3，x∈[0，π]时，t∈[-π/3，5π/3]。cos(2x-π/3)在[-π/3，5π/3]上的最大值为1，最小值为-1/2。7.若sinα+cosα=√2，求sin(α+π/4)的值。解：sinα+cosα=√2等价于√2sin(α+π/4)=√2，sin(α+π/4)=1。8.函数y=2sin(3x-π/4)的图像向左平移π/6个单位后，得到的函数解析式是什么？解：y=2sin[3(x+π/6)-π/4]=2sin(3x+π/4-π/4)=2sin(3x)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边BC=10，求边AB和边AC的长度。解：由正弦定理，AB/sinB=BC/sinA，AB=10sin45°/sin60°=10√2/√3。AC/sinC=BC/sinA，sinC=sin(180°-60°-45°)=√6/4，AC=10√6/4/√3=5√2。2.函数y=3sin(2x-π/3)+1的图像向右平移π/4个单位后，得到的函数解析式是什么？解：y=3sin[2(x-π/4)-π/3]+1=3sin(2x-π/2-π/3)+1=3sin(2x-5π/6)+1。3.若sinα=1/4，α为锐角，求cos(α/2)的值。解：cosα=√(1-sin²α)=√15/4。cos(α/2)=√(1+cosα)/2=√(1+√15/4)/2=√(4+√15)/8。4.函数y=cos(3x+π/6)在区间[0，π/2]上的值域是什么？解：令t=3x+π/6，x∈[0，π/2]时，t∈[π/6，5π/6]。cos(3x+π/6)在[π/6，5π/6]上的值域为[-1/2，1]。5.已知cos(α+β)=1/2，cos(α-β)=-1/2，且α，β均为锐角，求cosαcosβ的值。解：cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ=1/2，cosαcosβ=1/4。6.函数y=2sin(π/3-x)的图像可由y=sinx的图像经过哪些变换得到？解：y=2sin(π/3-x)=2sin(x-π/3)，需将y=sinx的图像：向右平移π/3个单位，再纵坐标伸缩为2倍。7.若sinα=1/3，α为锐角，求cos(α/2)的值。解：cosα=√(1-sin²α)=√8/3。cos(α/2)=√(1+cosα)/2=√(1+√8/3)/2=√(3+√8)/4。8.函数y=3sin(2x-π/4)+1的图像关于直线x=π/4对称，求k的值。解：若图像关于x=π/4对称，需满足2(π/4)-π/4=kπ+π/2，即π/4=kπ+π/2，矛盾。故无解。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.B4.B5.D6.C7.C8.B9.B10.A解析：1.斜边r=5，对边-4，sinA=-4/5。2.周期T=2π/|ω|=2π/3。3.α