北师大版高中数学选修2-1立体几何专题练习题

2026年北师大版高中数学选修2-1立体几何专题练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距离为（）A．√15/3B．2√3C．√14D．1/√152.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1的夹角为θ，则θ的值为（）A．π/3B．π/4C．π/6D．π/23.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为棱BB1的中点，则直线AE与平面B1C1CD的夹角为（）A．arctan√2B．arctan1C．π/4D．π/34.已知平面α与平面β的夹角为30°，直线l⊥平面α，直线m⊥平面β，则直线l与直线m的夹角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°5.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，BC=2，PA=3，则点P到平面ABC的距离为（）A．2√3B．3√2C．√10D．26.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为2，E为棱SC的中点，则直线SE与底面ABCD的夹角为（）A．arctan1B．arctan√2C．π/4D．π/37.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x=1，y=2+t，z=3-t的垂线距离为（）A．√2B．√3C．2D．√58.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0的夹角为θ，则θ的值为（）A．π/3B．π/4C．π/6D．π/29.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为棱CC1的中点，则直线AE与平面B1BCC1的夹角为（）A．arctan√2/2B．arctan1C．π/4D．π/310.已知平面α与平面β的夹角为60°，直线l⊥平面α，直线m⊥平面β，则直线l与直线m的夹角为（）A．60°B．90°C．120°D．150°二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：2x+y+z=1的距离为________。2.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1的夹角为θ，则sinθ的值为________。3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为棱BB1的中点，则直线AE与平面B1C1CD的夹角的正切值为________。4.已知平面α与平面β的夹角为45°，直线l⊥平面α，直线m⊥平面β，则直线l与直线m的夹角的余弦值为________。5.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，BC=2，PA=3，则点P到平面ABC的距离的平方根为________。6.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为3，高为3，E为棱SC的中点，则直线SE与底面ABCD的夹角的正弦值为________。7.在空间直角坐标系中，点A（2，3，4）到直线l：x=2，y=3+t，z=4-t的垂线距离的平方为________。8.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0的夹角为θ，则cosθ的值为________。9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为棱CC1的中点，则直线AE与平面B1BCC1的夹角的正弦值为________。10.已知平面α与平面β的夹角为75°，直线l⊥平面α，直线m⊥平面β，则直线l与直线m的夹角的正切值为________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距离等于点B（-1，-2，-3）到平面α的距离。2.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1的夹角为θ，则θ一定是锐角。3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为棱BB1的中点，则直线AE与平面B1C1CD的夹角等于直线AF与平面B1C1CD的夹角。4.已知平面α与平面β的夹角为60°，直线l⊥平面α，直线m⊥平面β，则直线l与直线m一定垂直。5.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，BC=2，PA=3，则点P到平面ABC的距离等于点A到平面PBC的距离。6.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为2，E为棱SC的中点，则直线SE与底面ABCD的夹角等于直线SE与棱SC的夹角。7.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x=1，y=2+t，z=3-t的垂线距离等于点B（1，3，2）到直线l的距离。8.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0的夹角为θ，则θ一定是锐角。9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为棱CC1的中点，则直线AE与平面B1BCC1的夹角等于直线AF与平面B1BCC1的夹角。10.已知平面α与平面β的夹角为90°，直线l⊥平面α，直线m⊥平面β，则直线l与直线m一定平行。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在空间直角坐标系中，求平面α：2x+y+z=1与平面β：x-y+z=0的夹角的余弦值。2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为棱BB1的中点，求直线AE与平面B1C1CD的夹角的正弦值。3.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，BC=2，PA=3，求点P到平面ABC的距离。4.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为3，高为3，E为棱SC的中点，求直线SE与底面ABCD的夹角的正切值。5.在空间直角坐标系中，求点A（1，2，3）到直线l：x=1，y=2+t，z=3-t的垂线距离。6.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0的夹角为θ，求cosθ的值。7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为棱CC1的中点，求直线AE与平面B1BCC1的夹角的正弦值。8.已知平面α与平面β的夹角为60°，直线l⊥平面α，直线m⊥平面β，求直线l与直线m的夹角的余弦值。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：2x+y+z=1的距离为多少？2.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1的夹角为θ，求θ的值。3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为棱BB1的中点，求直线AE与平面B1C1CD的夹角的正弦值。4.已知平面α与平面β的夹角为45°，直线l⊥平面α，直线m⊥平面β，求直线l与直线m的夹角的余弦值。5.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，BC=2，PA=3，求点P到平面ABC的距离。6.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为2，E为棱SC的中点，求直线SE与底面ABCD的夹角的正切值。7.在空间直角坐标系中，点A（2，3，4）到直线l：x=2，y=3+t，z=4-t的垂线距离为多少？8.已知平面α：x+y+z=1与平面β：x-y+z=0的夹角为θ，求cosθ的值。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A解析：点A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距离d=|1+2+3-1|/√(1²+1²+1²)=√15/3。2.C解析：直线l：x=1与平面α：x+y+z=1的夹角θ满足cosθ=|11|/√(1²+1²+1²)=1/√3，θ=arccos(1/√3)=π/6。3.A解析：正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1中点，F为BB1中点，则AE⊥平面B1C1CD，夹角为0；但若改为求AE与平面B1C1CD的投影夹角，需进一步计算。4.B解析：l⊥α，m⊥β，α与β夹角30°，则l与m夹角为60°（补角关系）。5.A解析：点P到平面ABC距离即PA投影，由直角三角形PAB得√(PA²+AB²)=√(3²+√2²)=2√3。6.B解析：SE与底面夹角即SC投影夹角，tanθ=SC高/底面半径=√2/1=√2。7.A解析：垂线距离即点A到直线l的投影，由点到直线距离公式得√2。8.A解析：cosθ=|11-1(-1)+11|/√(3)√(2)=√2/√3=√6/3，θ=π/3。9.A解析：AE与平面B1BCC1夹角即AE投影夹角，tanθ=AE高/底面半径=√2/2。10.B解析：l⊥α，m⊥β，α与β夹角60°，则l与m夹角90°（垂直关系）。二、填空题1.√15/3解析：同第1题。2.√3/3解析：sinθ=|11|/√(1²+1²+1²)=1/√3。3.√2解析：tanθ=AE高/底面半径=√2。4.√2/2解析：cosθ=cos45°=√2/2。5.√10解析：同第5题。6.√2/2解析：sinθ=AE高/底面半径=√2/2。7.2解析：同第7题。8.√2/2解析：同第8题。9.√2/2解析：同第9题。10.1解析：tanθ=tan75°=(1+√3)/(1-√3)=2+√3。三、判断题1.×解析：点A到平面距离为√15/3，点B到平面距离为√15/3，但方向相反。2.×解析：夹角可能为钝角，如直线平行于平面。3.×解析：夹角取决于具体位置，E与F不同。4.×解析：夹角90°时垂直，60°时cosθ=√3/2。5.×解析：点P到平面距离为3，点A到平面距离为√5。6.×解析：夹角不等，需具体计算。7.×解析：垂线距离为√5，点B到直线距离为√2。8.×解析：夹角可能为钝角。9.×解析：夹角取决于具体位置。10.×解析：l与m平行或异面。四、简答题1.√2/3解析：cosθ=|11-1(-1)+11|/√(3)√(2)=√2/3。2.√2/2解析：tanθ=√2，sinθ=1/√3。3.√10解析：同第5题。4.√2解析：tanθ=√2。5.√5解析：同第7题