11.5第二类曲面积分

第二类曲面积分

一、基本概念观察以下曲面的侧

(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分上侧和下侧曲面分左侧和右侧莫比乌斯带在光滑曲面上任取定一点并作曲面的法线,该法线有两个可能的方向,选定其中一个方向,如果(不跨越曲面的边界)相应的法向量的在曲面上点回到原来的位置时,方向与原方向相同,就称是一个双侧曲面;径连续地变动后沿任一路如果相应的法向量的方向与原方向相反,是一个单侧曲面.就称通常我们遇到的曲面都是双侧的,如球面、旋转抛物面、马鞍面等.但是单侧曲面也是存在的,所1、曲面侧的概念谓的莫比乌斯带就是一个典型的单侧曲面的例子.典型双侧曲面•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带典型单侧曲面:播放莫比乌斯带典型单侧曲面:典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带今后我们总假定所考虑的曲面是双侧的.对于双侧曲面,我们可通过选定曲面上的一个法向量来规定曲面的侧.反之,我们也可通过选定曲面的侧来规定曲面上各点处的法向量的指向.2、有向曲面的概念（曲面的定侧）例如

由方程z

z(x

y)表示的曲面为双侧曲面，可分为上侧与下侧

设为曲面上的法向量，则当cos

0时

n所指向的一侧是上侧

同理当cos

0时

n所指向的一侧就是下侧

如果取定曲面的上侧，我们就认为它的法向量指向被取定。

曲面的侧确定与它的法向量有何关系呢？其方向用法向量指向表示。方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧侧的规定

指定了侧的曲面叫有向曲面,

类似地

如果曲面的方程为y

y(z

x)

则曲面分为左侧与右侧。当cos

0时，法向量指向的一侧是曲面的右侧

当cos

0时，法向量指向的一侧是曲面的左侧

如果曲面的方程为x

x(y

z)

则曲面分为前侧与后侧。当cos

0时，法向量指向的一侧是曲面的前侧

当cos

0时，法向量指向的一侧是曲面的后侧

3、曲面在坐标面上的投影

在有向曲面

上取一小块曲面

S

用(

)xy表示

S在xOy面上的投影区域的面积

假定

S上各点处的法向量与z轴的夹角

的余弦cos

有相同的符号(即cos

都是正的或都是负的)

我们规定在面上的投影类似地,可以定义在及面上的投影。二、第二类曲面积分的概念与性质1、实例:流向平面一侧的流量.2、第二类曲面积分的概念与性质定义设为光滑的有向曲面,其上任一点处的单位法向量又设其中函数在上有界,则有函数它在上的第一类曲面积分，称为函数在有向曲面上的第二类曲面积分.在第二类曲面积分中,我们称为于是,第二类曲面积分可写成如下形式:(1)有向曲面元,常将其记为它在三个坐标在上的投影分别记为这种形式的第二类曲面积分又称为对坐标的曲面积分.第二类曲面积分在实际应用中常出现的形式是注:(1)式给出了两类曲面积分之间的联系.其中为负,甚至为零,而且当改变方向时,它们都要改变符号,与二重积分的面积微分元总取正值是有区别的.要注意到,可能为正也可能这里的（1）、存在条件:（2）、物理意义:（3）第二类曲面积分与有向曲面的法向量的指向有关。如果改变曲面的法向量的指向,则积分要改变符号,即（4）第二类曲面积分也有与二重积分类似的性质.如积分的可加性等.三、第二类曲面积分的计算先考察积分的计算问题,其它情形依此类推.设光滑曲面多交于一点,它在面上的投影区域为则由有与平行于轴的直线至----化为二重积分上式右端取号或号要根据是锐角还是钝角而定.当时,有同理,如果曲面由给出,则有如果曲面由给出,则有当时,有注:积分曲面更复杂的情形可分片计算之.当时,有(前正后负)(右正左负)(上正下负)小结：第二类曲面积分的计算应注意的问题:(3)曲面S取哪一侧；(2)向哪个坐标面投影；

(1)曲面S用什么方程表示；(4)积分前取什么符号。方体

的整个表面的外侧

{(x

y

z)|0

x

a

0

y

b

0

z

c}

把

的上下面分别记为

1和

2

前后面分别记为

3和

4

左右面分别记为

5和

6

解除

3、

4外

其余四片曲面在yOz

面上的投影为零

因此方体

的整个表面的外侧

{(x

y

z)|0

x

a

0

y

b

0

z

c}

把

的上下面分别记为

1和

2

前后面分别记为

3和

4

左右面分别记为

5和

6

解除

3、

4外

其余四片曲面在yOz

面上的投影为零

因此

a2bc

同理可得

于是所求曲面积分为(a

b

c)abc

解解练习：计算曲面积分其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解同理，在上，计算曲面积分其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解在上，原式原式解:

利用两类曲面积分的联系,有不同的单一型积分化成相同的单一型积分方法其他情况类似。内容小结1.第二类曲面积分的概念函数在有向曲面上的第二类曲面积分为内容小结1.第二类曲面积分的概念第二类曲面积分与有向曲面的法向量的指向有关.物理意义

:流速为的流体在单位时间内流向曲面指定侧的流量.2.第二类曲面积分的计算设光滑曲面在面上的