2023年华数之星科学创新能力实践活动二级组真题试卷含答案

2023年华数之星科学创新能力实践活动二级组真题试卷含答案(二级组)(2023年3月26日10:00-11:30)题号1234567总成绩得分评阅人一、填空题(共三题,每题25分,共75分)计算：11×2×下图是石墨烯的晶体结构图,其中每个黑点是一个碳原子,两个黑点间的连线是化学键(想象这个图是没有边界的).每个六边形都是正六边形,且每个六边形都有一个中心点(例如图中的A点).由此可见这个图有高度的对称性.问题:过其中一个六边形的中心点(例如A点)有多少条整个图的对称轴?请将它们画出来.一位老师带领8位同学玩游戏.老师给每位同学额头上贴上一个两位数,这些两位数互不相同,每个同学看不到自己额头上的数但能看到别的同学额头上的数.老师先给出一个两位数18,让知道自己额头上的数不能被18整除的同学举手,结果有3人举手;然后老师又让知道自己额头上的数能否被30整除的同学举手,这时有6人举手.其中只有小强同学两次都举了手.小强同学看到别的同学额头上贴的两位数之和是______.二、解答题(共三题,每题25分,共75分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)甲、乙、丙三个同学在一个环形跑道上练长跑,三人同时从起跑线出发,甲、乙二人沿顺时针方向跑,丙沿逆时针方向跑,跑步过程中三人各自都保持速度不变.已知甲跑完一圈要60秒,乙跑完一圈要75秒,丙跑完一圈要72秒.起跑后至少过多少分钟三人能同时相聚？考虑这样的7位数:每个数由0,1,3,6,7,8,9组成（次序随意但不可重复使用,首位不能为0）.这样的7位数中能被11整除的有多少个？如图所示的长方形中,,以为直径的半圆和以为直径的半圆交于点,连接并延长交于点,的值为多少？三、建模计算题(共一题，20分)将102个正整数a1、a2、...、a99、a100以及m和n依次输入到程序中,程序将按照以下步骤执行:步骤1:依次读取a1、a2、...、a99、a100的值,如果ai(1≤i≤100)的值除以m的余数为0,则把ai的值修改为0;步骤2:依次读取a1、a2、...、a99、a100的值,如果ai(1≤i≤100)的值除以n的余数为0,则把ai的值修改为0;步骤3:依次输出a1、a2、...、a99、a100的值,结束程序.现在将102个正整数依次输入到程序中,前100个数是1、2、...、99、100,第101和第102个数是3和5,则程序输出的100个数中,不为0的数有多少个?

（二級）參考答案及評閱標準填空題（共3題,每題25分,共75分）計算：11×2×3+23×4×5+35×6×7+⋯+10112021×2022×2023=______.解.11×2×3+23×4×5+35×6×7+⋯+10112021×2022×2023=22×11×2×3+23×4×5+35×6×7+⋯+10112021×2022×2023=12×1×21×2×3+2×23×4×5+3×25×6×7+⋯+1011×22021×2022×2023=12×11×3+13×5+15×7+⋯+12021×2023=12×11−13+13−15+⋯+12021−12023=答案.評分標準.過程合理答案正確即可給滿分;若有部分合理過程但未得到最終答案或答案錯誤,可視具體情況給5-20分;若僅有正確答案但無合理過程,可給5分.下圖是石墨烯的晶體結構圖,其中每個黑點是一個碳原子,兩個黑點間的連線是化學鍵(想像這個圖是沒有邊界的).每個六邊形都是正六邊形,且每個六邊形都有一個中心點(例如圖中的𝐴點).由此可見這個圖有高度的對稱性.問題:過其中一個六邊形的中心點(例如𝐴點)有多少條整個圖的對稱軸?請將它們畫出來.解.共有6條,在下圖中用虛線標出.評分標準.前4條每畫出1條給5分，第5，第6條準確畫出給25分；多畫適當減5-10分.一位老師帶領8位同學玩遊戲.老師給每位同學額頭上貼上一個兩位數,這些兩位數互不相同，每個同學看不到自己額頭上的數但能看到別的同學額頭上的數.老師先給出一個兩位數18，讓知道自己額頭上的數不能被18整除的同學舉手，結果有3人舉手；然後老師又讓知道自己額頭上的數能否被30整除的同學舉手，這時有6人舉手.其中只有小強同學兩次都舉了手.小強同學看到別的同學額頭上貼的兩位數之和是______.解.為方便起見將8個同學分別標記為1(小強)，2，⋯，8號.第一輪不妨設1，2，3號三位同學舉手，此三名同學知道自己額頭上的數字不是18的整數倍,是因為他們已經看到其他同學額頭上已經有了18的所有兩位元數整數倍,即18,36,54,72,90,再由各位同學額頭上的數互不相同,就可判定自己額頭上的數不是18的整數倍.由此可見4，5，6，7，8號這5位元同學額頭上的數字恰為18的所有兩位倍數，即18,36,54,72,90.第二輪開始前，4，5，6，7，8號這5位同學看到1,2,3號同學舉手，說明1，2,3號同學看到了所有18的兩位倍數.而這5位同學中每個人只能看到18的4個整數倍，那麼就可以判定剩下的一個18的整數倍在自己額頭上,這5人每人都知道了自己額頭上的數是多少.能被30整除的兩位數只有30，60，90.第二輪有6人舉手，其中當然包括4，5，6，7，8號,而小強只知道自己額頭上的數不是18的倍數,第二輪也舉了手，說明他看到了其他7個數中30，60和90均出現了，即2，3號同學額頭上的數是30，60.總結起來，小強同學之外其他同學（2，3，4，5，6，7，8）額頭上的數為30，60，18，36，54，72，90，其和為360.答案.360評分標準.推斷出有5個同學額頭上的數字分別為18,36,54,72,90，給10分，推斷出有另外兩個同學額頭上的數是30，60再給10分，算出最後結果再給5分.解答題（共3題,每題25分,共75分,解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程）甲、乙、丙三個同學在一個環形跑道上練長跑,三人同時從起跑線出發,甲、乙二人沿順時針方向跑,丙沿逆時針方向跑,跑步過程中三人各自都保持速度不變.已知甲跑完一圈要60秒,乙跑完一圈要75秒,丙跑完一圈要72秒.起跑後至少過多少分鐘三人能同時相聚？解.由於甲乙二人是沿同一方向跑,甲每秒跑160圈,乙每秒跑175圈,甲每秒比乙多跑160−175=1300圈,所以甲乙二人每過300秒相遇一次.另一方面,甲丙二人是沿相反方向跑,甲每秒跑160圈,丙每秒跑172圈,甲與丙每秒共跑160+172=11360圈,所以甲丙二人每過36011秒相遇一次.我們需要找一個最小的正整數,既是300的整數倍又是36011的整數倍.不難算出這個數是1800=300×6=36011×55.因此,在起跑後1800秒(=30分鐘),甲乙二人相遇,甲丙二人也相遇,即三個人同時相遇.答案.30.評分標準.給出同向反向兩人相聚的週期各給10分，得到三人相聚的週期再給5分；過程合理答案正確即可給滿分.5.考慮這樣的7位數:每個數由0,1,3,6,7,8,9組成（次序隨意但不可重複使用,首位不能為0）.這樣的7位數中能被11整除的有多少個？解.由被11整除的數的特點，奇數位之和與偶數位之和的差是11的倍數.又因為0+1+9+7=3+6+8，0+3+6+8=1+9+7，0+8+9=1+3+6+7，且找不到其它情況符合被11整除的特徵.第一種情況：0,1,7,9在奇數位，3,6,8在偶數位有3×3×2×1×3×2×1=108個.同理第二種情況：0,3,6,8在奇數位，1,7,9在偶數位也有108個,第三種情況1,3,6,7在奇數位，0,8,9在偶數位有4×3×2×1×3×2×1=144個，總共有108+108+144=360個.答案.360.評分標準.按照答案方式分類，第一和第二類各給10分，最後答案正確再給5分.過程合理答案正確即可給滿分;若有部分合理過程但未得到最終答案或答案錯誤,可視具體情況給5-20分;若僅有正確答案但無合理過程,可給5分.6.如圖所示的長方形中，，以為直徑的半圓和以為直徑的半圓交於點，連接並延長交於點，的值為多少？解法一.如右圖所示，連接並延長交於點，連接並延長交的延長線於點，交於點.因為是公共弦，是直徑，所以點重合.易證得是相似的，直角邊的比都是2:3.因此，所以.解法二.如右圖所示，連接並延長交於點，連接並延長交的延長線於點，交於點.接下來我們先證明點重合：由，易知∽，所以，即.又由於，且，所以∽，所以，即，所以點重合.易證得∽，所以，其由於，所以，所以，因此，.且易知∽，∽，所以，則，即，，所以.答案.評分標準.過程合理答案正確即可給滿分;若有部分合理過程但未得到最終答案或答案錯誤,可視具體情況給5-20分;若僅有正確答案但無合理過程,可給5分.三、建模計算題（共1題,20分）7.將102個正整數a1、a2、...、a99、a100以及m和n依次輸入到程式中，程式將按照以下步驟執行：步驟1：依次讀取a1、a2、...、a99、a100的值，如果ai(1≤i≤100)的值除以m的餘數為0，則把ai的值修改為0；步驟2：依次讀取a1、a2、...、a99、a100的值，如果ai(1≤i≤100)的值除以n的餘數為0，則把ai的值修改為0；步驟3：依次輸出a1、a2、...、a99、a100的值，結束程式。現在將102個正整數依次輸入到程式中，前100個數是1、2、...、99、100，第101和第102個數是3和5，則程式輸出的100個數中，不為0的數有多少個?解析.這個程式統