5.3.1 实物抛物线问题 课件 2026-2027学年北师大九年级数学上册

实物抛物线问题5北师版九年级上册复习导入对称轴：最值：顶点坐标：y=ax2+bx+c二次函数：？(a，b，c是常数，a≠0)探究新知一名学生推铅球时，

铅球运动的高度y（单位：m）是向前运动的水平距离x（单位：m）的二次函数，其中（4，3）是图象的顶点，你能求出这个二次函数的表达式吗？解：根据图象是一条抛物线且顶点坐标为（4，3），因此设它的关系式为y=a(x－4)2

+3又因为图象过点（10，0）所以a(10－4)2

+3=0例1

如图，某球员在罚球线处投篮，球从点A

处出手，恰好经过篮圈中心B。已知球出手的位置A

到地面的距离为2.25m，到篮圈中心B

的水平距离为4m，篮圈中心B

到地面的距离为3.05m。建立如图所示的平面直角坐标系后，这位球员所投球的运动路线是抛物线y=ax2+c

（－3≤x≤1）。求这条抛物线的表达式和球运动的最大高度。Ox/my/m3A

：（－3，2.25）B

：（1，3.05）4－3=1平面直角坐标系的y

轴经过抛物线的顶点“顶点式”设抛物线的表达式为：y=ax2+cOx/my/m3Ox/my/m34－3=1解：由题意可知，这条抛物线经过点A（－3，2.25），B（1，3.05）。将这两个点的坐标分别代入表达式y=ax2+c，得2.25=9a+c，3.05=a+c。解这个方程组，得a=－0.1，c=3.15。所以，这条抛物线的表达式为y=－0.1x2+3.15。所以，这条抛物线的表达式为y=－0.1x2+3.15。Ox/my/m3Ox/my/m34－3=1a=－0.1＜0，当x=0时，y

取得最大值，y最大=3.15。因此，球运动的最大高度是3.15m。（1）二次函数的图象与y

轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（－2，13），求这个二次函数的表达式。思考·交流解：因为抛物线与y轴交点纵坐标为1，所以可设抛物线关系式为y=ax2+bx+1，则可得：5=4a+2b+1，13=4a－2b+1，解得a=2，b=－2。所以二次函数表达式为y=2x2－2x+1。解法一（1）二次函数的图象与y

轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（－2，13），求这个二次函数的表达式。思考·交流解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，由题意得1=c，5=4a+2b+c，13=4a－2b+c。解这个方程组，得a=2，c=1。b=－2，所以二次函数表达式为y=2x2－2x+1。解法二已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的表达式。除了用“一般式”还有其他的方法吗？如果已知二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)，(x2，0)。那么可设二次函数的表达式为：y=a(x－x1)(x－x2)再将另一个已知点的坐标带入，解方程求出a的值即可。交点式解：设二次函数的表达式为y=a(x

+1)(x－3)。将(0，－3)代入，可得a(0＋1)

(0－3)

=－3解得a=1所以二次函数表达式为y=(x＋1)(x－3)=x2－2x－3。交点式（2）确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流。思考·交流选用表达式的形式已知条件顶点式y=a（x－h）2+k（a≠0）一般式y=ax2+bx+c(a≠0)交点式y=a(x－x1)

(x－x2)(a≠0)2个顶点和另一点的坐标二次函数各项系数中的一个和两点的坐标抛物线与x轴的两交点坐标和另一点的坐标3个3个达标检测已知二次函数图象的顶点坐标是（－1，1），且经过点（1，－3），求这个二次函数的表达式。【选自教材P142随堂练习T1】解：因为二次函数的顶点坐标是（－1，1），设这个二次函数的表达式为y=a（x+1）2+1，将点（1，－3）代入y=a（x+1）2+1中，得－3=a（1+1）2+1，解得：a=－1即，这个二次函数的表达式为y=－（x+1）2+1=－x2－2x。（1）已知二次函数y=x2+bx+c

的图象经过点（1，1）和（2，3），求这个二次函数的表达式；解：因为二次函数y=x2+bx+c

的图象经过（1，1）与（2，3）两点，所以所以这个二次函数的表达式为y=x2－x+1。【选自教材P142随堂练习T2】1+b+c=1，4+2b+c=3，解得b=－1，c=1。（2）请你更换第（1）题中的部分已知条件，重新编制一道求二次函数y=x2+bx+c

表达式的题目，使所求得的二次函数表达式与第（1）题相同。【选自教材P142随堂练习T2】答案不唯一。例如：已知二次函数y=x2+bx+c

的图象过（0，1）和（3，7）两点，求这个函数的表达式。已知二次函数y=x2+bx+c

的顶点坐标是，且图象经过点（2，2），求这个函数的表达式。课堂小结选用表达式的形式已知条件顶点式y=a（x－h）2+k（a≠0）