5.4.2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 课件2026-2027学年北师大九年级数学上册

利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根5北师版九年级上册复习导入回顾你能说出二次函数y=x2+2x－10的图象与一元二次方程x2+2x－10=0的关系吗？二次函数y=x2+2x－10的图象与x

轴的交点的横坐标就是一元二次方程x2+2x－10=0的根。探究你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x－10=0的根吗？探究新知从图象上来看，二次函数y=x2+2x－10的图象与x

轴的交点的横坐标分别在哪两个整数之间？由图象可知，方程x2+2x－10=0有_____根，一个根在____和____之间，另一个根在____和____。（填两个整数）两个－5－423方法提示：在预估的范围内取x值计算y值，根据所得y值的正负逐步调整取值范围，逐步逼近近似值。（1）先求－5和－4之间的根。

利用计算器进行探索：xy－4.1－1.39－4.2－0.76－4.3－0.11－4.40.56y对应的值由负变为正因此，x=－4.3是方程的一个近似根。y值更接近0（2）另一个根可以类似地求出:xy2.12.22.32.4－1.39－0.76－0.110.56x=2.3是方程的另一个近似根。y值更接近0你求出的根怎样验证呢？用一元二次方程的求根公式进行验证和你估算的值有什么关系？

x2+2x－10=0解：因为a=1，b=2，c=－10所以∆=b2－4ac=22－4×1×（－10）=44>0（相同）利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般步骤：作出二次函数y=ax2+bx+c的图象，确定与x

轴交点的个数；观察图象与x轴的交点在哪两个整数之间，确定交点横坐标的取值范围；在这两个数之间列表取值估计，并用计算器估算近似根。近似根就出现在对应y值正负交换的位置。当x

由x1

到x2

时，对应的y

值出现一正一负时，则x1，x2

中必有一个是方程的近似根；再比较|y1|和|y2|，绝对值小的，对应的x

值就是方程的近似根。如何利用二次函数图象求一元二次方程x2+2x

－10=3的近似根？你是怎么做的？由图象可知方程有两根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间。近似根：－4.7近似根：2.7操作·思考xy－4.91.21－4.80.44－4.7－0.31近似根：－4.7近似根：2.7操作·思考xy1.210.44－0.312.92.82.7你还能利用二次函数y=x2+2x

－10的图象求一元二次方程x2+2x

－10=3的近似根吗？

和直线交点和横坐标就是方程

的根xy－4.94.21－4.83.44－4.72.69xy4.213.442.692.92.82.7因此x=－4.7和x=2.7是方程的近似根。利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般方法：方法一直接作出二次函数y=ax2+bx+c的图象；图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根。方法二先将一元二次方程变形为ax2+bx=－c，再在同一直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx

和直线y=－c；两图象的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根。思考·交流一次函数与二元一次方程的关系、二次函数与一元二次方程的关系，这两者在研究内容和研究方法方面有什么异同？与同伴进行交流。利用如图所示的二次函数的图象求一元二次方程－2x2+4x+1=0的近似根。解：由图象可知，图象与x轴有两个交点，其横坐标一个在－1与0之间，另一个在2与3之间。y=－2x2+4x+1达标检测【选自教材P151随堂练习T1】（1）先求－1和0之间的根。

利用计算器进行探索：xy－0.10.58－0.20.12－0.3－0.38因此，x=－0.2是方程的一个近似根。y=－2x2+4x+1（2）再求2和3之间的根。

利用计算器进行探索：xy2.10.582.20.122.3－0.38因此，x=2.2是方程的另一个近似根。y=－2x2+4x+1课堂小结既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根。一元二次方程ax2+bx

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