山东省德州市2026届高三下学期一模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省德州市2026届高三下学期一模考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】易知命题“”的否定为.2.设复数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.3.为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，如表格所示，得到与的线性回归方程，则（）346722.54.5A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】由题意可得，，所以样本中心点为，又与的线性回归方程，所以，解得.4.数列中，，对，有，若，则（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】A【解析】令，可得，则是首项，公差的等差数列，通项公式为，，解得．5.若平面向量两两夹角相等，且，则（）A. B.36 C.或6 D.3或36【答案】C【解析】因为平面向量，，两两夹角相等，所以夹角有两种情况，即，，两两夹角为或，当夹角为时，；当夹角为时，，则；综上所述：或.6.已知随机变量，且，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】正态分布关于均值对称，又，可得，所以，又，所以，由此可得，解得．7.已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与在第一､四象限的交点分别为，与轴交点为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如下图：易知，所以，且为的中点，又，所以，因此可得,代入双曲线方程可得，整理并化简可得，即，解得或（舍）；因为双曲线离心率，所以.8.已知函数，若，则的最大值为（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】由题意可得，则，由，则，令，则，令，可知函数在上单调递增，所以当有唯一解，即，即，可得，所以，令，则，所以，令，则，令，即，解得，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，所以函数在处取得极大值，也是最大值，为，所以的最大值为.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正方体的棱长为分别是棱的中点，则（）A.异面直线与所成角的大小为B.直线与平面所成角的正弦值为C.平面D.四面体的体积为【答案】ACD【解析】对于A，正方体中，，则异面直线与所成角即为与所成角，即（或其补角），而为等腰直角三角形，故，故A正确；对于B，由于平面，故为在平面内的射影，则直线与平面所成角为，在中，，故，故B错误；对于C，设G为的中点，连接，则，而，故，则四边形为平行四边形，故；≌，则，而，故，设交于H，则，即，则；又平面，平面，故，又平面，故平面，故C正确；对于D，由于，（h为三棱锥的高，），而，则，故D正确.10.函数的部分图象如图所示，则（）A.B.的图象关于点对称C.函数在区间上单调递增D.若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为【答案】ABD【解析】由图可得，函数的最小正周期，又，所以，则，由，得，，解得，，又，所以，故A正确；由上分析，得故，因为，故函数的图象关于点对称，故B正确；令，，解得，，故函数的单调递增区间为，令，，解得，，故函数的单调递减区间为，，则函数在区间上单调递减，在上单调递增，故C错误；当时，则，要使在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，需使，解得，故D正确.故选：ABD.11.已知数列满足，且，则（）A.存在唯一的实数，使得为常数列B.当时，为递减数列C.当时，的取值范围为D.当时，前项和为，则【答案】BCD【解析】对于A.由条件可知，，若，则，为常数列，若，则，为常数列，故A错误；对于B.因为，当时，，所以，由可知，对所有，都有，两边取以10为底的对数，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，即，，因为，且单调递增，所以数列单调递减，故B正确；对于C.，，因为恒成立，所以，得，故C正确；对于D.当时，，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，即，，，而数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以前项和为，所以，故D正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设集合，若，则__________.【答案】【解析】，，且且且，或，当时，且，，.当时，解得，且，不成立.综上可得，.故答案为：.13.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于，若的面积为2，则__________.【答案】2【解析】抛物线，焦点为，准线为，准线与x轴交点，；设，由抛物线定义可得，且满足，由于，则，即，故，可得，即得，结合，可得，的面积为2，故，即，解得.14.在矩形中，已知是的中点，将沿直线翻折成为线段的中点，连接.当与平面所成角为时，三棱锥外接球的表面积为__________.【答案】【解析】因是的中点，则，是矩形，，翻折后，因为线段的中点，则，因，，则，故，取的中点，连接，则，，，，平面，平面，平面，平面，平面平面，在平面的射影为，与平面所成角为，，因和都是直角三角形，则，为等边三角形，取的中点为，连，则，平面，平面，，，，平面，平面，平面，是直角三角形，，为的外接圆的圆心，设为三棱锥外接球的球心，半径为，则平面，设，则，若球心和点位于平面的两侧，如图1，延长到点，使得，平面，平面，，四边形为平行四边形，，，，解得，则，三棱锥外接球的表面积；若球心和点位于平面的同侧，如图2，平面，平面，，过点作，交于点，则四边形为平行四边形，则，，则，解得，舍去.综上可得，三棱锥外接球的表面积为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且.（1）证明：平面平面；（2）当时，求平面与平面所成角的正弦值.（1）证明：因为平面平面，交线为平面，所以平面，又平面，故.又因为平面，所以平面，而平面，故平面平面.（2）解：以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，由题设得，，设是平面的法向量，则，即，令，可得.又是平面的法向量，设平面与平面所成角为，，所以，所以平面与平面所成角的正弦值是.16.已知为锐角三角形，.（1）求；（2）求；（3）若外接圆的周长为，求的面积.解：（1）因为，所以，又，所以，联立得.（2）因为，且三角形为锐角三角形，所以，，由（1）可得，即，所以，所以，解得或，因为角为锐角，所以.（3）因为外接圆的周长为.即.由，得，因为，所以，解得，由（2）可知，且角为锐角，所以，,所以的面积为17.在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到个不合格产品的分布列为：0123每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为，且各个产品返工是否成功相互独立.事件表示抽取的产品中有个不合格产品（），事件表示抽取的产品中返工成功的数量比返工失败的数量多.（1）若，求，并根据全概率公式求；（2）是否存在值且，使得，请说明理由.解：（1）当时，，则，解得，由题意，得，，.由全概率公式，得.（2）假设存在，使，又.得，化简得，即，令，则，因为，所以在上存在，使得，所以即，且在为正，在为负，从而在为增函数，在为减函数，，所以当时，，即不存在值，使得.18.已知椭圆的焦距为2，点在上，为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点.（i）若点的坐标为，证明：；（ii）若，当时，求弦长的取值范围.（1）解：由得所以椭圆的标准方程为.（2）（i）证明：当直线与轴重合时，显然成立；当直线与轴不重合时，设直线方程为.联立得，则，.，因为，所以.故的倾斜角互补，所以.（ii）解：由，则.可得，因为，所以，又因为，所以，，令，则，.19.已知函数.（1）证明：在上单调递增；（2）记的最小值为，数列的前项积为.（i）求的通项公式；（ii）证明：对任意的成立.（1）证明：因为当时，则，所以，可得，且，则，即，可得，所以函数在上单调递增，（2）（i）解：若，则，即；若，由（1）可知：在上单调递增，且，可知是一个周