山东省东营市2026届高三下学期第一次诊断性测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省东营市2026届高三下学期第一次诊断性测试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.设集合，则集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合

，，则集合.故选：A.2.在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（）A.0 B.1 C.0或1 D.无法确定【答案】C【解析】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应，若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1，若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0，所以函数的图象与直线的交点个数为0或1.3.在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】法一：复数对应的向量为，则，向量与轴正半轴夹角为，设该向量绕原点沿顺时针方向旋转后所得向量坐标为，则，，即所得向量坐标为，故旋转后的向量对应的复数为；法二：复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转后的向量对应的复数为：.4.已知等差数列的前n项和为，且满足则（）A.30 B.60 C.90 D.120【答案】D【解析】因为是等差数列，且

，又

，所以，解得，则

.5.在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】先求甲被派去服务站的方法数；第一种情况：甲一个人去服务站，则有种；第二种情况：甲和其中一人去服务站，则有种；故甲被派去服务站的方法数共种；再求甲乙被派去同一个服务站的方法数：有种；故概率为.6.已知随机变量，且，则当时，的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意，随机变量，且，则有，解得.由，即，所以，当且仅当，即时取等号.7.如图所示，四边形ABCD为正方形，将△ACD绕AC旋转得到三棱锥，且三棱锥D—ABC的体积为，则三棱锥D-ABC外接球的半径R为（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】设正方形的边长为a，则，取中点O，连接，则，因为将围绕旋转得到三棱锥，所以D到平面ABC的距离，则三棱锥的体积，解得，因为与均为直角三角形，且AC为斜边，O为AC中点，所以O为三棱锥外接球的球心，所以三棱锥外接球的半径.8.点P在以为焦点的椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】中，若

则，所以.因为

，所以；因为所以，因为，所以.由，得.所以.由正弦定理，得，设椭圆的焦距为，则椭圆的离心率.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.一组样本数据，其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，由这组数据得到一组新样本数据，其中，其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】不妨设，则；对A：，故A正确；对B：由方差性质可得，故B错误；对C：若为整数，则，；若不为整数，则，其中表示不大于的最大整数，，故C正确；对D：，，故D错误.10.已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（）A.曲线有4条对称轴 B.的最小值是C.曲线围成的图形面积为 D.的最大值是1【答案】ACD【解析】当时，原方程化为，即，所以曲线是以圆心为，半径为的圆在第一象限的部分，又由图象关于轴，轴对称，所以曲线，如图所示.，对于A中，由图象可得，该曲线关于轴，轴，和对称，所以该曲线有4条对称轴，所以A正确，对于B中，由表示曲线上的点到直线的距离的倍，结合图象得，当是时，距离最小值为，所以最小值为，所以B错误；对于C中，曲线围成的图形由四个直径为的半圆和一个边长为的正方形组成，所以面积为，所以C正确；对于D中，设表示点与点确定的直线的斜率，设该直线方程为，结合图象，当，即，则圆心为，半径为的圆在第四象限的部分与直线相切时，该切线的斜率是的最大值，由，可得，解得或（舍），则的最大值为1，所以D正确.故选：ACD.11.已知数列满足，则下列结论正确的是（）A.数列为递增数列 B.，C. D.【答案】ABC【解析】对于A，由题意得当时，，满足，成立，假设当时，，当时，由已知得，可得，因为，所以，令，可得，且，则在上单调递增，得到，故，综上可得，对于任意，，因为，所以，可得数列为递增数列，故A正确，对于B，因为，且数列为递增数列，所以，，故B正确，对于C，欲证，则证，即证，故证即可，令，则，令，则，则在上单调递减，且，得到，即，故在上单调递增，而，可得，则，即，故C正确，对于D，欲证，则证，即证，故证即可，令，则，令，则，可得在上单调递减，且，，则，由零点存在性定理得存在作为零点，即零点，令，，令，，则在上单调递增，在上单调递减，而，，则，此时不满足，故D错误.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知正方形的边长为，为的中点，则__________．【答案】2【解析】·=(+)·(-)=-·+·-·=22-×22=2.13.写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且有；③且有；④.【答案】（答案不唯一）【解析】条件①对应的是偶函数；条件②对应的为函数在上单调递减；条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性：函数在上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征，在所学过的函数模型中，一次函数与幂函数符合，结合①②③，不符合；在中，取为负偶数即可.14.甲、乙、丙三人每人制作两张卡片，将卡片放在同一个盒子中，每人不放回地随机抽取两张，设至少取回一张自己的卡片的人数为X，则_______.【答案】【解析】设甲制作的卡片为；乙制作的卡片为；丙制作的卡片为.代表三人只有一人至少取回一张自己的卡片，有种情况；不妨设是甲至少取回一张自己的卡片；当甲只取回一张自己的卡片时，有种；例如：甲取到的卡片为，此时丙不能取，只能取，即甲取回一张自己的卡片时，样本数为；当甲取回两张自己的卡片时，此时乙与丙只能相互交换，即有种；而总样本空间为甲、乙、丙三人各自任取两张卡片，即，所以;代表三人有两人至少取回一张自己的卡片，即有一个人没有取回自己的卡片，有种情况；不妨设是丙没有取回自己的卡片，则丙要在四张中取两个，显然丙不能取或，所以丙有种取法，例如：丙取的是，则甲留下，只能在中取一个，即种，剩下两张给乙，即共有种，所以.所以.四、解答题：本大题共5小题，共计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，（1）若求A；（2）若求的面积.解：（1）因为所以①.又由正弦定理，即，代入①式，可得，整理得，又，所以，解得.（2）因为，所以，即，又，所以.因为，由余弦定理可得，即，解得或（舍去）.故.16.如图，在三棱锥中，平面⊥平面，，分别为棱上的点.（1）若∥，∥，证明:∥；（2）若分别为棱的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：若∥，平面，平面，所以∥平面；若∥，平面，平面，所以∥平面.因为平面，所以平面∥平面.又平面平面，平面平面，所以∥.（2）解：因为，所以，所以.因为平面⊥平面，平面平面，平面，所以平面.过作，垂足为，则.所以.如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则.所以.设：在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为，且

，则，所以.设平面的法向量为，则.令，则.所以平面的法向量为.由平面，知平面的一个法向量为.所以，即，化简得，解得或.故在棱上存在点G，使得平面与平面所成角为，此时

或.17.已知函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数在处取得极值，（i）求的值；（ii）已知，若在上恒成立，求实数的取值范围.解：（1）当时，，，，，函数在处的切线方程为，化简得：.（2）（i）函数在处取得极值，，，，，，，，令，解得：或，当时，单调递减，当时，单调递增，函数在处取得极小值，函数在处取得极值时（ii）由（i）得，，且，在恒成立，，即，，整理得：，即，令，，，，化简得：，令，则，时，，在单调递增，，当时，，解得：，当，，单调递减，当，，单调递增，是极小值点，也是最小值点，，，实数的取值范围是.18.在第十五届全国运动会乒乓球女子团体金牌赛中，山东队拼尽全力、不屈不挠，最终战胜河北队，夺得冠军.为了弘扬国球精神，提升竞技水平，某学校举行“校园杯”趣味乒乓球比赛，甲乙两名同学进行“单打对决”，规则如下：比赛采用五局三胜制，为增加比赛悬念，每局比赛不设固定分数上限，实行“净胜两分制”，即从0比0开局，率先净胜对手2分的一方赢得该局.经赛前技术分析，在每一个回合(即从发球开始到一方得分结束的完整对抗过程)中，甲得分的概率为，乙得分的概率为.假设各回合结果相互独立，无无效回合，且各局胜负互不影响.（1）在某一局比赛中，求经过2回合结果为平局的概率和经过4回合结果为平局的概率；（2）在某一局比赛中，记“经过个回合甲获胜”为事件，分别求及在该局比赛中甲获胜的概率；（3）比赛结束时，双方共进行了局比赛，求的分布列.(附:当时，).解：（1）由题意得甲得分的概率为，乙得分的概率为，则，.（2）由题意得，，，，当为奇数时，，当为偶数时，，则甲获胜的概率为，当时，，则甲获胜的概率为.（3）由已知得甲获胜的概率为，且的取值为，而，，.可得分布列如下，34519.已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线上任意一点到两条渐近线的距离的乘积为.（1）求双曲线的标准方程；（2）直线经过点，且与双曲线的右支交于两点，设的内心为点，求证：点在定直线上；（3）从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，他们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质被广泛应用，如图，由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线经过点，连接交双曲线于点，点也是一个反射点，连接交双曲线于点，则点也是一个反射点，再连接，交双曲线于点，则点也是一个反射点，……，各反射点连线得到折线，设第n个反射点为()，求证：数列为等比数列.（1）解：由题意得双曲线的左，右焦点分别为，则，可得，且双曲线的渐近线方程为，设到两条渐近线的距离分别为，，由点到直线的距离公式得，，则，而到两条渐近线的距离的乘积为，可得，化简得，解得（另一根舍去），则双曲线