人教A版高中数学必修一题库 第五章　5.1.1　任意角

5.1.1任意角学习目标1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题.导语同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了5分钟，或时钟快了30分钟，应该如何校准？再比如在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题中的角不仅有超出0°~360°范围的角，而且旋转的方向也不相同.为了准确地描述这些问题，我们需要扩大角的范围.一、任意角的概念问题1在初中是如何定义角的？角的范围是多少？提示角可以看作从同一顶点出发的两条射线所成的图形，角的范围是0°~360°.知识梳理1.角的概念及其表示角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.如图，(1)始边：射线的起始位置OA；终边：射线的终止位置OB；顶点：射线的端点O.(2)记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.2.任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.名称定义图示正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角3.角的相等如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β.4.角的加法设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β.5.相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为-α，α-β=α+(-β).例1若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()A.120° B.-120° C.-60° D.60°答案B解析由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为-412×反思感悟正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数和负数的规定一样.跟踪训练1如图(1)，∠AOC=；如图(2)，∠AOC=.

答案110°-70°二、象限角问题2现在，我们把角的概念推广到了任意角，如何更形象地表示一个角？提示我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.注意点：(1)锐角是第一象限角，第一象限角未必是锐角；钝角是第二象限角，第二象限角未必是钝角；直角的终边在坐标轴上，它不属于任何象限.(2)每一个象限都有正角和负角.(3)无法比较两个象限角的大小.例2(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是()A.160° B.480° C.-960° D.1530°答案ABC解析在平面直角坐标系中分别画出各个角(图略)，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角，作图可知160°，480°，-960°的终边在第二象限.反思感悟正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.跟踪训练2(多选)下列叙述不正确的是()A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.钝角是第二象限角C.第二象限角比第一象限角大D.小于180°的角是钝角、直角或锐角答案ACD解析直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；零角和负角也小于180°，故D不正确.三、终边相同的角问题3给定一个角，它的终边是否唯一？若两个角的终边相同，那么这两个角相等吗？提示给定一个角，它的终边唯一；两个角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°角的终边和390°角的终边相同，它们正好相差了360°.知识梳理终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.例3(1)(课本例1)在0°~360°范围内，找出与-950°12'角终边相同的角，并判定它是第几象限角.解-950°12'=129°48'-3×360°，所以在0°~360°范围内，与-950°12'角终边相同的角是129°48'，它是第二象限角.(2)(课本例3)写出终边在直线y=x上的角的集合S.S中满足不等式-360°≤β<720°的元素β有哪些？解如图，在直角坐标系中画出直线y=x，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°~360°范围内，终边在直线y=x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y=x上的角的集合S={β|β=45°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°，k∈Z}={β|β=45°+n·180°，n∈Z}.S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β有45°-2×180°=-315°，45°-1×180°=-135°，45°+0×180°=45°，45°+1×180°=225°，45°+2×180°=405°，45°+3×180°=585°.例3(1)已知α=-1845°，在与角α终边相同的角中，求满足下列条件的角.①最小的正角；②最大的负角；③-360°~720°之间的角.解方法一因为-1845°=-45°+(-5)×360°，即-1845°角与-45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β=-45°+k·360°，k∈Z}，①最小的正角为315°.②最大的负角为-45°.③-360°~720°之间的角分别是-45°，315°，675°.方法二设与角α终边相同的角为β，则{β|β=-1845°+k·360°，k∈Z}，①令β>0，即-1845°+k·360°>0，得k的最小值为6，所以β=315°，即最小的正角为315°.②最大的负角为-45°.③-360°~720°之间的角分别是-45°，315°，675°.(2)写出终边在直线y=-3x上的角的集合.解终边在y=-3x(x<0)上的角的集合是S1={α|α=120°+k1·360°，k1∈Z}；终边在y=-3x(x≥0)上的角的集合是S2={α|α=300°+k2·360°，k2∈Z}.因此，终边在直线y=-3x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=120°+k1·360°，k1∈Z}∪{α|α=300°+k2·360°，k2∈Z}，即S={α|α=120°+2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α=120°+(2k2+1)·180°，k2∈Z}={α|α=120°+n·180°，n∈Z}.故终边在直线y=-3x上的角的集合是S={α|α=120°+n·180°，n∈Z}.延伸探究完成下表.终边落在x轴非负半轴上{α|α=k·360°，k∈Z}终边落在x轴非正半轴上{α|α=180°+k·360°，k∈Z}终边落在y轴非负半轴上{α|α=90°+k·360°，k∈Z}终边落在y轴非正半轴上{α|α=270°+k·360°，k∈Z}终边落在x轴上{α|α=k·180°，k∈Z}终边落在y轴上{α|α=90°+k·180°，k∈Z}终边落在坐标轴上{α|α=k·90°，k∈Z}反思感悟终边相同的角的表示(1)与角α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式.(2)终边相同的角相差360°的整数倍.(3)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.跟踪训练3若角2α与240°角的终边相同，则角α可以表示为()A.120°+k·360°，k∈ZB.120°+k·180°，k∈ZC.240°+k·360°，k∈ZD.240°+k·180°，k∈Z答案B解析因为角2α与240°角的终边相同，所以2α=240°+k·360°，k∈Z，所以α=120°+k·180°，k∈Z.四、区域角及其表示例4已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.解终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={α|α=30°+k·180°，k∈Z}，终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={α|α=105°+k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°，k∈Z}.反思感悟(1)表示区域角的三个步骤①先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β，写出最简集合{x|α<x<β}，其中β-α<360°.③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角的集合.(2)实线包括边界，虚线不包括边界.跟踪训练4如图所示.(1)分别写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合.解(1)终边落在射线OA上的角的集合为{α|α=210°+k·360°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合为{α|α=300°+k·360°，k∈Z}.(2)终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合是{α|210°+k·360°≤α≤300°+k·360°，k∈Z}.1.知识清单：(1)任意角的概念.(2)终边相同的角的表示.(3)象限角、区域角的表示.2.方法归纳：数形结合、分类讨论.3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z.1.2025°角是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案C解析因为2025°=5×360°+225°，所以2025°角的终边与225°角的终边相同，为第三象限角.2.与-460°角终边相同的角可以表示成()A.460°+k·360°，k∈ZB.100°+k·360°，k∈ZC.260°+k·360°，k∈ZD.-260°+k·360°，k∈Z答案C解析因为-460°=260°+(-2)×360°，所以与-460°角终边相同的角可以表示成260°+k·360°，k∈Z.3.图中从OA旋转到OB时所成的角度α是.

答案390°解析题图中的角是正角，α=390°.4.已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是.

答案{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°，k∈Z}解析观察图形可知，角α的集合是{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°，k∈Z}.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分1.每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟.这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是()A.30° B.-30°C.60° D.-60°答案D解析∵分针是顺时针走的，∴形成的角度是负角，又分针走过了10分钟，∴走过的角度大小为1060×360°=60°综上，分针走过的角度是-60°.2.“α是第一象限角”是“α是锐角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析若α是锐角，则α是第一象限角，但当α是第一象限角时，α不一定是锐角，如α=400°，故“α是第一象限角”是“α是锐角”的必要不充分条件.3.如果角α的终边上有一点P(0，-3)，那么α()A.是第三象限角B.是第四象限角C.是第三或第四象限角D.不是象限角答案D解析点P(0，-3)在y轴负半轴上，故α的终边为y轴的非正半轴，所以α不是象限角.4.下列角的终边位于第四象限的是()A.420° B.860°C.1060° D.1260°答案C解析方法一因为420°=60°+360°，所以420°角是第一象限角；因为860°=140°+2×360°，所以860°角是第二象限角；因为1060°=340°+2×360°，所以1060°角是第四象限角；因为1260°=180°+3×360°，所以1260°角的终边位于x轴的非正半轴上.方法二在平面直角坐标系中分别画出各个角(图略)，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角，作图可知1060°角的终边在第四象限.5.已知集合A=a|a=k×90°-36°，k∈Z，B=βA.-36°B.-126°C.-126°D.-126°答案C解析由-180°<k·90°-36°<180°(k∈Z)得-144°<k·90°<216°(k∈Z)，所以-14490<k<21690(k∈Z)，所以k=-1，0，1，所以A∩B={-126°，-36°，54°，144°}.6.将角α的终边绕坐标原点O逆时针旋转60°后与130°角的终边重合，则与角α终边相同的角的集合为()A.{β|β=k×180°+90°，k∈Z}B.{β|β=k×360°+90°，k∈Z}C.{β|β=k×180°+150°，k∈Z}D.{β|β=k×360°+70°，k∈Z}答案D解析由题意，知α+60°=k×360°+130°，k∈Z，解得α=k×360°+70°，k∈Z，所以与角α终边相同的角的集合为{β|β=k×360°+70°，k∈Z}.7.(多选)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是()A.1837° B.143°C.-323° D.-863°答案ACD解析与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°+k·180°，k∈Z.当k=10时，37°+1800°=1837°；当k=-2时，37°-360°=-323°；当k=-5时，37°-900°=-863°.8.(5分)如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC=.

答案-75°解析由角的定义可得∠AOC=45°+(-120°)=-75°.9.(5分)如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是.

答案{α|-50°+k·360°≤α≤40°+k·360°，k∈Z}解析因为终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=-50°+k·360°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合为{α|α=40°+k·360°，k∈Z}.所以终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是{α|-50°+k·360°≤α≤40°+k·360°，k∈Z}.10.(10分)已知α=-2000°.(1)把α写成β+k·360°，k∈Z，0°≤β<360°的形式，并指出它是第几象限角；(5分)(2)求θ，使θ与α的终边相同，且-720°≤θ<0°.(5分)解(1)α=-2000°=160°-6×360°，它是第二象限角.(2)由(1)及题意，令θ=160°+k·360°，k∈Z，故当k=-1时，θ=-200°；当k=-2时，θ=-560°.综上，θ=-200°或θ=-560°.11.若α是第四象限角，则180°-α是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案C解析方法一可以给α赋一特殊值-60°，则180°-α=240°，故180°-α是第三象限角.方法二∵α是第四象限角，∴-90°+k·360°<α<k·360°，k∈Z，∴180°-k·360°<180°-α<270°-k·360°，k∈Z，∴180°-α是第三象限角.12.中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是()A.7点36分 B.7点38分C.7点39分 D.7点40分答案B解析设7点t分(0<t<60)时针OA与分针OB重合，在7点时，时针OC与分针OD所夹的角为210°，时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，则分针从OD到达OB需旋转6°t，时针从OC到达OA需旋转0.5°t，于是6°t=0.5°t+210°，解得t=42011≈38(分)13.(5分)若α为△ABC的一个内角，且4α与120°的终边相同，则α=.

答案120°或30°解析∵4α=120°+k·360°，k∈Z，∴α=30°+k·90°，k∈Z，又∵0°<α<180°，∴当k=1时，α=120°；当k=0时，α=30°.14.(12分)在平面直角坐标系中，用阴影表示下列集合：(1){α|30°+k·360°≤α≤60°+k·360°，k∈Z}；(6分)(2){α|30°+k·180°≤α≤60°+k·180°，k∈Z}.(6分)解(1)根据任意角的定义，画出集合{α|30°+k·360°≤α≤60°+k·360°，k∈Z}对应的区域，如图1中阴影部分(含边界)所示.图1图2(2)根据任意角的定义，画出集合{α|30°+k·180°≤α≤60°+k·180°，k∈Z}对应的区域，如图2中阴影部分(含边界)所示.15.角α与角β的终边关于y轴