26年浙江省杭州市高二下册期末教学质量检测数学试卷【附答案】

/数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列样本数据散点图中，变量和变量的样本相关系数分别为，，，则（）A. B. C. D.3.已知函数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.以，为直径的圆的方程是（）A. B.C. D.5.已知直三棱柱的顶点都在球上，若，，，，则球的表面积为（）A. B. C. D.6.已知是函数的极小值点，则（）A. B.C. D.7.设，是函数的两个不同的零点．若，则（）A. B. C. D.8.从如图所示的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则事件“选中方格中的4个数之和为”的概率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知事件，的对立事件分别记为，，若，，，则（）A.事件与互斥 B.C. D.10.已知数列的各项均为正数，前项和为，且，则（）A. B.C. D.11.在区块链中，常用椭圆曲线进行加密．已知椭圆曲线，则（）A.曲线关于轴对称B.曲线与轴有两个交点C.曲线上点到轴的最小距离不小于D.曲线上点到原点的最小距离为三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12.《莱茵德纸草书》记载：把30个面包分给5个人，使得每人所得面包个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的4倍，则最小的一份为__________．13.如图，在圆锥中，，是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点．已知平面与圆锥侧面的交线是抛物线的一部分，设该抛物线的焦点为．若，则__________．14.已知空间向量，，满足，，，，则，，的最小值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知空间向量，，设函数．（1）求的最小正周期；（2）当时，求的值域．16.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．（1）证明：；（2）若，（i）设，点到直线的距离为3，求的值；（ii）求平面与平面的夹角的余弦值．17.已知双曲线，过点的直线与的上、下两支分别交于点，．（1）若点是上的动点，求的最小值；（2）设为坐标原点，直线，的斜率分别为，，（i）若，求直线的方程；（ii）求的取值范围．18.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：曲线是轴对称图形；（3）若，恒成立，求的最大值和的最小值．19.口袋中装有形状、大小完全相同的4只小球，其中红球1只、黄球3只．现从口袋中有放回地取球，每次取出1球，取到红球得1分，取到黄球得2分．（1）在取球过程中，记事件“恰好得分”的概率为，（i）求；（ii）求；（2）若共取球次，表示次取球中取到红球的次数，记．求证：．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：解答过程：复数，在复平面内对应的点为，位于第三象限.2.下列样本数据散点图中，变量和变量的样本相关系数分别为，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据散点图，结合变量间的相关关系和相关系数的定义，即可求解.解答过程：由散点图（1）可得，变量与变量之间呈现正相关，所以；由散点图（2）可得，变量与变量之间呈现不相关，所以；由散点图（3）可得，变量与变量之间负相关，所以，所以.3.已知函数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：解答过程：由复合函数的单调性可得在上单调递增，所以“”是“”的充要条件.4.以，为直径的圆的方程是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程.解答过程：设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有，当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则.综上对圆上任意一点，.从而,即5.已知直三棱柱的顶点都在球上，若，，，，则球的表面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用底面直角三角形的性质求出底面外接圆半径，结合直棱柱高度确定球心位置及球心到底面的距离，根据求出球半径，进而计算表面积。解答过程：由，知为直角三角形，斜边为其外接圆直径.计算，故底面外接圆半径.直三棱柱的高，球心位于上下底面外心连线的中点，故球心到底面的距离.设球半径为，则.球的表面积.6.已知是函数的极小值点，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由极小值点算出的值，举特殊值计算可判断ABC；代入计算可判断D.解答过程：由题，令，解得，因为是极小值点，所以当时，是极小值点，是极大值点成立，当时，是极大值点，是极小值点，舍去，所以，对于A，，所以，故A不正确；对于B，令，则，所以，故B不正确；对于C，令，，所以，故C不正确；对于D，，，所以，故D正确.7.设，是函数的两个不同的零点．若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由于，是函数的两个不同的零点，可得，，两式作差得：，利用两角和与差的正余弦公式可求得，进而可求得，利用二倍角的正切公式求解即可.解答过程：由于，是函数的两个不同的零点，可得，，两式作差得：，所以，所以，所以，又因为（），所以（），所以，所以，所以，所以.8.从如图所示的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则事件“选中方格中的4个数之和为”的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由分步计数原理可得符合题目要求的选取4个方格的情况数，随后找到“选中方格中的4个数之和为”的情况数，据此可得答案.解答过程：从第一行选出一个方格，有4种选法，再从剩下的3行中选取一个与第一个方格不同列的方格，有3种选法，然后从剩下2行中选取1个与前2个方格不同列的方格，有2种选法，最后剩下一种，则符合要求的选取4个方格的情况数为种.又由题可得当“选中方格中的4个数之和为”时，方格中的数字只能为，则从第三行选定后，若第一行选取第一个0，则第二行只能选取第4个0，第四行只能选取第3个0；若第一行选取第三个0，则第二行只能选取第1个0，第四行只能选取第4个0；若第一行选取第四个0，则第二行只能选取第1个0，第四行只能选取第3个0.综上“选中方格中的4个数之和为”的情况数为3，则对应概率为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知事件，的对立事件分别记为，，若，，，则（）A.事件与互斥 B.C. D.答案：BD解析：思路：先由，，求出，和，若事件与互斥，则，与已知矛盾；由可知，事件与独立，则事件与独立，可求；由公式可求；先求，再由条件概率的公式可求.解答过程：对于A，若事件与互斥，则，故A错误；对于B，由，，可得，，因，则事件与独立，故事件与也独立，则，故B正确；对于C，因为，故C错误；对于D，易得事件与独立，则，因，故D正确.10.已知数列的各项均为正数，前项和为，且，则（）A. B.C. D.答案：ABC解析：思路：A令可得；B利用化简得出数列是等差数列；C利用等差数列求出，再结合函数的单调性判断；D举反例.解答过程：令，则，得（舍负），故A正确；因为，所以，得，则数列是以为首项，为公差的等差数列，故，故B正确；易得，则，则，因为符合上式，故，因为在上单调递减，所以，故C正确；因为，所以，故D错误.11.在区块链中，常用椭圆曲线进行加密．已知椭圆曲线，则（）A.曲线关于轴对称B.曲线与轴有两个交点C.曲线上点到轴的最小距离不小于D.曲线上点到原点的最小距离为答案：ACD解析：思路：用代替，观察方程特点，可判断A的真假；设，分析函数的单调性，研究函数的零点个数，可判断B的真假；利用B的过程中的结论，求时，函数的最小值，比较其与的大小，可判断C的真假；设，设，，利用导数分析函数的最小值，可判断D的真假.解答过程：对A：用代替，方程无变化，所以曲线关于轴对称，故A正确；对B：设，，则，由或；由.所以函数在和上单调递增，在上单调递减.所以为极大值点，为极小值点，且，所以方程只有1解.又，，设，则，.所以曲线与轴只有1个交点，故B错误；对C：由B可知，当时，曲线上的点到轴的最小距离为，因为，故C正确；对D：设，则，设，.则，.由得或，由得.所以在和上单调递增，在上单调递减.所以是函数的极大值点，是函数的极小值点.且，.所以,故D正确.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12.《莱茵德纸草书》记载：把30个面包分给5个人，使得每人所得面包个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的4倍，则最小的一份为__________．答案：2解析：思路：设中间项为，公差为，根据等差数列的性质计算即可.解答过程：设等差数列的中间项为，公差为，则依次为，依题意，，解得，则较大的三份之和为较小的两份之和为，则有，解得，所以最小一份为.13.如图，在圆锥中，，是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点．已知平面与圆锥侧面的交线是抛物线的一部分，设该抛物线的焦点为．若，则__________．答案：##0.25解析：思路：过作于，利用几何关系求出，再以为原点，在平面内建立平面直角坐标系，利用点在抛物线上代入可得.解答过程：过作于，因为，所以，因为是母线的中点，所以，，以为原点，在平面内建立平面直角坐标系如右图：易得，设抛物线方程为，代入可得，则.14.已知空间向量，，满足，，，，则，，的最小值为__________．答案：解析：解答过程：由及，得，再代入已知条件、、，得：,配方得：,当、时，取到最小值20，故的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知空间向量，，设函数．（1）求的最小正周期；（2）当时，求的值域．答案：（1）；（2）解析：（1）因为，所以的最小正周期为；（2）当时，，则，所以的值域为．16.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．（1）证明：；（2）若，（i）设，点到直线的距离为3，求的值；（ii）求平面与平面的夹角的余弦值．答案：（1）证明：因为，，．所以，故，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面,所以．（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）根据面面垂直的性质及线面垂直的性质即可证明；（2）建立空间直角坐标系，（i）根据点到直线距离公式列出方程即可求解；（ii）根据面面夹角的向量公式即可求解．（1）略．（2）因为，，所以，又，，所以，如图建系直角坐标系．所以，，，，，（i）因为，所以点的坐标为，所以，，则直线的一个单位方向向量为，点到直线的距离，解得．（ii）已知平面的一个法向量为，，设平面的一个法向量为，由，即，取．所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为．17.已知双曲线，过点的直线与的上、下两支分别交于点，．（1）若点是上的动点，求的最小值；（2）设为坐标原点，直线，的斜率分别为，，（i）若，求直线的方程；（ii）求的取值范围．答案：（1）（2）（i）；（ii）．解析：思路：（1）利用两点间的距离公式，结合配方法，可求的最小值.（2）设直线：，与双曲线方程联立，利用韦达定理，表示出，，进而用表示出，（i）根据，求出，可得直线的方程；（ii）利用的取值范围，可确定的取值范围.（1）设，则，所以，即当时，.（2）如图：设与联立，有，由，得，设，，则，，得，则，（i）当时，，直线的方程为；（ii）因为直线，存在斜率，所以，故，所以，即的取值范围．18.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：曲线是轴对称图形；（3）若，恒成立，求的最大值和的最小值．答案：（1）（2）令，则，所以曲线关于直线对称；（3）的最大值为，的最小值为．解析：思路：（1）首先求出导函数，求出切线斜率，再根据点斜式方程求切线方程.（2）根据轴对称的定义证明即可.（3）利用分离常数，得到，再利用导数得到递增，得到的最小值；先由必要