2026年高中学业水平合格考真题汇编(数学)

2026年高中学业水平合格考真题汇编(数学)一、单项选择题：共16小题，每小题3分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,3,5}，B={2,3,4}，则A∩(∁_UB)=A.{3}B.{1,5}C.{1,3,5}D.{1,2,3,4,5}2.若复数z满足z(1+i)=2（i为虚数单位），则z的虚部为A.-1B.1C.-iD.i3.“x>2”是“x²>4”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知实数a>b，则下列不等式一定成立的是A.1/a<1/bB.a²>b²C.2^a>2^bD.ac²>bc²5.函数f(x)=√(x-1)+ln(3-x)的定义域为A.[1,3]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,3]6.已知sinα=3/5，且α为第二象限角，则cos(π+α)=A.4/5B.-4/5C.3/5D.-3/57.已知向量a=(2,1),b=(-1,k)，若a⊥b，则实数k的值为A.2B.-2C.1/2D.-1/28.已知幂函数f(x)=x^α的图像过点(2,√2)，则f(4)=A.√2/2B.2C.4D.89.某高中为了解高一1200名学生的数学合格考备考情况，采用系统抽样方法抽取容量为60的样本进行模拟测试，将学生从1到1200依次编号，按编号顺序平均分为60组（1~20号为第1组，21~40号为第2组，……，1181~1200号为第60组），若第1组抽出的号码为3，则第5组抽出的学生编号为A.73B.83C.93D.10310.已知平面α、β和直线a、b，下列命题中正确的是A.平行于同一条直线的两个平面互相平行B.垂直于同一条直线的两个平面互相平行C.垂直于同一个平面的两个平面互相平行D.平行于同一个平面的两条直线互相平行11.过点(1,2)且与直线2x+y-1=0平行的直线方程为A.x-2y+3=0B.2x-y=0C.2x+y-4=0D.x+2y-5=012.计算log₂8+lg2+lg5+2⁰的结果为A.3B.4C.5D.613.从2名男生、3名女生中随机选取2人参加合格考志愿服务，则选中的2人均为女生的概率为A.1/10B.3/10C.2/5D.3/514.函数f(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期为A.π/2B.πC.2πD.4π15.圆x²+y²-2x+4y=0的圆心坐标为A.(1,2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(-1,-2)16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x²-2x，则f(-1)=A.-1B.1C.3D.-3二、填空题：共4小题，每小题4分，共16分。17.不等式x²-3x+2<0的解集为______。18.棱长为2的正方体外接球的表面积为______。三、解答题：共3小题，共36分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21.（10分）某校对高一年级50名学生的数学学业水平模拟考试成绩进行抽样分析，将成绩按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分为6组，绘制频率分布直方图时，已知[40,50),[50,60),[60,70),[70,80)四组的频率/组距分别为0.008、0.012、0.026、0.024，[90,100]组的频率为0.16。（1）求[80,90)组对应的频率/组距；（2）估计本次抽取学生成绩的众数、中位数（中位数计算结果保留1位小数）；（3）采用分层抽样的方法从成绩在[40,50)和[90,100]两个区间的学生中抽取6人进行学习方法访谈，再从这6人中随机选取2人作为学生代表参与考情座谈会，求选取的2人来自不同分数区间的概率。22.（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱DD₁的中点（正方体顶点标注：底面ABCD为正方形，按逆时针顺序排列，A为底面左前顶点，B为右前，C为右后，D为左后，A₁、B₁、C₁、D₁为对应上底面顶点）。（1）求证：直线BD₁∥平面AEC；（2）求三棱锥E-ACD的体积。23.（14分）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=2^x-2。（1）求x<0时f(x)的解析式；（2）在平面直角坐标系中作出f(x)的大致图像，并根据图像写出f(x)的单调区间；（3）求不等式f(x)>2的解集。参考答案及详细解析一、单项选择题1.答案：B。解析：本题考查集合的补集与交集运算。全集U中不属于B的元素构成∁_UB={1,5,6}，结合集合A={1,3,5}，取两个集合的公共元素可得A∩(∁_UB)={1,5}。2.答案：A。解析：本题考查复数的运算与基本概念。对z进行化简：z=2/(1+i)=2(1-i)/[(1+i)(1-i)]=1-i，根据复数虚部的定义，复数a+bi（a,b∈R）的虚部为b，故z的虚部为-1，注意虚部为实数，不含虚数单位i。3.答案：A。解析：本题考查充分条件与必要条件的判定。当x>2时，x²>4必然成立，满足充分性；当x²>4时，解得x>2或x<-2，无法推出x>2，不满足必要性，因此“x>2”是“x²>4”的充分不必要条件。4.答案：C。解析：本题考查不等式的基本性质与初等函数单调性。选项A错误，反例：a=1,b=-1时满足a>b，但1/a>1/b；选项B错误，反例：a=1,b=-2时满足a>b，但a²=1<b²=4；选项C正确，指数函数y=2^x是R上的严格增函数，故a>b时必有2^a>2^b；选项D错误，当c=0时，ac²=bc²=0，不满足严格大于关系。5.答案：C。解析：本题考查函数定义域的求解。函数有意义需满足偶次根式被开方数非负、对数真数大于0，列不等式组：x-1≥0，3-x>0，解得1≤x<3，故定义域为[1,3)。6.答案：A。解析：本题考查同角三角函数基本关系与诱导公式。α为第二象限角，故cosα为负值，由同角三角函数平方关系得cosα=-√(1-sin²α)=-√(1-9/25)=-4/5；根据诱导公式cos(π+α)=-cosα=4/5。7.答案：A。解析：本题考查平面向量垂直的坐标表示。两向量垂直时数量积为0，即a·b=2×(-1)+1×k=0，解得k=2。8.答案：B。解析：本题考查幂函数的解析式与函数值计算。将点(2,√2)代入幂函数解析式得2^α=√2=2^(1/2)，故α=1/2，即f(x)=√x，因此f(4)=√4=2。9.答案：B。解析：本题考查系统抽样的计算。系统抽样的组距为总体容量除以样本容量，即1200/60=20，第k组抽取的号码满足通式：第1组号码+(k-1)×组距，因此第5组号码为3+(5-1)×20=83。10.答案：B。解析：本题考查空间直线与平面的位置关系判定。选项A错误，平行于同一直线的两个平面可能相交，例如两个相交平面的交线与某条直线平行时，该直线与两个平面同时平行；选项B正确，垂直于同一直线的两个平面必平行，是面面平行的判定推论；选项C错误，垂直于同一平面的两个平面可能相交，例如墙角处相邻两个墙面均垂直于地面但彼此垂直相交；选项D错误，平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面。11.答案：C。解析：本题考查平行直线的方程求解。与直线Ax+By+C₁=0平行的直线可设为Ax+By+C₂=0（C₁≠C₂），故设所求直线为2x+y+C=0，将点(1,2)代入得2×1+2+C=0，解得C=-4，因此直线方程为2x+y-4=0。12.答案：C。解析：本题考查指数、对数的基本运算与对数运算法则。log₂8=log₂2³=3，根据对数加法法则lg2+lg5=lg(2×5)=lg10=1，根据零指数幂定义2⁰=1，因此原式=3+1+1=5。13.答案：B。解析：本题考查古典概型的概率计算。从5名学生中选2人的总基本事件数为组合数C(5,2)=10，选中2名女生的事件数为从3名女生中选2人的组合数C(3,2)=3，因此概率为3/10。16.答案：B。解析：本题考查奇函数的性质应用。奇函数满足f(-x)=-f(x)，因此f(-1)=-f(1)；当x=1≥0时，代入解析式得f(1)=1²-2×1=-1，故f(-1)=-(-1)=1。二、填空题17.答案：(1,2)。解析：本题考查一元二次不等式求解。将不等式左边因式分解得(x-1)(x-2)<0，对应二次函数开口向上，因此不等式的解集为两根之间的区间，即1<x<2，写成区间形式为(1,2)。18.答案：12π。解析：本题考查正方体外接球的性质与球的表面积公式。正方体外接球的直径等于正方体的体对角线长度，棱长为2的正方体体对角线长为√(2²+2²+2²)=2√3，故外接球半径r=√3，代入球的表面积公式S=4πr²=4π×3=12π。三、解答题21.解：（1）频率分布直方图中所有组的频率之和为1，组距为10。已知[90,100]组频率为0.16，[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)四组的频率和为(0.008+0.012+0.026+0.024)×10=0.7（2分），因此[80,90)组的频率为1-0.7-0.16=0.14，对应的频率/组距为0.14/10=0.014（3分）。（2）①众数为频率最高组的区间中点，对比各组频率/组距可知[60,70)组频率最高，故众数为(60+70)/2=65（4分）；②计算累计频率：[40,50)组频率为0.008×10=0.08，[50,60)组频率为0.012×10=0.12，累计到[60,70)组前的频率和为0.2；[60,70)组频率为0.26，累计频率为0.46<0.5；[70,80)组频率为0.24，累计到该组的频率为0.46+0.24=0.7>0.5，因此中位数位于[70,80)区间内（6分）。设中位数为m，根据中位数定义列方程：0.46+(m-70)×0.024=0.5，解得m≈71.7（7分）。（3）根据频率计算两组人数：[40,50)组人数为50×0.08=4人，[90,100]组人数为50×0.16=8人，两组共12人。分层抽样的抽样比为6/12=1/2，因此[40,50)组抽取4×1/2=2人，记为A₁、A₂；[90,100]组抽取8×1/2=4人，记为B₁、B₂、B₃、B₄（8分）。从6人中选取2人的总基本事件数为C(6,2)=15个，其中2人来自不同区间的事件数为2×4=8个，因此所求概率P=8/15（10分）。22.（1）证明：连接BD，交AC于点O，连接OE（2分）。因为四边形ABCD为正方形，对角线BD与AC互相平分，故O为BD的中点；又E为DD₁的中点，因此在△BDD₁中，OE是连接两边中点的中位线，可得OE∥BD₁（6分）。因为OE⊂平面AEC，BD₁⊄平面AEC，根据线面平行的判定定理，可证得BD₁∥平面AEC（8分）。（2）解：在正方体中，棱DD₁垂直于底面ABCD，故E到底面ACD的距离即为线段DE的长度。因为E为DD₁中点，DD₁=2，故DE=1（10分）。底面△ACD为直角三角形，直角边AD=CD=2，其面积S=1/2×AD×CD=1/2×2×2=2，根据三棱锥体积公式，V_E-ACD=1/3×S×DE=1/3×2×1=2/3（12分）。23.解：（1）当x<0时，-x>0，因为x≥0时f(x)=2^x-2，故将-x代入x≥0时的解析式得f(-x)=2^{-x}-2（2分）。又因为f(x)是R上的偶函数，满足f(x)=f(-x)，因此当x<0时，f(x)=2^{-x}-2=(1/2)^x-2（4分）。（2）绘制图像要点：当x≥0时，f(x)=2^x-2是指数函数y=2^x向下平移2个单位，过点(0,-1)、(1,0)、(2,2)，在[0,+∞)上单调递增；根据偶函数图像关于y轴对称的性质，x<0时f(x)=(1/2)^x-2过点(0,-1)、(-1,0)、(-2,2)，在