非线性系统控制理论-第8课 稳定性（三）

CHAPTER04·第八讲LASSALLEINVARIANCEPRINCIPLE非线性系统控制理论第4章稳定性（三）不变原理与线性系统分析：从LaSalle到Lyapunov方程§4.4–§4.5课程非线性系统控制理论32学时·共16次课·每次2学时本讲内容正极限点集·LaSalle不变原理·Barbalat引理·Lyapunov方程§4.4–§4.5第8次课·共16次本次课主要内容当V̇只能做到半负定·§4.4–§4.5·2个学时①

②三个新概念：正极限点集L⁺·不变集合·引理4.2定义4.10与4.11给"轨线最终往哪里去"配上语言；引理4.2指出L⁺必为不变集，这是LaSalle定理证明的支点。③不变原理：定理4.5（局部）/定理4.6（全局）

④线性系统：Lyapunov方程与工程落地定理4.7给出AᵀP+PA=−Q的充要条件与收敛速率估计；MATLABlyap直接求解；Kharitonov定理处理区间多项式鲁棒稳定。第4章|本次课主要内容Contents第8次课·共16次课02/20上节回顾与本次课定位从"V̇必须负定"到"V̇半负定+M中不含整轨线"7第7次课回顾

8本次课定位

工具链推进第7次课定理4.2（V̇负定⇒渐近稳定）→本次课LaSalle不变原理（V̇≤0+M无整轨线）→下次课反馈线性化（第6章§6.1）第4章|上节回顾与本次课定位Review&Positioning第8次课·共16次课03/20SECTION4.4INVARIANCEPRINCIPLE不变原理当V̇只能做到半负定，我们还能走多远01正极限点集L⁺定义4.10：轨线无限接近、却未必到达的那一族点02不变集合与引理4.2定义4.11：从M出发的轨线永远留在M内；L⁺必为不变集03局部不变原理

04全局不变原理定理4.6：再加径向无界；例4.8非线性振动系统

定理4.2用不了的场合，恰恰是最常见的场合

场景①单摆/小阻尼振动

场景③极限环

核心问题

Motivation第4章§4.4·动机05/20定义4.10正极限点与正极限点集L⁺给"轨线最终往哪儿去"配上一套语言定义4.10正极限点与正极限点集对从x(t₀)=x₀出发的运动x=x(t,x₀,t₀)，若存在时间序列t₁,t₂,…,tₙ,…（n→∞时tₙ→∞），使下面的向量序列有极限：则称x̃为该相轨线的正极限点；

所有正极限点的集合称为正极限点集，记为L⁺。怎么理解L⁺是轨线"无限接近、却未必到达"的那些点。时间序列tₙ可以任取，因此L⁺刻画的是轨线的长期归宿。三种典型情形收敛到平衡点⇒L⁺={0}；趋于极限环⇒L⁺=该极限环；发散到无穷⇒L⁺=∅（空集）。为什么重要LaSalle定理的证明要证L⁺⊆M。只要把L⁺压缩到原点，就得到渐近稳定——这是全讲的枢纽。§4.4

|定义4.10正极限点集PositiveLimitSet第4章§4.4·定义4.1006/20不变集合与引理4.2"进去出不来"的集合，以及正极限点集的封闭性定义4.11不变集合若M是一点集，对任一x̃∈M，从x̃出发的轨线全部属于M，即则称M为系统的不变集合。典型例子：平衡点{0}；极限环；任何一条完整的轨线本身；整个相空间。

注意：不变集不一定是吸引的——它可能只是轨线"路过"的封闭区域。LEMMA4.2系统ẋ=f(x)的解x(t,x₀,t₀)的正极限点集L⁺是该系统的不变集合。直觉：若轨线无限次地逼近x̃，那么从x̃出发的轨线必然沿着同一吸引结构演化。

否则x̃只是"一次性路过"的点，不会被时间序列反复选中。证明要点（四步）①取x̃∈L⁺，则存在tₙ→∞，使x(tₙ,x₀,t₀)→x̃②由解的可组合性：x[t,x(tₙ,x₀,t₀),t₀]=x(t+tₙ,x₀,t₀)③令n→∞（用解对初值的连续性）：x(t,x̃,t₀)=limx(t+tₙ,x₀,t₀)④记t′ₙ=t+tₙ，则t′ₙ→∞，故x(t,x̃,t₀)∈L⁺⇒L⁺不变∎§4.4

|定义4.11不变集合+引理4.2InvariantSet&Lemma4.2第4章§4.4·定义4.11与引理4.207/20定理4.5·局部不变原理（LaSalle）把V̇负定的要求削弱为半负定，代价是一个几何条件THEOREM4.5

|局部不变原理

STEP1

STEP2正极限点集落在M内

STEP3

§4.4

|定理4.5局部不变原理LocalInvariancePrinciple第4章§4.4·定理4.508/20三条注记与超曲面判据把一个抽象的几何条件，变成一行可以手算的检查注4.1条件的实质：负定→半负定

注4.2

注4.3充分条件：超曲面判据（可手算）

判据速查取m(x)使M⊆{m=0}，在m=0上计算ṁṁ≠0⇒附加条件成立⇒可判渐近稳定§4.4

|注4.1–4.3：如何验证"M中不含整轨线"Remarks4.1–4.3第4章§4.4·注4.1–4.309/20例4.6小阻尼振动定理4.5的第一次实战：轨线只能"瞬间相切"STEP1系统方程STEP2取V并求V̇STEP3写出M并检验超曲面判据

§4.4

|例4.6小阻尼振动Example·SmallDamping第4章§4.4·例4.610/20例4.7充分条件失效，但结论并非为假M上真的存在整条轨线时，会发生什么STEP1三阶系统与候选VSTEP2超曲面判据失效STEP3把x₃=0代回方程，解出M上的整轨线结论：该解完全位于M中⇒M上有系统的整相轨线⇒定理4.5不成立，

不能判定原点渐近稳定。但由整轨线的存在可知，原点仅是李雅普诺夫稳定：x₁x₂平面上是周期轨线族，x₃方向按e⁻²ᵗ衰减。充分条件失效≠结论为假——这正是不变原理的边界所在。§4.4

|例4.7充分条件失效的反例Counterexample第4章§4.4·例4.711/20定理4.6·全局不变原理再加一个"径向无界"，把吸引域从邻域扩到整个状态空间THEOREM4.6

|全局不变原理

定理4.5局部不变原理·V(x)正定（不要求径向无界）·结论：原点在邻域Ω内渐近稳定·吸引域被Ω限制，需另行估计定理4.6全局不变原理·V(x)正定

且

径向无界·结论：原点在整个ℝⁿ上渐近稳定·吸引域=ℝⁿ，无需额外估计证明线索：与定理4.5完全相同，只在STEP1换一个理由

两个定理的共同代价

§4.4

|定理4.6全局不变原理GlobalInvariancePrinciple第4章§4.4·定理4.612/20例4.8一般非线性振动系统机械能就是天然的V(x)：从局部到全局，只差一个积分发散条件STEP1系统与物理意义条件(i)ẋg(ẋ)>0（ẋ≠0），g(0)=0⇒−g(ẋ)是阻尼；

条件(ii)xf(x)>0（x≠0），f(0)=0⇒−f(x)是恢复力。STEP2取机械能作为V，并求V̇STEP3检验M与径向无界

§4.4

|例4.8非线性振动系统Example·LiénardSystem第4章§4.4·例4.813/20把"不增"升级为"收敛"一致连续+积分收敛⇒被积函数本身趋于零一致连续性（uniformcontinuity）

BARBALAT'SLEMMA

在Lyapunov分析中的用法把"V不增"升级为"W(x(t))→0"

§4.4延伸|

Barbalat引理与一致连续性Barbalat'sLemma第4章§4.4延伸·Barbalat引理14/20§4.5线性时不变系统的李雅普诺夫分析—从一般非线性系统回到线性系统：线性化定理只给出"局部存在性"，Lyapunov方程给出"可计算的充要条件"定理4.7·线性系统的充要条件稳定性问题被彻底"代数化"成求解一个矩阵方程THEOREM4.7

|线性系统Lyapunov方程线性系统ẋ=Ax的平衡点x=0全局指数稳定的充分必要条件为：对于任意给定的对称正定矩阵Q，矩阵方程存在唯一的对称正定解P。

该方程称为Lyapunov方程（式4-47）。①为什么是"任意"的Q若对某个对称正定Q有解，则对所有对称正定Q都有解。工程上常取Q=I以简化计算。②与Hurwitz判据等价A的所有特征值实部为负（Hurwitz矩阵）⟺

上述方程对任意Q≻0有唯一解P≻0。③与线性化定理的关系对线性系统，定理4.1与定理4.7结论一致；但定理4.7是充要条件，且能给出收敛速率。④工程价值MATLAB一行lyap即可求解，且解P自带一个天然的Lyapunov函数V=xᵀPx。

§4.5

|定理4.7线性系统的李雅普诺夫方程LyapunovEquation第4章§4.5·定理4.715/20充分性证明与收敛速率估计四步夹逼：从矩阵不等式的特征值，到状态的指数衰减界STEP1取候选函数V=xᵀPx并求导STEP2用特征值把二次型夹逼起来STEP3消去‖x‖²，化为关于V的微分不等式

收敛速率估计（式4-51）

两个因子分别管什么α决定衰减快慢，刻画"坐标选择"带来的瞬态初始放大。与定理4.4的关系

估计是保守的α与Q的选择有关；真实的渐近衰减率由A的最右特征值实部（谱横坐标）决定。下一页的算例会看到这一点。§4.5

|定理4.7的证明与收敛速率Proof&ConvergenceRate第4章§4.5·定理4.7证明16/20Kharitonov定理：无穷多个多项式，只查四个顶点当参数只在区间内已知时，如何判定鲁棒稳定性区间多项式族：系数只在区间内已知K₁K₂K₃K₄取值规律：偶数次系数（a₀,a₂,a₄…）与奇数次系数（a₁,a₃,a₅…）在上下界之间交替摆动；

每个Kᵢ保持奇偶两路各自的"图案"，四个顶点正好覆盖全部极值组合。KHARITONOV定理区间多项式族对全部系数取值都Hurwitz稳定

当且仅当

四个顶点多项式K₁,K₂,K₃,K₄全部Hurwitz稳定。意义：把"无穷多个多项式的稳定性"这一无穷问题，约化为四次Routh–Hurwitz判据。

它回答了Lyapunov方程没有直接覆盖的情形：A的系数本身也带有不确定性。适用边界：①系数必须独立地在区间内变化，忽略系数之间的关联约束；②只判定Hurwitz稳定（连续时间系统的左半平面）；③处理的是"区间族"，不含更一般的结构化或参数化不确定性。与Lyapunov方法的关系：Lyapunov方程回答"给定A，是否稳定、衰减多快"；Kharitonov定理回答"A在参数区间内任意取值时，是否始终稳定"。

两者互补：前者给出定量指标，后者给出鲁棒性保证。§4.5扩展|

Kharitonov定理与区间多项式KharitonovTheorem第4章§4.5扩展·Kharitonov定理18/20关键收获本讲完成了工具箱的最后两块拼图：不变原理与线性系统的代数判据01

代价是附加"M中除原点外不含系统的整轨线"（注4.1）。负定放宽为半负定后，单摆、线性系统等一大批原本无法处理的系统变得可解。02两个新概念：正极限点集L⁺与不变集合定义4.10刻画轨线的长期归宿；定义4.11刻画"进去出不来"的集合；引理4.2指出L⁺必为不变集——这是定理4.5的支点。03可操作判据：超曲面判据ṁ=[∇m]ᵀf≠0取m(x)使M⊆{m=0}，在m=0上算ṁ。若不为零，轨线必然穿越该超曲面，无法驻留——一行手算替代几何论证。04从局部到全局：定理4.5/4.6与Barbalat引理加径向无界即得全局渐近稳定；Barbalat引理（一致连续+积分收敛⇒函数趋于零）把"V不增"升级为"W(x(t))→0"。05线性系统：AᵀP+PA=−Q是充要条件定理4.7给出唯一正定解P，V=xᵀPx即为天然的李雅普诺夫函数；收敛速率α=λmin(Q)/(2λmax(P))，MATLAB一行lyap即可求解。第4章|本次课关键收获KeyTakeaways第8次课·共16次课19/20HOMEWORK&NEXTL