非线性系统控制理论-第10课 反馈线性化（二）

CHAPTER06·第十讲FULL-STATELINEARIZATION非线性系统控制理论第6章反馈线性化（二）全状态线性化与零动态：从对合性到零动态判据§6.2课程非线性系统控制理论32学时·共16次课·每次2学时本讲内容分布·对合性·Frobenius定理·定理6.3·零动态与最小相位§6.2第10次课·共16次本次课主要内容从"输出精确线性化"走到"整个状态线性化"01问题与几何语言全状态线性化的定义与目标等价偏微分方程(6-12)(6-13)分布：逐点变化的切平面族02对合与Frobenius对合性：Δ

内封闭例6.5：一个非对合分布定理6.2：可积⟺对合03主定理与设计定理6.3：两个充要条件注6.3：线性系统=能控性例6.6完整设计与五步流程04边界与落地MIMO相对阶矩阵与解耦零动态、最小相位与逆响应两法对比·奇异点·局限性▸承前：§6.1解决的是"输出"的精确线性化；本讲回答两个更硬的问题：整个状态能不能线性化？线性化的代价是什么？第6章|本次课主要内容Contents·§6.2·2学时第10次课·共16次课02/20上节回顾与本次课定位从"输出变线性"到"整个状态变线性"——条件更严，收获更大9第9次课回顾

留下的两个问题：①输出h是我们"指定"的，能不能主动挑一个h让ρ尽量大？②ρ＜n时那部分内部动态怎么办？10本次课定位

一句话：§6.1教我们"怎么算"，§6.2回答"什么时候能算、以及算完的代价"。课程地图第1–3讲非线性现象与相平面第3–5讲描述函数法第6–8讲Lyapunov稳定性第9–10讲反馈线性化◀第11–12讲自适应控制第13–16讲反步法与总结第6章|上节回顾与本次课定位Review&Positioning第10次课·共16次课03/20SECTION6.2FULL-STATELINEARIZATION全状态线性化不止输出——让整个状态空间变成一串积分器01几何语言：分布

02对合性与可积性对合：Δ

中任意两场的李括号仍在Δ内；Frobenius定理6.2：非奇异+对合⇔可积03定理6.3（主结果）

04代价与边界零动态必须稳定（最小相位）；奇异点、MIMO解耦矩阵、参数不确定性都是硬约束什么叫"全状态"线性化要求的不只是y的行为，而是全部n个坐标都变成积分器链被控对象（仿射非线性系统，式6-11）设计目标：找一个非线性状态反馈使系统经过状态变换后，以v为输入呈现线性形式（通常是一串积分器）与§6.1的关系：一个非常好用的"充分条件"若存在输出h(x)使系统相对阶等于系统阶数n，则系统可全状态线性化，且§6.1的公式可直接搬用。于是问题化为：找一个h(x)，使换成李括号语言由引理6.1，"沿g逐阶清零"等价于"沿李括号族清零"：本质是一个偏微分方程共n−1个一阶偏微分方程，未知函数h只有1个——一般未必有解。于是需要两件新东西①分布：把上式左边那串向量场看成一个几何对象，讨论它的"维数"；②对合性：这个几何对象是否"自洽"——自洽才可积，才存在h。这就是§6.2全部理论工具的由来。本讲主线分布→对合性→Frobenius定理→定理6.3→例6.6完整设计→零动态与局限性§6.2

|问题陈述ProblemStatement第6章§6.2·问题陈述05/20分布：逐点变化的"切平面族"把一族向量场当成一个几何对象，才能谈论它的"维数"与"封闭性"定义（分布）：由有限个光滑向量场张成的空间非奇异（nonsingular）

几何直觉分布不是"一个曲面"，而是"一叠曲面的切平面族"：在每一点x给出一个方向集Δ(x)。

后面要找的坐标变换，就是把这些切平面"摊平"成坐标网格。和"向量场"的区别向量场是"每点一个方向"；分布是"每点一个方向集"。李括号、对合性都建立在分布的层次上。§6.2

|几何语言Ⅰ：分布Distribution第6章§6.2·分布06/20对合：分布"关得住"自己的李括号从Δ里取两个方向交替漂移，净漂移必须还落在Δ内注意：对合性不是自动成立的——大量分布都会"漏"。这直接决定了全状态线性化能否实现。定义（对合分布/Involutive）即：李括号运算不把向量场带出分布之外例6.5（经典非对合反例）由于f₁、f₂、[f₁,f₂]对任意x都线性无关，故[f₁,f₂]不能由f₁、f₂线性表示——Δ不是对合分布。怎么"看出"对合常向量张成的分布一定对合（常向量的偏导为零，李括号为零向量）；

只要张成向量场里有非线性的成分，就要老老实实算一遍李括号。§6.2

|几何语言Ⅱ：对合性Involutivity第6章§6.2·对合性与例6.507/20可积性：分布能否"摊平"成曲面定理6.2把几何条件（对合）与解析条件（偏微分方程可解）划上等号定义（可积分布）即Δ中所有向量场都"切于"h的水平集几何解释：积分曲面

定理6.2（FROBENIUS定理）一个非奇异分布是可积的，当且仅当它是对合的。——前半句是"解析地存在h"，后半句是"几何地自洽"，定理说这两件事是一回事使用须知：这是"存在性判据"而非"构造算法"。它回答"什么时候存在这样的h"；至于怎么解出h，还要靠具体技巧（下一节例6.6会示范）。三句话记住它①对合=几何自洽：李括号不跑出Δ②可积=解析可实现：存在h使Δ成为水平集切空间③定理=二者等价（前提：非奇异）推理链条Δ非奇异+对合▸Frobenius定理6.2▸存在h使⟨dh,f⟩=0▸h可作坐标为什么必须"非奇异"若dimΔ(x)会随x跳变，水平集的结构也会随之改变，定理的结论不再成立。

因此定理6.3的第一个条件专门用来排除这种退化。§6.2

|可积性与Frobenius定理Integrability·Theorem6.2第6章§6.2·Frobenius定理6.208/20全状态可反馈线性化：两个条件G满秩保证"控制权限够"，G_(n−1)对合保证"存在好坐标"定理6.3系统ẋ=f(x)+g(x)u为全状态可反馈线性化，当且仅当对任意x∈D，下面两条同时成立：

充分性（两条件⇒ρ=n）STEP1

STEP2

STEP3

STEP4故以h为输出时相对阶ρ=n，由定理6.1直接得全状态线性化必要性（ρ=n⇒两条件）STEP1

STEP2

STEP3

STEP4

两个条件的味道不同：条件①是"控制权限够不够"（线性系统里退化为完全可控）；条件②是"几何结构自不自洽"。

少任何一个，都可能找不到合法的坐标变换。§6.2

|主定理：定理6.3Theorem6.3第6章§6.2·定理6.309/20线性系统：条件只剩"完全可控"定理6.3是非线性版的能控性判据——它把Kalman判据自然推广了线性系统：f(x)=Ax、g(x)=b代入定理6.3的条件①

条件②自动满足

一张对照表非线性系统线性系统

完全可控（Kalman判据）

自动满足需解偏微分方程求hh由极点配置直接给出反馈增益含状态相关项反馈增益为常增益可能出现奇异点分母恒为非零常数关键洞见线性系统里"可控⇒一定可以反馈线性化"（状态反馈不改变可控性）；

非线性系统里"能控"还不够，还要求几何自洽——这正是"非线性更难"的具体含义。§6.2

|注6.3：退回到线性系统Note6.3·LinearCase第6章§6.2·注6.310/20例6.6：先给系统做"体检"同一个系统，例6.4只做到ρ=2；这次换个输出h，让ρ=n=3非线性系统（承例6.4）第一步：算出李括号族

与例6.4的关系例6.4指定输出y=x₁（物理上最自然的选择），得到ρ=2＜n=3；

本讲不再"指定"输出，而是主动"构造"一个h，让相对阶顶到n。条件②：G₂是否对合由常向量张成⇒李括号为零向量⇒必对合✓条件①：G是否满秩行列式恒大于零⇒对一切x满秩✓体检结论定理6.3的两个条件全部满足⇒该系统全状态可反馈线性化。

下一页的任务：把那个好用的h解出来。§6.2

|例6.6：全状态线性化设计（上）Example6.6第6章§6.2·例6.6（上）11/20例6.6：解出h、写出控制律偏微分方程看起来很吓人，但本例有一个几乎"肉眼可见"的解解偏微分方程：需同时满足∂h/∂x·g=0与∂h/∂x·[f,g]=0h的选取不唯一：只要沿g与[f,g]的方向导数为零即可逐阶验证相对阶

非线性反馈控制律最后一步：极点配置线性化后取v=−a₁ξ₁−a₂ξ₂−a₃ξ₃，闭环特征多项式s³+a₃s²+a₂s+a₁的根可任意配置——与设计一个线性系统完全一样。留意分母：3x₁²+1≥1＞0，本例处处非奇异——这是"运气好"，不是普遍保证。§6.2

|例6.6：全状态线性化设计（下）Example6.6第6章§6.2·例6.6（下）12/20设计流程体检不过怎么办不许"强行算"：定理6.3是充要条件，条件不满足时方程无解，硬算只会得到发散的u。

工程上通常退回输入输出线性化+零动态分析，或改用自适应/反步法。四个常见坑

§6.2

|设计流程DesignProcedure第6章§6.2·设计流程13/20MIMO：相对阶矩阵与精确解耦m个输入配m个输出时，"相对阶"从一个数变成一个向量多输入多输出仿射非线性系统

前rᵢ−1阶导数中不出现任何输入；直到第rᵢ阶才显现解耦矩阵（decouplingmatrix）第i行j列：第j个输入对第i个输出的"第一手影响力"解耦控制律（A(x)非奇异时）每个输入只管自己那一路输出——这就是"精确解耦"什么时候才是"全状态"

新的困难：A(x)可能退化单输入时只需一个数非零；多输入时要整个矩阵可逆。A(x)在某个曲面上奇异，就意味着这批输入"临时失去分工能力"。§6.2

|多输入多输出：相对阶矩阵MIMOCase第6章§6.2·MIMO相对阶矩阵14/20零动态：输出恒为零时的内部动态反馈线性化只管ρ维；剩下的n−ρ维才是"藏在水下"的部分定义（零动态）ρ＜n时，反馈线性化"够不着"的那部分动态最小相位（minimumphase）若零动态ż=f₀(z,0)在原点渐近稳定，则称系统是最小相位的。

此时用输入输出线性化+极点配置可以镇定原系统；

反之，无论怎么配置ξ侧的极点，内部状态都会发散。退回到线性系统：零动态=零点·零动态的特征值恰好等于传递函数的零点·"最小相位"⟺全部零点位于左半平面·ρ=n（即无零点）时零动态退化为空集，系统自动"最小相位"·例6.4：ρ=2＜n=3，零动态ż=−z，特征值−1＜0⇒最小相位为什么"藏在下面"很危险因为y中看不到z：从输出看一切正常，实际内部早已发散。工程上这类失稳往往在实验阶段才暴露。§6.2

|零动态与最小相位ZeroDynamics第6章§6.2·零动态与最小相位15/20非最小相位：反馈治不好的"逆响应"反馈能挪动极点，却挪不动零点——这是本章最"硬"的限制初值定理与终值定理同时成立：y(0)=0、y(∞)=0.5。中间那一段"负的下冲"完全由右半平面零点造成。关键事实：零点动不了状态反馈u=−Kx+βv只改变闭环极点；

从新输入v到输出y的零点保持不变。

因此右半平面零点永远留在系统里，反馈线性化也无法把它"修"掉。不能靠"加大增益"硬压增益越大，反向幅度越大、内部状态越激动，甚至直接饱和。非最小相位系统的带宽存在硬上限。工程上怎么办·换输出：把测点移到"执行器之后"，往往能把零点挪到左半平面·换执行器位置（经典例子：推力器从机尾移到机头）·接受折中：牺牲带宽，只追求稳定而非快速跟踪·用预测控制/前馈补偿显式处理逆响应§6.2

|非最小相位：右半平面零点Non-minimumPhase第6章§6.2·非最小相位16/20输入输出线性化vs全状态线性化不是两套方法，而是同一套方法的"够用版"与"完整版"比较维度输入输出线性化（§6.1）全状态线性化（§6.2）目标

前提条件

h的角色h由物理输出指定，通常不可改h是待求解的抽象函数，可主动挑选内部动态z子系统需单独分析（零动态）ρ=n时无内部动态；否则同左适用面较宽：只要相对阶存在即可较窄：条件严格，很多系统做不到工程使用常见：配合零动态检查即可落地理想但苛刻：常需先改造成严格反馈形式失败表现内部状态发散（非最小相位）找不到合法的h/分母出现奇点两者的关系输入输出线性化是全状态线性化的"前半步"：先对y逐阶求导。当ρ=n时，z子系统为空，两者完全重合。用同一个系统看区别例6.4取y=x₁得ρ=2＜n=3⇒只能输入输出线性化；例6.6主动挑h=x₁−x₂+x₃使ρ=3=n⇒全状态线性化。§6.2

|两种线性化的关系Comparison第6章§6.2·两法对比17/20三条硬约束：奇点、参数、量测反馈线性化的"精确"是有前提的——前提一旦破坏，精确就变成脆弱①奇异点控制律的分母为零处，u会数值爆炸：·先确认奇点是否落在工作区内·用切换控制/正则化/奇异摄动绕过·重新设计h或改输出，把奇点推远·例6.6幸运：分母3x₁²+1≥1②参数不确定性控制律里写死了f(x)、g(x)的精确表达式：

一旦真实增益只有模型的0.8倍，实际闭环增益就变成1.25倍，对消立刻失衡——与线性控制的"负反馈自动纠偏"完全不同。·自适应控制（第7章）：让参数在线估计·鲁棒项/滑模：用大增益硬扛不确定项·增益调度：在多工作点分别线性化③全状态可测控制律u=α(x)+β(x)v需要全部状态x。

缺状态就要上观测器——而非线性观测器的收敛性远比线性情形复杂，闭环稳定性需要"分离原理"的额外论证（一般并不自动成立）。·高增益观测器/扩展卡尔曼滤波·输出微分的数值估计（需滤波）·输入输出线性化+部分状态反馈工程三问①模型准不准（参数误差多大）？②

状态量测得到吗（要不要观测器）？③

奇点在工作区内吗（会不会碰到分母为零）？§6.2

|局限性与奇异点Limitations第6章§6.2·局限性与奇异点18/20本次课关键收获一句话总括：全状态线性化是"有条件的精确"，条件与代价都要记住01两个条件（定理6.3）

02桥梁：Frobenius定理6.2非奇异分布"可积⇔对合"：把几何自洽性翻译成偏微分方程可解性，是定理6.3的唯一引擎03线性对照（注