非线性系统控制理论-第14课 反步设计（二）

CHAPTER09·第十四讲BACKSTEPPINGDESIGN(II)非线性系统控制理论第9章反步设计（二）观测器反步与滤波变换——状态不全可测时，反步法如何过这道门槛§9.3–§9.4课程非线性系统控制理论32学时·共16次课·每次2学时本讲内容输出反馈反步·显式观测器估计误差·滤波变换把相对阶压到1第14次课·共16次本次课主要内容输出反馈反步的两条路径：显式观测器vs滤波变换01状态不可测的工程现实速度可测、加速度几乎从不直接可测第13讲"所有xᵢ都已测到"假设，几乎从不成立出口仅y，反步法如何往下推02观测器反步法（§9.3）显式Luenberger观测器估计所有状态

多出−kᵢ(∂α/∂y)²zᵢ项应对估计误差03稳定性与复杂度账本杨氏不等式放缩x̃₂交叉项定理9.2：闭环原点渐近稳定代价：总阶数膨胀到2n−104滤波变换反步法（§9.4）输入滤波器+滤波变换相对阶ρ⇒1，系统结构大幅简化总阶数ρ−1，工程上更便宜▸承前：第13讲的反步法都假设"全部状态已测到"；本讲把这条假设去掉，回答怎么用y做反步这件事。第9章|本次课主要内容Contents·§9.3–§9.4·2学时第14次课·共16次课02/20上节回顾与本次课定位"所有xᵢ都已测到"这条假设，工程上几乎从不成立上节回顾·第13讲§9.1–§9.2状态反馈反步：每一步以"前一级状态"为已知镇定函数的两类项各司其职αᵢ中

消交叉项，其余各项消剩余非线性。留下的两个缺口①第9章§9.1–§9.2全程假设"每个xᵢ都可测"，但工程里xᵢ几乎从不直接可测；②估计误差x̃ᵢ与控制误差zᵢ耦合时，稳定性结论不再自然成立。本讲只接受y可测，反步法要在这条出口下重新构造。本次课定位·第9章§9.3–§9.41观测器反步法显式构造Luenberger观测器估计所有状态，再用估计状态做反步。设计简单，但总阶数膨胀。2镇定函数里多出来的项因为估计误差x̃₂与zᵢ耦合，αᵢ

里必须多一项−kᵢ(∂αᵢ₋₁/∂y)²zᵢ，用以"压住"耦合项。3滤波变换用ξᵢ链+滤波变换绕过显式估计，相对阶ρ⇒1，总阶数ρ−1；工程实现更便宜。4复杂度对比观测器反步总阶数2n−1、滤波反步总阶数ρ−1，工程选型主要看实现代价。工具链推进积分反步›迭代反步›本讲

观测器反步/滤波变换反步›第15讲

自适应反步第9章|上节回顾与本次课定位Review&Positioning·§9.3第14次课·共16次课03/20SECTION9.3OBSERVERBACKSTEPPING观测器反步法

01系统形式与观测器友型Ac+Hurwitz向量b，相对阶ρ；输出注入型观测器(9-7)让估计误差指数收敛02误差变量与镇定函数

03控制律与定理9.2

04复杂度账本

输出反馈的现实与第13讲留下的口子速度可测、加速度几乎从不直接可测——状态反馈反步到此为止01速度vs加速度位置/速度可由传感器直接读到；加速度要靠数值微分或惯性单元，几乎不可能精确测到。02估计误差与控制误差耦合

03两条路径§9.3显式构造Luenberger观测器；§9.4用输入滤波+坐标变换把估计器"省掉"。CORE只接受可测，把反步设计变成"基于的设计"，同时压住估计误差。第9章|§9.3观测器反步法Motivation·§9.3§9.305/20输出反馈系统的结构与三条基本假设观测器反步法不重新设计控制器，它只做"补一个估计器"输出反馈系统y是唯一可测量；x内部其它分量不能直接读出。ϕ(y)是仅依赖于输出y的已知非线性。Luenberger观测器

01系统是输出反馈标准型：ẋ=Acx+bϕ(y)+bu,y=cᵀx02非线性项ϕ(y)仅依赖可测输出y03Ac,b已知；通过L使Ac−LcᵀHurwitz，误差指数收敛04

为什么这一步关键

第9章|§9.3观测器反步法System&Observer·§9.3第14次课·共16次课06/20误差变量与步骤1z₁=y让误差起点就是输出；α₁

比状态反馈多一项−k₁z₁来对消x̃₂①误差变量的定义②步骤1：设计α₁(y)多出来的

项正是为了把估计误差

"压下去"——它在后面会被杨氏不等式放大成对x̃₂²的放缩项。

α₁只依赖y

x̃₂唯一暴露在z₁动态里Ac的特殊结构让x̃只通过x̃₂进入z的动态；其他x̃ᵢ(i≠2)在z方程里都不出现。设计项的本质是"用去换"，把耦合项搬给误差能量。第9章|§9.3观测器反步法ErrorVariable&Step1·§9.3§9.307/20步骤2：α₂

比状态反馈多一项−k₂(∂α₁/∂y)²z₂这一项是观测器反步与状态反馈反步的唯一算式差异

各项的职责①消z₁动态里来自z₂的交叉项；②注入z₂能量衰减；③用以对消

；④消去剩余非线性项。

第9章|§9.3观测器反步法Step2·α₂withx̃₂Coupling·§9.3§9.308/20步骤i与末级控制律zᵨ₊₁=0⇒u一步写出，估计器给出的所有状态全部就位步骤i的镇定函数αᵢ(2<i≤ρ)zᵢ闭环动态交叉项zᵢ₋₁与状态反馈反步一样抵消；新出现的是

，

等待第10页的杨氏不等式处理。末级特别处理：当i=ρ时，

出现u；令zᵨ₊₁=0就把u解出来，无需引入新误差变量。第9章|§9.3观测器反步法Stepi&ControlLaw·§9.3§9.309/20定理9.2与杨氏不等式放缩把

能量与

能量放在同一个Lyapunov函数里定理9.2对于式(9-6)给出的系统，观测器(9-7)与控制输入(9-11)保证闭环系统原点渐近稳定。与定理9.1的区别在于zᵢ动态里多出的

项；证明中要用杨氏不等式把它消化掉。STEPA误差能量STEPB杨氏不等式STEPC总Lyapunov放缩后的两项一边是

（误差能量），一边是

（观测器能量）。两边都指数收敛⇒闭环原点渐近稳定；递推过程还顺便得到指数稳定。第9章|§9.3观测器反步法Theorem9.2&Young'sInequality·§9.3§9.310/20复杂度账本：观测器反步付出了什么设计简单，但闭环总阶数2n−1；估计器占了大头设计步骤数①观测器设计选L使Ac−LCHurwitz②反步设计ρ步递推α₁…αᵨ,u工程代价

何时选这条路径：n小（≤4）、相对阶ρ已知、bHurwitz且ϕ(y)解析；此时显式观测器最直接，避免后面滤波变换的额外结构。第9章|§9.3观测器反步法Complexity&Trade-off·§9.3§9.311/20SECTION9.4FILTEREDTRANSFORMATION滤波变换反步法

01输入滤波器与滤波变换

02相对阶ρ⇒1

03引理9.3与反步相对阶1时u=−cy−φ(y)全局镇定；把ξᵢ视作虚拟控制再做反步04与观测器反步的取舍总阶数ρ−1vs2n−1；工程上ρ较小时滤波变换更便宜把"估计器"这一整块砍掉，行不行§9.3的代价里有n维状态是冗余的——只是用来构造x̂01

02输入滤波器的角色ξᵢ链本质上是把u的"导数"放进状态——所有xᵢ与u的复杂耦合被吸收到ξᵢ里。03相对阶降为1的妙处ρ=1时反步法几乎退化成"输出反馈镇定"，结构最简；后续再补ξᵢ链的ρ−1步反步。第9章|§9.4滤波变换反步法Motivation·§9.4§9.413/20输入滤波器与滤波变换ξᵢ把"u的高阶导数"请进状态；ζ̄=x−Σd̄ᵢξᵢ把耦合吸收掉输入滤波器(ξ链)ξᵢ自身是一阶稳定环节（特征值−λᵢ），把u的"相对阶"信息编码进来；是控制器设计参数。

01

02d̄ᵢ由Ac与λᵢ唯一确定，与ϕ(y)无关03变换是线性的，坐标系恒等⇒不改变原系统的可解性04滤波器参数λᵢ是新的设计自由度（不像L那样受Hurwitz约束）为什么叫"滤波"

第9章|§9.4滤波变换反步法InputFilter&FilteredTransformation·§9.4§9.414/20变换后系统：相对阶ρ⇒1原系统所有"相对阶ρ"的痕迹，集中到一个向量dξ₁里变换后系统(9-17)d的构造d的零点等于原系统的零点∪｛−λ₁,…,−λᵨ₋１｝；bHurwitz⇒dHurwitz。提示：变换后ξᵢ(i≥2)还没用上——它们留到第17页与反步法一起处理；此时ξ₁已经是相对阶1系统的"标准输入"。第9章|§9.4滤波变换反步法TransformedSystem(9-17)·§9.4§9.415/20

变换后系统(9-20)ψ与ψᵧ的含义

第9章|§9.4滤波变换反步法Lemma9.2&StateTransform·§9.4§9.416/20引理9.3与滤波反步设计先用9.3把ξ₁钉住，再用反步把ξ₂…ξᵨ₋₁收尾引理9.3对于相对阶为1的非线性系统(9-15)，存在连续函数φ(y)满足φ(0)=0，使控制全局渐近镇定该系统。φ(y)取

STEPAξ₁期望值STEPBz₂动态STEPC后续步骤反步最后一步第ρ步设zᵨ₊₁=0⇒u=αᵨ(y,ξ₁,…,ξᵨ₋₁)；控制量写成ξᵢ链的输出，无需对x̂做任何估计。第9章|§9.4滤波变换反步法Lemma9.3&FilteredBackstepping·§9.4§9.417/20纯反步vs观测器反步vs滤波反步三条路径在n、ρ

下的取舍路径总阶数设计参数相对阶前提工程适用实现要点状态反馈ncᵢ(n−1个)无全部状态可测基准路径，第13讲观测器反步n+ρ−1cᵢ,kᵢ,Lρ已知，bHurwitzn小（≤4），ϕ

解析设计简单但阶数高滤波反步ρ−1cᵢ,kᵢ,λᵢρ已知，bHurwitzn大，ρ

较小（≤3）阶数最低、滤波参数多三条路径的共同底座①都基于严格反馈/友型结构；②都用Lyapunov直接方法定镇定函数；③都依赖bHurwitz与ϕ(y)解析。滤波反步独有的代价①需要d̄ᵢ数值化（Ac+λᵢI的连乘）；②零点增加ρ−1个λᵢ⇒系统结构变化；③ξᵢ链会引入额外动态，需要保证信号部分响应。工程选型口诀n小、ρ

不太大⇒观测器反步；n大、ρ

小（≤3）⇒滤波反步；ϕ复杂或ρ＞4⇒反步法都不太合适，考虑自适应/滑模。第9章|§9.4滤波变换反步法Comparison&Selection·§9.4§9.418/20本次课关键收获五条结论，构成"输出反馈反步"的两种套路01估计误差是反步设计的新角色x̃不能假设为零，必须出现在Lyapunov函数里；它决定了镇定函数里−kᵢ项的形态。02杨氏不等式是放缩的关键把zᵢ与x̃₂的耦合项放大成zᵢ²和x̃₂²并分别归到Lyapunov函数两侧。03滤波变换=把相对阶移到ξ链

04零点结构=原系统+｛−λᵢ｝滤波变换引入ρ−1个新零点−λᵢ；它们由设计参数决定，可以主动放稳。05总阶数是选型的硬指标