非线性系统控制理论-第16课 非线性观测器

CHAPTER08·第十六讲NONLINEAROBSERVERS非线性系统控制理论第8章非线性观测器当状态不能直接测量时——输出注入、Lipschitz、非共振、降维四类典型设计§8.1–§8.5课程非线性系统控制理论32学时·共16次课·每次2学时本讲内容线性观测器·输出注入·Lipschitz·降维——连接第9章观测器反步第16次课·共16次本讲目录CONTENTS·CHAPTER801§8.1线性系统观测器

引理8.1/8.2：动态系统形式观测器02§8.2输出注入形式系统(8-5)+观测器(8-6)：误差线性标准型(8-9)：ẏ链+输出注入定理8.1+推论8.1：PDE可解充要03§8.3直接状态变换PDE(8-20)：把非线性系统变线性定理8.2：非共振+凸包不含原点观测器(8-21)+定理8.304§8.4/§8.5综合Lipschitz条件+LMI(8-25)定理8.4/8.5/8.6+例8.1降维观测器+期末复习指导本讲属于机动课时：教师选讲第8章，前15次课所学（反馈线性化、MRAC、反步）将再次以"另一种切入"出现。第16次课·共16次课非线性系统控制理论·第8章

非线性观测器02/20上节回顾与本次课定位"自适应反步"中那个估计状态的"估计"，本身就是一道观测器题——第8章正好补上这块工具上节回顾·第15讲§9.5–§9.6自适应反步：θ

未知时的镇定函数αᵢ(x,θ̂)例9.2/9.3完整设计：参数收敛慢于状态自适应观测器反步：状态+参数同时不可测定理9.5：跟踪误差+估计误差同时渐近收敛留下的最后一个缺口自适应反步里那个估计x̂用的是线性Luenberger观测器；真正面对一般非线性系统时，这一步必须升级。本次课：第8章非线性观测器——输出注入、Lipschitz、非共振、降维四类典型设计本次课定位·第8章§8.1–§8.51回顾线性观测器Luenberger+可观测性矩阵；引理8.1/8.2给出动态系统形式2输出注入与标准型ϕ(y,u)型系统+变换(8-9)+定理8.1可解条件3Lipschitz系统的LMI判据LMI(8-25)+单边Lipschitz+定理8.5/8.64降维观测器与例8.1补输出变换+定理8.7+例8.1完整设计与课程主线的关系本讲是机动课时，最后一次课：四条观测器线路——反过来看，第14章观测器反步正是"观测器+反步"的成功实验；同时也是期末复习的引子。第8章|上节回顾与本次课定位Review&Positioning·§8非线性系统控制理论·第8章

非线性观测器03/20CHAPTER08NONLINEAROBSERVERS非线性观测器状态不能直接测量时，从输出y=Cx（以及可能的非线性项）反推x01§8.1线性观测器可观测性矩阵P_o满秩⇒Luenberger(A−LCHurwitz)；引理8.1/8.2给出动态系统形式02§8.2输出注入形式ϕ(y,u)型系统，误差动态仍线性；变换到标准型(8-9)，定理8.1给可解充要条件03§8.4Lipschitz系统Lipschitz常数γ已知⇒LMI(8-25)解P；定理8.5用单边Lipschitz进一步放松04§8.5降维观测器+例8.1只估计不可测的状态分量；微分稳定条件把估计误差"约束"到原点线性系统观测器——把"看不见的状态"挂到可测输出上复习：(A,C)可观测→Luenberger观测器，误差动态(A−LC)由我们自由指定系统与可观测性判据也可放宽为"可检测"——注8.2，不稳定模态可观测即可Luenberger观测器(8-2)与误差动态注8.1——控制输入不增加任何难度若系统加控制项ẋ=Ax+Bu，观测器(8-2)后照抄同项+Bu即可；估计误差动态不变。设计自由度L选得让A−LC的特征根落在期望位置（主导极点、共轭阻尼……）。极点位置=收敛速率；这是后续一切观测器问题的"温度计"。为什么本书特地复习这一段

第8章|§8.1线性系统观测器§8.1LuenbergerObserver·Recap§8.1线性观测器05/20动态系统形式观测器──把(A−LC)换成一个"可设计的F"

引理8.1──(8-3)何时是(8-1)的观测器充分必要性充分性已证；必要性：若(8-4)不满足，e可看作以x为输入的系统，x≠0时e不可能指数收敛。引理8.2──矩阵方程(8-4)的可解条件前提：。必要：(A,C)可观测且(F,G)可控。充分：单输出系统(m=1)时上述条件反过来也是。工程意义F的特征根可以"任意指定"——这正是§8.3直接状态变换的核心思路：非线性变换把系统变成(F,G)可控对的形式，再让F=A−LC这一步省掉。第8章|§8.1引理8.1/8.2§8.1ObserverinDynamicForm§8.1引理8.1/8.206/20输出注入形式──非线性项只依赖输出,误差动态仍可保持线性系统(8-5)：ϕ(y,u)只通过y与控制u进系统；观测器照抄即可系统与观测器(8-6)命题8.1──全维观测器存在这是一个很重要的观念——即"非线性系统"也能配上"线性观测误差"。问题只是：太一般的非线性系统怎么能变换成这种形式？注8.3──一般非线性系统怎么"化"成(8-5)？

不失一般性，可化为"ẏ链式+输出注入"的三角标准型：第8章|§8.2输出注入形式§8.2OutputInjectionForm§8.2输出注入形式07/20

定理8.1──一般非线性何时能"化"成(8-9)输出梯度与逐次李导数的梯度线性无关——可观测性的非线性类比准备：非线性可观测性矩阵(8-8)形式下，(A,C)可观测⇒O恒等于固定矩阵。在x坐标下则要求dh,dLfh,…,dLⁿ⁻¹fh线性无关。定理8.1──输出注入形式可逆变换存在的充要条件其中r由决定；与第六章定理6.3的"严格反馈标准型"形式完全同构。证明思路·充分性

警告：非线性可观测≠可设计观测器与线性系统不同：条件(1)成立并不意味着一定能写出观测器——必须具备「输出注入形式」（变换后ϕ仅依赖y）。这是后续§8.3、§8.4想绕开的硬骨头。注8.4──线性系统是特例

第8章|§8.2标准型可解条件§8.2Theorem8.1(PDESolvability)§8.2定理8.108/20推论8.1──从变换后的观测器反推原系统观测器流程：非线性变换Φ→对(A,C)做Luenberger→再Ψ⁻¹拉回原状态观测器设计(8-17)推论8.1──估计误差渐近收敛定理8.1的两个条件保证(A,C)可观测，⇒L存在；Φ

可逆保证Ψ存在，把估计从z坐标拉回x坐标。注8.5──两种观测器设计的"线性版本对比"①(8-2)Luenberger：直接对(A,C)凑观测器；②(8-3)动态系统形式：选取(F,G)+满足(8-4)。非线性版本：①↔(8-6)输出注入；②↔(8-21)直接状态变换。估计误差动态都仍是线性。小结：§8.2路线的优势是设计简单，但要解一个非线性PDE；一旦PDE解不开，自然走向§8.4Lipschitz条件下的LMI路线——这是

实用工程中真正用得上的工具。作业提示2-4周思考题：定理8.1与第6章定理6.3的对比——它们的可解条件为何形式相同？第8章|§8.2推论8.1§8.2Observer&ProofSketch§8.2推论8.109/20§8.3直接状态变换──不必解PDE,只需"近原点解存在"当变换PDE没有闭式解时,Lyapunov辅助定理给"非共振"充分条件直接状态变换PDE(8-20)与(8-5)对比：(A,C,ϕ)由系统给定—我们难动；(F,G)由我们自行选取。观测器与误差动态──完全没有观测器增益L注意：F即A−LC在新坐标下的角色。剩下只需证Φ在原点附近可逆。定理8.2──非共振PDE可解的三个条件设，f,h光滑且f(0)=h(0)=0。可解的充分条件：①(∂f/∂x)(0)线性化系统可观测；②F与(∂f/∂x)(0)不共振：F的每个特征值λᵢ(F)都不是λ₁,…,λₙ的非负整数线性组合（定义8.1）；③凸包不包含原点。(8-20)由Lyapunov辅助定理解出；Φ在原点附近可逆

由

引理8.2与线性化可观测保证。共振定义8.1若λᵢ(F)=Σqⱼλⱼ(A)（qⱼ∈ℤ≥0,q=Σqⱼ＞0），则λᵢ与λⱼ共振。ℝ

上不共振⇔F与A无公共特征值。第8章|§8.3PDE解的存在性§8.3DirectStateTransformation§8.3非共振变换10/20定理8.3──在原始x坐标下写观测器变换PDE解出后,可以在原始坐标下写出"形如Luenberger"的非线性观测器原x坐标下的观测器(8-21)

定理8.3──误差动态线性化用(8-20)的左端替换，再把y项消掉⇒只剩Fe。所以Φ坐标下误差才是严格线性的；原坐标下为非线性但收敛速率仍由F决定。注8.5──两种非线性观测器设计路线的对比§8.2输出注入"线性部分"用Luenberger，非线性部分照抄（必须仅依赖y）；§8.3直接状态变换"非线性变换PDE把整个系统化简"，无观测器增益，误差线性且收敛速率由F完全自由设计。共同点：都把估计误差动态"在某个坐标系"线性化——这是非线性观测器设计的核心思想。前提：PDE必须有解，或者系统能精确"Lipschitz化"——后者由下一节§8.4接住。实用判断PDE不易解⇒走§8.4路线；ϕ

含x⇒走§8.4；ϕ

仅含y⇒走§8.2；变换可微且非共振⇒走§8.3。第8章|§8.3原始状态观测器§8.3Theorem8.3·Luenbergerform§8.3定理8.3/注8.511/20§8.4Lipschitz非线性系统──把"假设"换成"LMI可解性"ϕ是x的非线性函数(不只y)——Lipschitz条件是"误差估计"的核心技术系统与观测器(8-22)(8-23)与(8-6)唯一区别：ϕ

含x而不仅是y。误差动态不再"自动"线性。误差动态与Lyapunov设计关键步骤：用Young不等式2·aᵀb≤γ²‖a‖²+‖b‖²/γ²把放缩为。定义8.2──Lipschitz函数γ即Lipschitz常数。整体Lipschitz太强时,可用单边Lipschitz（定义8.3）进一步放松。为什么Lipschitz这一招很难绕开？它把"非线性量级"量化成常数γ，让Lyapunov函数能被数值算法处理。工程上几乎所有"非线性观测器"最后都落到Lipschitz+LMI这条路——见定理8.4。第8章|§8.4Lipschitz系统观测器§8.4LipschitzObserver·LMI§8.4

Lipschitz系统12/20

Lyapunov设计定理8.4──充分条件(8-24)这里的是Young不等式+ϕ的Lipschitz估计共同给出的"非线性惩罚"；ε

选得越小,P的解数值越大。如何用(8-24)解L①先解Riccati/LMI：解

使(8-24)成立（MATLAB）。②再求L：由

整理得

的另一类LMI。前提现实测试若γ过大（系统非线性"太凶"），(8-24)可能完全无解——这意味着"任何带Luenberger结构的Lipschitz观测器都救不了这个系统"。这种情形下需要切换到

滑模/高增益/自适应

观测器。里程碑总结非线性系统→"高增益+反步"风格→可以用LMI系统化求解；这是

工业界最常用的方法。第8章|§8.4定理8.4§8.4Theorem8.4·DesignL§8.4定理8.413/20推论8.2+单边Lipschitz──把LMI解的范围再放大工程现实：标准Lipschitz常数γ太大,经常无解；改用单边Lipschitz即可推论8.2──不等式版本(8-25)注8.6：把"="换成"<"后是

渐近稳定而非指数稳定——同样的V但严格负定，结论要靠不变原理（实质由第4章LaSalle保障）。定义8.3──单边Lipschitzν可以

为负——只约束"差的同一方向"。这是引入(8-26)的前提。⇒系统天然"对误差有阻尼"。定理8.5──LMI化简(8-27)(8-28)L写成P⁻¹Cᵀ的纯标量倍数⇒只解一个LMI；不再需要交叉项设计。注意：(8-26)与(8-25)并不能等价ν可能是负值⇒是负定的"P矩阵加项"。如果ν太负,(8-28)是

始终成立——即当ϕ"天然阻尼误差"时,任何P都行！第8章|§8.4推论8.2+单边Lipschitz§8.4Corollary8.2·One-sidedL.§8.4推论8.2+单边Lipschitz14/20§8.5降维观测器──输出能直接测,何必再去估计?既然y=h(x)可测,只有"不可测分量"才需要被观测器估计——降维思路由此切入补输出变换──定义8.4把x拆成"已知输出+待估计补输出"：y=h(x)已知，z=g(x)需要观测。降维观测器型──定义8.5+观测器(8-35)若系统能变换成(8-34)形式，则只需对n−m维

的z设计观测器，而不是全状态。定理8.7──输入-状态稳定⇒估计误差收敛设微分稳定（存在V(z)使），则；用Young不等式得——即ISSLyapunov条件。估计误差：，独立Lyapunov即可。证明与定理8.4风格一致，但少了Lipschitz假设。对照第14章§9.3把降维观测器的估计误差看作"动态扰动"输入到反步法——这正是观测器反步把2n−1维扩张压回n+维的思路。第8章|§8.5降维观测器§8.5Reduced-orderObserver§8.5降维观测器15/20例8.1──二阶系统降维观测器完整推导验证z=x₂−x₁可作为补输出，并证明微分稳定条件成立系统与可测输出补输出选取与z动态与(8-34)对比：——非线性部分只与z有关，没有u。微分稳定条件：?注意，所以。降维观测器(8-35)落地

第8章|例8.1完整设计Example8.1·Reduced-order§8.5例8.116/20与第14章的"双向通道"：观测器↔观测器反步反过来用：在反步法中,估计误差动态(8-22)看作"虚拟扰动",用Lyapunov重做分析§9.3用的估计(第14章§9.3)误差动态线性→正好是§8.2输出注入+选L后这一招在反步里的复刻。全章四类观测器与反步结合的成本线性(Luenberger)：误差线性,反步法中的扰动项最干净。输出注入：ϕ(y,u)直接复用,反步αᵢ不需要重写。Lipschitz/LMI：估计误差有界,反步法中以Young不等式放缩。降维：估计维数下降到n−m,反步法规模更小。当前研究的开放问题①全维vs降维观测器+反步文献中"扩张2n−1"的版本以控制器简化换代价码体积——第14章§9.4命令滤波反步把这个矛盾降下来了。②自适应+Lipschitz参数θ未知且ϕ含x：能否联合设计自适应律+LMI观测器？→

第15章§9.6已给答案。③当LMI无解时γ

过大没有解——工程上常见；此时需切换到

高增益+滑模+自适应。本章定位第8章与第9章是"分析–综合"的两面——同一数学工具在两个方向上都成立；这也是为什么两次课要在内容上前后呼应。第8章|与第9章§9.3的衔接Observer↔Observer-backstepping第8章←→第14章17/20全章综合──五条设计路线的"成本-能力"对比从Luenberger到降维：每条路线的核心假设、可证收敛的强度、工程实施成本方法/节核心前提误差动态可证收敛工程成本§8.1Luenberger

(A−LC)x̃Hurwitz全局指数最低(查表)§8.2输出注入ϕ(y,u),(A,C)可观测(A−LC)x̃仍线性全局指数低(查表)§8.3非共振变换PDE(8-20)可解+线性化可观测Fe(新坐标下线性)局部指数中(PDE难解)§8.4LipschitzLMI(8-25)可解Lyapunov证明,一般非线性局部渐近/全局中(LMI求解)§8.5降维补输出+微分稳定z维低,ISS-Lyapunov局部/输入-状态较低(维数小)选择流程(简版)①线性⇒Luenberger；②ϕ仅含y⇒输出注入；③PDE易解且非共振⇒直接变换；④一般的Lipschitzϕ⇒LMI；⑤输出可直接利用⇒降维。与第9章反步的组合§9.3观测器反步=Luenberger+反步；§9.4命令滤波反步=Luenberger+滤波器；§9.5自适应反步=Luenberger+自适应律；§9.6自适应观测器反步=Luenberger+自适应+滤波器。期末考试重点(本章)①写出§8.4定理8.4的Lyapunov推导；②区分输出注入(8-6)与直接变换(8-21)的差异；③例8.1中V的构造与微分稳定的验证。第8章|四类观测器设计方法对比Synthesis·ComparisonTable第8章综合对比18/20KEYTAKEAWAYS·关键收获本章关键收获看到非线性观测器问题的四种典型切入：误差线性、Lipschitz+LMI、PDE解、可降维TAKEAWAY·01误差线性，是非线性观测器的"圣杯"§8.1–8.3三类设计的共同点：用各种手段让估计误差动态成为线性Hurwitz矩阵。收敛速率=矩阵特征根，由此整个非线性估计问题化为线性系统特征根配置。TAKEAWAY·02Lipschitz+LMI：工业实践的主流§8.4定理8.4/8.5：Young不等式放缩→LMI可解。当ϕ含x时这是首选——若γ过大则改用单边Lipschitz放松。TAKEAWAY·03降维──不必为已知分量浪费维度§8.5/例8.1：补输出+微分稳定。估计维数